33432VITELLONIS OPTICAE
lus a b c non ſit circulus maior alicuius ſphærarũ ſe interſecantiũ, ſed minor:
intelligatur in ipſo pro-
tracta diameter, quæ ſit l f per pũcta l & f, & utraq; ſphæra
342[Figure 342]l h g b e c k a d f rum imaginetur ſecta per ſuperficiem planam trans cen-
trũ, & ք puncta f & l, quę ſunt in ſuperficie utriuſq; ſphæ
rę. Erit ergo per præmiſſa quilibet illorum circulorum
circulus maior in utraq; ſphærarum ſe interſecantiũ, ſe-
cabitq́; circulum a b c uterq; illorum circulorũ maiorum
per æqualia: quoniam arcus f l eſt medietas circumferen
tię circuli a b c: tranſeunt ergo ambo illi circuli maiores
per centrũ illius circuli a b c, quod eſt e. Imaginẽtur item
duo circuli alιj maiores in eiſdem ſphæris, quorum quili-
bet ſecet portionẽ circuli maioris ſuę ſphærę erectã ſuper
circulum a b c per æqualia: quod fieri poterit ex 30 p 3, di-
uiſo arcu f l utriuſq; circuli ſphærarum ſe interſecantium
per ęqualia, & à puncto ſectionis utriuſq; circuli imagina
ta ſuperficie plana tranſeunte centrum ſphærę utriuſq; .
Fiat itaq; ſectio arcus ſphęrę maioris in puncto g: & ſe-
ctio arcus ſphæræ minoris in puncto h: & ſiue hi cir-
culi maiores cum illis circulis, quos ſecãt, angulos æqua-
les ſphærales uel inæquales contineant, patet, cum à po-
lo circuli a b c per centra ſphærarum ambarum tranſeant, quoniam ambo ſecabunt circulum a b c
per æqualia. Tranſibunt ergo per centrum ipſius, quod eſt e. Linea ergo d g, quę per definitionem
maiorum circulorum, & 3 p 11 eſt communis ſectio duorum circulorum maiorũ in ſphęra maiori ſe
ſecantium, tranſit per centrum e: quoniã cum centrum e ſit in ſuperficie utriuſq; illorũ circulorum,
neceſſe eſt, ut ſit in linea cõmuni utriſq; . Similiter etiã linea e h (quę eſt cõmunis ſectio circulorum
maiorũ in ſphæra minori ſe interſecantiũ) tranſit per centrũ e. Sed quia lineę e h, & lineę d g per defi
nitionem circulorũ ſe ſecantiũ, eſt aliqua linea recta cõmunis, ut e g, erit illa per 1 p 11 in eadẽ ſuperfi
cie cum illis: ergo erunt linea una. Tota ergo linea d e g h eſt linea una tranſiens per ambo centra
ſphærarum ſe interſecantiũ, & per centrum circuli, qui eſt cõmunis ſectio, cuius centrum eſt in peri
pheria cõmunis ſectionis ſuperficierum ſphęricarum ſe interſecantium. Patet ergo propoſitum pri
mum. Secundũ uerò patet ex pręmiſsis. Circuli enim maiores per ęqualia diuidentes circulum mi-
norem orthogonaliter eum ſecant, & eorum communis ſectio, ut linea d h per 19 p 11 ſuper eundem
circulum perpendicularis erit. Et hoc eſt propoſitum. Poteſt & idem per 66 & 67 huius facilius de-
monſtrari diligentiam adhibenti.
tracta diameter, quæ ſit l f per pũcta l & f, & utraq; ſphæra
342[Figure 342]l h g b e c k a d f rum imaginetur ſecta per ſuperficiem planam trans cen-
trũ, & ք puncta f & l, quę ſunt in ſuperficie utriuſq; ſphæ
rę. Erit ergo per præmiſſa quilibet illorum circulorum
circulus maior in utraq; ſphærarum ſe interſecantiũ, ſe-
cabitq́; circulum a b c uterq; illorum circulorũ maiorum
per æqualia: quoniam arcus f l eſt medietas circumferen
tię circuli a b c: tranſeunt ergo ambo illi circuli maiores
per centrũ illius circuli a b c, quod eſt e. Imaginẽtur item
duo circuli alιj maiores in eiſdem ſphæris, quorum quili-
bet ſecet portionẽ circuli maioris ſuę ſphærę erectã ſuper
circulum a b c per æqualia: quod fieri poterit ex 30 p 3, di-
uiſo arcu f l utriuſq; circuli ſphærarum ſe interſecantium
per ęqualia, & à puncto ſectionis utriuſq; circuli imagina
ta ſuperficie plana tranſeunte centrum ſphærę utriuſq; .
Fiat itaq; ſectio arcus ſphęrę maioris in puncto g: & ſe-
ctio arcus ſphæræ minoris in puncto h: & ſiue hi cir-
culi maiores cum illis circulis, quos ſecãt, angulos æqua-
les ſphærales uel inæquales contineant, patet, cum à po-
lo circuli a b c per centra ſphærarum ambarum tranſeant, quoniam ambo ſecabunt circulum a b c
per æqualia. Tranſibunt ergo per centrum ipſius, quod eſt e. Linea ergo d g, quę per definitionem
maiorum circulorum, & 3 p 11 eſt communis ſectio duorum circulorum maiorũ in ſphęra maiori ſe
ſecantium, tranſit per centrum e: quoniã cum centrum e ſit in ſuperficie utriuſq; illorũ circulorum,
neceſſe eſt, ut ſit in linea cõmuni utriſq; . Similiter etiã linea e h (quę eſt cõmunis ſectio circulorum
maiorũ in ſphæra minori ſe interſecantiũ) tranſit per centrũ e. Sed quia lineę e h, & lineę d g per defi
nitionem circulorũ ſe ſecantiũ, eſt aliqua linea recta cõmunis, ut e g, erit illa per 1 p 11 in eadẽ ſuperfi
cie cum illis: ergo erunt linea una. Tota ergo linea d e g h eſt linea una tranſiens per ambo centra
ſphærarum ſe interſecantiũ, & per centrum circuli, qui eſt cõmunis ſectio, cuius centrum eſt in peri
pheria cõmunis ſectionis ſuperficierum ſphęricarum ſe interſecantium. Patet ergo propoſitum pri
mum. Secundũ uerò patet ex pręmiſsis. Circuli enim maiores per ęqualia diuidentes circulum mi-
norem orthogonaliter eum ſecant, & eorum communis ſectio, ut linea d h per 19 p 11 ſuper eundem
circulum perpendicularis erit. Et hoc eſt propoſitum. Poteſt & idem per 66 & 67 huius facilius de-
monſtrari diligentiam adhibenti.
83. Si ſphæra ſphærã interſecet: lineã tranſeuntẽ centrũ circuli peripheriæ cõmunis ſectionis
perpendiculariter ſuper ipſius ſuperficiẽ inſiſtentẽ, ambarũ ſphærarũ centra tranſire neceſſe eſt.
perpendiculariter ſuper ipſius ſuperficiẽ inſiſtentẽ, ambarũ ſphærarũ centra tranſire neceſſe eſt.
Hęc eſt cõuerſa pręcedẽtis, nec oportet in ipſius demonſtratiõe aliter immorari.
Si enim ſit poſsi-
bile, ducatur linea per e centrũ circuli cõmunis ſectiõis ſphęrarũ, (qui eſt a b c) perpendiculariter ſu
per ipſius ſuperficiẽ ad aliũ aliquẽ punctũ, pręter centum ambarũ, uel alterius ſphęrarũ: & ſit linea
e k: & ducatur item per centra ambarũ ſphęrarũ alia linea, quę ſit d h. Patet aũt per pręcedentẽ, quo-
niam hęc erit tranſiens per centrũ e, & erit perpendicularis ſuper ſuperficiẽ circuli a b c. Ab eodem
ergo pũcto ſuperficiei circuli a b c, utpote centro e, duę exeũt perpendiculares ſuper eandẽ circuli
ſuperficiem a b c, quę ſunt e d & e k: quod eſt contra 13 p 11, & impoſsibile. Patet ergo propoſitum.
bile, ducatur linea per e centrũ circuli cõmunis ſectiõis ſphęrarũ, (qui eſt a b c) perpendiculariter ſu
per ipſius ſuperficiẽ ad aliũ aliquẽ punctũ, pręter centum ambarũ, uel alterius ſphęrarũ: & ſit linea
e k: & ducatur item per centra ambarũ ſphęrarũ alia linea, quę ſit d h. Patet aũt per pręcedentẽ, quo-
niam hęc erit tranſiens per centrũ e, & erit perpendicularis ſuper ſuperficiẽ circuli a b c. Ab eodem
ergo pũcto ſuperficiei circuli a b c, utpote centro e, duę exeũt perpendiculares ſuper eandẽ circuli
ſuperficiem a b c, quę ſunt e d & e k: quod eſt contra 13 p 11, & impoſsibile. Patet ergo propoſitum.
343[Figure 343]f c c l a
84. Si ſphæra ſphærã intrinſecus interſecet: neceſſe eſt centra illarũ ſphærarũ, reſpectu ſitus ſui
contactus ſecundum quantitatẽ peripheriæ circuli, qui eſt cõmu-
nis ſectio ſuarum ſuperficierũ plus diſtare: centrum ſphæræ con- tinentis plus profundari.
contactus ſecundum quantitatẽ peripheriæ circuli, qui eſt cõmu-
nis ſectio ſuarum ſuperficierũ plus diſtare: centrum ſphæræ con- tinentis plus profundari.
Sphærę datę interſecare ſe debẽtes, ſi ęquales fuerint, & taliter ad
inuicẽ collocentur, ut nõ ſe interſecẽt: tunc ipſarũ idẽ erit centrũ: fa-
cta uerò interſectiõe ipſarũ, cẽtra diuerſantur per 81 huius: & ſecun-
dũ quod circuli քipheria, quę eſt cõmunis ſectio illarũ ſuperficierũ
ſphęricarũ, fit maior uel minor: ſecũdũ hoc plus uel minus diſtabũt
centra. Quòd ſi ſphęrę fuerint inęquales, quarũ una alterã intrinſe-
cus cõtingere poterit: tunc in ſitu ſuę cõtingentię centrorũ ſuorũ di
ſtantia ք 78 huius eſt exceſſus ſemidiametri ſphęrę maioris ad ſemi
diametrum minoris. Demus ergo, quòd centrum maioris ſit a, cen-
trũ minoris b, punctus cõtactus ſit c. Et quia cõtactus fit in puncto
per 76 huius, interſectio uerò fit ſecundũ circulũ per 80 huius: palã,
quia facta interſectione ſphærarum, abſcindet ſphęra a diametrũ b c
in puncto alio quàm in termino ſuo, qui eſt punctus c. Sit ergo pun-
ctus, in quo ipſum abſcindit, punctus e: ponaturq́; , ut linea f e ſit æ-
qualis diametro ſphęrę b. Quoniam itaq; linea a c excedit lineam b
c in linea a b: linea uerò f e eſt ęqualis ſemidiametro b c: quoniam
ſunt ſemidiametri eiuſdem ſphęrę. Linea ergo a c excedit lineam
inuicẽ collocentur, ut nõ ſe interſecẽt: tunc ipſarũ idẽ erit centrũ: fa-
cta uerò interſectiõe ipſarũ, cẽtra diuerſantur per 81 huius: & ſecun-
dũ quod circuli քipheria, quę eſt cõmunis ſectio illarũ ſuperficierũ
ſphęricarũ, fit maior uel minor: ſecũdũ hoc plus uel minus diſtabũt
centra. Quòd ſi ſphęrę fuerint inęquales, quarũ una alterã intrinſe-
cus cõtingere poterit: tunc in ſitu ſuę cõtingentię centrorũ ſuorũ di
ſtantia ք 78 huius eſt exceſſus ſemidiametri ſphęrę maioris ad ſemi
diametrum minoris. Demus ergo, quòd centrum maioris ſit a, cen-
trũ minoris b, punctus cõtactus ſit c. Et quia cõtactus fit in puncto
per 76 huius, interſectio uerò fit ſecundũ circulũ per 80 huius: palã,
quia facta interſectione ſphærarum, abſcindet ſphęra a diametrũ b c
in puncto alio quàm in termino ſuo, qui eſt punctus c. Sit ergo pun-
ctus, in quo ipſum abſcindit, punctus e: ponaturq́; , ut linea f e ſit æ-
qualis diametro ſphęrę b. Quoniam itaq; linea a c excedit lineam b
c in linea a b: linea uerò f e eſt ęqualis ſemidiametro b c: quoniam
ſunt ſemidiametri eiuſdem ſphęrę. Linea ergo a c excedit lineam
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib