3313
L, &
cadat primùm applicata F G infra contingentem D E, ſitque G M
ipſi E A, & G N ipſi E B parallela.
ipſi E A, & G N ipſi E B parallela.
Iam cum ſit G F parallela ad E
9[Figure 9]
D, G M ad E A, &
G N ad E B,
erit triangulum A D E ſimile triã-
gulo M F G, & triangulum E D B
ſimile triangulo G F N, quare vt
A D ad D E, ita M F ad F G, &
vt E D ad D B, ita G F ad F N;
ſuntque A D, D E, D B continuę
proportionales, vnde M F, F G,
F N, erunt quoque proportiona-
les, ſiue rectangulum M F N ęqua-
bitur quadrato F G.
erit triangulum A D E ſimile triã-
gulo M F G, & triangulum E D B
ſimile triangulo G F N, quare vt
A D ad D E, ita M F ad F G, &
vt E D ad D B, ita G F ad F N;
ſuntque A D, D E, D B continuę
proportionales, vnde M F, F G,
F N, erunt quoque proportiona-
les, ſiue rectangulum M F N ęqua-
bitur quadrato F G.
Præterea cum B E circulum
contingat, & E B ſecet, erit an-
gulus D E B æqualis angulo B A
E, ſed (cum triangula B E C, B A
E in ſemicirculo ſint ſimilia) eſt
quoque angulus B E C, æqualis
lis angulo B A E, ergo angulus
D E B, ſiue alternus E I G æqua-
lis erit angulo B E C, ergo linea
G I ipſi G E æqualis. Item angu-
lus O E A æquatur angulo A B E in alterna portione, ſiue angulo A E C,
eſtque angulus O E A alterno G L E æqualis, vnde anguli A E C, G L E
æquales erunt, quare linea G L æqualis eidem G E; erunt ergo L G, G I
inter ſe æquales, ſed eſt G F maior I F, habebit ergo L G ad G F mino-
rem rationem quàm G I ad I F, & componendo L F, ad F G, ſiue A F
ad F M minorem rationem quàm G F ad F I, vel quàm N F ad F B, qua-
re rectangnlum ſub extremis A F, F B, minus erit rectangulo ſub 1116 ſept.
Pappi. dijs M F, F N, ſiue minus quadrato F G. Quod demonſtrandum erat.
contingat, & E B ſecet, erit an-
gulus D E B æqualis angulo B A
E, ſed (cum triangula B E C, B A
E in ſemicirculo ſint ſimilia) eſt
quoque angulus B E C, æqualis
lis angulo B A E, ergo angulus
D E B, ſiue alternus E I G æqua-
lis erit angulo B E C, ergo linea
G I ipſi G E æqualis. Item angu-
lus O E A æquatur angulo A B E in alterna portione, ſiue angulo A E C,
eſtque angulus O E A alterno G L E æqualis, vnde anguli A E C, G L E
æquales erunt, quare linea G L æqualis eidem G E; erunt ergo L G, G I
inter ſe æquales, ſed eſt G F maior I F, habebit ergo L G ad G F mino-
rem rationem quàm G I ad I F, & componendo L F, ad F G, ſiue A F
ad F M minorem rationem quàm G F ad F I, vel quàm N F ad F B, qua-
re rectangnlum ſub extremis A F, F B, minus erit rectangulo ſub 1116 ſept.
Pappi. dijs M F, F N, ſiue minus quadrato F G. Quod demonſtrandum erat.
Idem penitùs oſtendetur, quando applicata _F G_ productæ diametro
occurrat vltra D; nam adhibitis angulis ad verticem E, alterniſque pa-
rallelarum, item demonſtrabirur _I G_ ipſi _G L_ æqualem eſſe, & ex _G_ facta
fimili conſtructione, demonſtratio, & concluſio omninò erit eadem, ac
ſupra.
occurrat vltra D; nam adhibitis angulis ad verticem E, alterniſque pa-
rallelarum, item demonſtrabirur _I G_ ipſi _G L_ æqualem eſſe, & ex _G_ facta
fimili conſtructione, demonſtratio, & concluſio omninò erit eadem, ac
ſupra.
PROBL. II. PROP. IV.
Datæ Hyperbolæ, vel Ellipſi, per punctum in ea datum
22Prop. 34.
primi co-
nic. contingentem lineam ducere.
22Prop. 34.
primi co-
nic. contingentem lineam ducere.
SIt Ellipſis, vel Hyperbolæ A B K, cuius tranſuerſum latus ſit B C, &
datum in ſectione punctum ſit A, extra verticem B: oportet ex A
datæ ſectioni contingentem lineam ducere.
datum in ſectione punctum ſit A, extra verticem B: oportet ex A
datæ ſectioni contingentem lineam ducere.