33129LIBER PRIMVS.
los per definitionẽ poli.
Et ſi aliqui circuli eoſdẽ habent polos, patet per 14 p 11, quòd ipſi ſunt æqui-
diſtantes: & hoc proponebatur. Quòd ſi etiã reliquus circulorũ æquidiſtantium eſſet circulus ma-
gnus, eadem eſſet demonſtratio. Duo uerò circuli magni eiuſdem ſphęræ ſibi inuicem æquidiſtare
non poſſunt: quoniam amborum illorum eſt idem centrum, quod eſt centrum ſphæræ.
diſtantes: & hoc proponebatur. Quòd ſi etiã reliquus circulorũ æquidiſtantium eſſet circulus ma-
gnus, eadem eſſet demonſtratio. Duo uerò circuli magni eiuſdem ſphęræ ſibi inuicem æquidiſtare
non poſſunt: quoniam amborum illorum eſt idem centrum, quod eſt centrum ſphæræ.
69. Si plana ſuperficies ſecet ſphærã, cõmunis ſectio erit circulus. Ex quo patet, quoniã à quo-
libet puncto in diametro uel ſuperficie ſphærica dato, eſt poſsibile totali ſuperficiei ſphæricæ circu-
lumcircumduci, alij etiam circulo illius æquidiſtantem. 1 th. 1 ſphær. Theodoſy.
libet puncto in diametro uel ſuperficie ſphærica dato, eſt poſsibile totali ſuperficiei ſphæricæ circu-
lumcircumduci, alij etiam circulo illius æquidiſtantem. 1 th. 1 ſphær. Theodoſy.
Sit ſphęra, cuius centrũ a, ſeceturq́;
per planam ſuperficiẽ.
Dico, quòd cõmunis ſectio ſuperficiei
ſphęricæ & planæ eſt circulus. Si enim fiat ſectio ք centrũ
338[Figure 338]d f b c e da: tũc patet, quòd oẽs lineæ ductæ à cẽtro a ad ſphæræ ſu-
perficiẽ, quę ſunt in illa plana ſuքficie ſecãte, & terminan-
tur ad cõmunem terminũ illorũ, ſunt æquales per defini-
tionẽ ſphęræ: ergo per definitionẽ circuli, illa cõmunis ſe-
ctio eſt circulus. Si aũt ſuperficies plana ſecet ſphærã datã
nõ per centrũ a: ducatur per 11 p 11 à centro a perpẽdicula-
ris ſuper ſuperficiẽ ſecantẽ, quę ſit a b, & cõtinuẽtur lineæ
a c, a d, a e, a f, & quot quis uoluerit ad illã ſectionem com-
munem à cẽtro ipſius ſphęræ: ducãtur quoq; lineę c b, d b,
e b, f b, in ipſa ſuperficie ſecãte, ad puncta, quibus incidũt
lineę ex centro ſphęræ ductæ. Palàm ergo per 47 p 1, quo-
niã quadratũ lineæ a c eſt ęquale duobus quadratis linea-
rum a b & b c: & ſimiliter quadratum lineę a d eſt æquale
duob. quadratis linearũ a b & b d: ſed quadratũ lineæ a c
eſt æquale quadrato lineæ a d: quoniã linea a c eſt æqualis
lineæ a d per definitionẽ ſphęræ, & quadratũ lineæ a b eſt ęquale ſibijpſi: relinquitur ergo quadratũ
lineæ c b æquale quadrato lineæ d b: eſt ergo linea c b æqualis lineæ d b: & ſimiliter erit linea d b
æqualis lineis e b & f b: eadẽ enim eſt demonſtratio, quotcunq; alijs lineis à cẽtro ſphærę a ad illam
communẽ ſectionem productis. Omnes itaq; lineæ à puncto b ad illã communem ſectionẽ ductæ,
ſunt æquales: ergo per 9 p 3 & per definitionẽ circuli, ut prius, punctũ b eſt centrũ circuli. Cõmunis
ergo ſectio iſtarũ ſuperficierũ eſt circulus: & hoc eſt propoſitũ. Patet etiã ex hoc corollariũ: quoniã
à pũcto dato per 12 p 1 producta perpẽdiculari ſuper diametrũ ſphęræ, imaginetur ſuperficies plana
ſecãs ſphærã ſecundũ illã perpendicularẽ: & patet propoſitũ per præmiſſa. Quòd ſi alicui circulo in
ſphęra ſignato æquidiſtãs duci debeat: à dato pũcto ducatur perpẽdicularis ſuper ſphęræ diametrũ
tranſeuntẽ circuli centrũ, cui æquidiſtãs debet duci circulus, & ꝓducatur in continuũ uſq; ad aliã
ſphęræ ſuperficiẽ, & ducatur alia linea à pũcto diametri utcũq; ſuք productã, & orthogonaliter ſu-
per diametrũ ſphęræ, imagineturq́; ſuperficies plana trãſiens terminos iſtarũ linearũ in ipſa ſuper-
ficie ſphęræ faciẽs ſectionẽ: quę per præmiſſa neceſſariò erit circulus: quia ք 4 p 11 diameter ſphęrę,
ſuper quã ducitur linea à pũcto dato, erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ in punctis illis, ut præmit-
titur, ſphæram ſecantem: unde à centro ſphæræ ductis lineis, ut prius, patet quod proponebatur.
ſphęricæ & planæ eſt circulus. Si enim fiat ſectio ք centrũ
338[Figure 338]d f b c e da: tũc patet, quòd oẽs lineæ ductæ à cẽtro a ad ſphæræ ſu-
perficiẽ, quę ſunt in illa plana ſuքficie ſecãte, & terminan-
tur ad cõmunem terminũ illorũ, ſunt æquales per defini-
tionẽ ſphęræ: ergo per definitionẽ circuli, illa cõmunis ſe-
ctio eſt circulus. Si aũt ſuperficies plana ſecet ſphærã datã
nõ per centrũ a: ducatur per 11 p 11 à centro a perpẽdicula-
ris ſuper ſuperficiẽ ſecantẽ, quę ſit a b, & cõtinuẽtur lineæ
a c, a d, a e, a f, & quot quis uoluerit ad illã ſectionem com-
munem à cẽtro ipſius ſphęræ: ducãtur quoq; lineę c b, d b,
e b, f b, in ipſa ſuperficie ſecãte, ad puncta, quibus incidũt
lineę ex centro ſphęræ ductæ. Palàm ergo per 47 p 1, quo-
niã quadratũ lineæ a c eſt ęquale duobus quadratis linea-
rum a b & b c: & ſimiliter quadratum lineę a d eſt æquale
duob. quadratis linearũ a b & b d: ſed quadratũ lineæ a c
eſt æquale quadrato lineæ a d: quoniã linea a c eſt æqualis
lineæ a d per definitionẽ ſphęræ, & quadratũ lineæ a b eſt ęquale ſibijpſi: relinquitur ergo quadratũ
lineæ c b æquale quadrato lineæ d b: eſt ergo linea c b æqualis lineæ d b: & ſimiliter erit linea d b
æqualis lineis e b & f b: eadẽ enim eſt demonſtratio, quotcunq; alijs lineis à cẽtro ſphærę a ad illam
communẽ ſectionem productis. Omnes itaq; lineæ à puncto b ad illã communem ſectionẽ ductæ,
ſunt æquales: ergo per 9 p 3 & per definitionẽ circuli, ut prius, punctũ b eſt centrũ circuli. Cõmunis
ergo ſectio iſtarũ ſuperficierũ eſt circulus: & hoc eſt propoſitũ. Patet etiã ex hoc corollariũ: quoniã
à pũcto dato per 12 p 1 producta perpẽdiculari ſuper diametrũ ſphęræ, imaginetur ſuperficies plana
ſecãs ſphærã ſecundũ illã perpendicularẽ: & patet propoſitũ per præmiſſa. Quòd ſi alicui circulo in
ſphęra ſignato æquidiſtãs duci debeat: à dato pũcto ducatur perpẽdicularis ſuper ſphęræ diametrũ
tranſeuntẽ circuli centrũ, cui æquidiſtãs debet duci circulus, & ꝓducatur in continuũ uſq; ad aliã
ſphęræ ſuperficiẽ, & ducatur alia linea à pũcto diametri utcũq; ſuք productã, & orthogonaliter ſu-
per diametrũ ſphęræ, imagineturq́; ſuperficies plana trãſiens terminos iſtarũ linearũ in ipſa ſuper-
ficie ſphęræ faciẽs ſectionẽ: quę per præmiſſa neceſſariò erit circulus: quia ք 4 p 11 diameter ſphęrę,
ſuper quã ducitur linea à pũcto dato, erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ in punctis illis, ut præmit-
titur, ſphæram ſecantem: unde à centro ſphæræ ductis lineis, ut prius, patet quod proponebatur.
70. À dato puncto ad datam ſphæram lineam contingentem ducere.
Sit enim datũ punctũ a, & centrũ datę ſphę-
339[Figure 339]c a d b ræ ſit punctũ b: & ducatur linea a b: & à cẽtro
ſphæræ, quod eſt b, ducatur linea b c, ut cõtin-
git, & copuletur linea a c: palamq́; ք 2 p 11, quo
niam trigonũ a b c eſt in una ſuperficie plana:
hęcitaq; per præcedẽtem ſecabit ſphęrã ſecũ-
dũ circulũ, cui per 17 p 3 à pũcto a ducatur cõ-
tingẽs in pũcto d, quæ ſit a d: & patet ꝓpoſitũ.
339[Figure 339]c a d b ræ ſit punctũ b: & ducatur linea a b: & à cẽtro
ſphæræ, quod eſt b, ducatur linea b c, ut cõtin-
git, & copuletur linea a c: palamq́; ք 2 p 11, quo
niam trigonũ a b c eſt in una ſuperficie plana:
hęcitaq; per præcedẽtem ſecabit ſphęrã ſecũ-
dũ circulũ, cui per 17 p 3 à pũcto a ducatur cõ-
tingẽs in pũcto d, quæ ſit a d: & patet ꝓpoſitũ.
71. Omnis ſuperficies plana contingens
ſphæram, ſecundũ unicum punctum eſt con-
tingens. 3 th. 1 ſphær. Theodoſij.
ſphæram, ſecundũ unicum punctum eſt con-
tingens. 3 th. 1 ſphær. Theodoſij.
Ducatur in plana ſuperficie contingente ſphæram, linea recta trans locum cõtactus, & in ſuper-
ficie ſphęræ circulus magnus. Si ergo ſuperficies plana contingit ſphæram ſecundum aliud quàm
ſecundum punctum, & linea recta continget circulum ſecundum idem: non ergo ſecundum pun-
ctum continget linea recta circulum: quod eſt contra 16 p 3: palàm ergo propoſitum.
ficie ſphęræ circulus magnus. Si ergo ſuperficies plana contingit ſphæram ſecundum aliud quàm
ſecundum punctum, & linea recta continget circulum ſecundum idem: non ergo ſecundum pun-
ctum continget linea recta circulum: quod eſt contra 16 p 3: palàm ergo propoſitum.
72. À dato pũcto ſuքficiei ſphæricæ ſuքficiẽ planã cõtingentẽ ducere. Ex quo patet, ꝗ omnis
linea centrũ ſphæræ trãſiens, eſt perpẽdicularis ſuք eius ſuperficiẽ: & ſieſt perpendicularis ſuper
ſphæricam ſuperficiem, neceſſariò tranſit centrũ ſphæræ. È 4 th. 1 ſphær. Theodoſy. Alh. 25 n 4.
linea centrũ ſphæræ trãſiens, eſt perpẽdicularis ſuք eius ſuperficiẽ: & ſieſt perpendicularis ſuper
ſphæricam ſuperficiem, neceſſariò tranſit centrũ ſphæræ. È 4 th. 1 ſphær. Theodoſy. Alh. 25 n 4.
Eſto ſphęra, cuius centrũ ſit a, & circulus eius magnus b d c:
ducaturq́;
linea a b à cẽtro ad circũ-
ferentiã: & à pũcto b ducatur linea cõtingẽs circulũ, quę ſit f b e ք 17 p 3: erũt ergo anguli a b e & a b f
recti. Imaginatis quoq; ք 69 huius circulis quotcũq; in ſuքficie ſphęrę ſecantib. ſe in pũcto b, & du-
ctis lineis, cõtingentib. illos circulos in pũcto b: palàm ք 18 p 3, quoniã linea b a cũ omnib. illis lineis
cõtinetangulos rectos. Ergo oẽs illę lineæ ſunt in una ſuքficie plana ք 2 p 11. Illa itaq; ſuքficies con-
ferentiã: & à pũcto b ducatur linea cõtingẽs circulũ, quę ſit f b e ք 17 p 3: erũt ergo anguli a b e & a b f
recti. Imaginatis quoq; ք 69 huius circulis quotcũq; in ſuքficie ſphęrę ſecantib. ſe in pũcto b, & du-
ctis lineis, cõtingentib. illos circulos in pũcto b: palàm ք 18 p 3, quoniã linea b a cũ omnib. illis lineis
cõtinetangulos rectos. Ergo oẽs illę lineæ ſunt in una ſuքficie plana ք 2 p 11. Illa itaq; ſuքficies con-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib