33533LIBER PRIMVS.
f e in linea a b:
ſed linea f e eſt maior quàm linea e c:
ergo a e, in qua linea a c excedit lineam e c, eſt
maior quàm linea a b. Plus ergo diſtant centra ſphærarum in interſectione, quàm in ſitu contactus:
& ſecundum quòd peripheria circuli, quæ eſt communis ſectio ſuarum ſuperficierum, minoratu,
ſecundum hoc diſtantia centrorum augetur: & ſecundum quòd illa peripheria augetur, ſecundum
hoc diſtantia centrorum minuitur: & reſpectu partis uniuerſi, ad quam fit interſectio, plus profun-
datur centrum ſphæræ continentis, reſpectu contactus, in tanto, quantò linea a e fit maior quàm li
nea a b. Et hoc eſt, quod proponebatur.
maior quàm linea a b. Plus ergo diſtant centra ſphærarum in interſectione, quàm in ſitu contactus:
& ſecundum quòd peripheria circuli, quæ eſt communis ſectio ſuarum ſuperficierum, minoratu,
ſecundum hoc diſtantia centrorum augetur: & ſecundum quòd illa peripheria augetur, ſecundum
hoc diſtantia centrorum minuitur: & reſpectu partis uniuerſi, ad quam fit interſectio, plus profun-
datur centrum ſphæræ continentis, reſpectu contactus, in tanto, quantò linea a e fit maior quàm li
nea a b. Et hoc eſt, quod proponebatur.
85. Si duæ ſphæræ intra tertiam ſecundum circulũ æqualem circulo maiori ſphæræ, intra quã
fit interſectio, ſe interſecent: utra illarum ſphærarum ſphæram, intra quam fit interſectio, in-
terſecabit: et omniũ illarũ ſuperficierũ ſphæricarũ cõmunis ſectio erit peripheria circuli unius.
fit interſectio, ſe interſecent: utra illarum ſphærarum ſphæram, intra quam fit interſectio, in-
terſecabit: et omniũ illarũ ſuperficierũ ſphæricarũ cõmunis ſectio erit peripheria circuli unius.
Verbi gratia:
ſit, ut ſphæra, cuius centrum a, interſecet ſphæram, cuius centrum ſit b, intra ſphæ-
ram, cuius centrum ſit c, ſecundum circulũ æqualẽ circulo maiori ſphę-
344[Figure 344]b c a rę c. Dico, quòd ſphæra a & ſphæra b interſecabũt ſphæram c: & omniũ
ſuperficierum ſphæricarum illarum ſphærarum erit communis ſectio
peripheria circuli illius, ſecundum quẽ ſphærarum a & b fiebat interſe-
ctio, hoc eſt cuiuſdam circuli magni ſphæræ c. Quoniam enim circulus
maior diuidit ſphæram per æqualia, quia tranſit per centrũ eius ex defi-
nitione: tũc patet, quòd æqualis eidẽ, (undecunq; contingat eũ in ſphæ
ra produci) diuidet eã per æqualia: & ſic interſecabit ſecun dũ illum cir
culum utraq; ſphærarum, ſcilicet a & b ſphæram c. Sphæra autem a in-
terſecante ſphæram b, communis ſectio eſt peripheria circuli per 80 hu
ius: diuidit autem iſte circulus ſphæram c per æqualia: ergo interſecat.
Eſt ergo eius peripheria in ſuperficie ſphærę c: ſed & eadem peripheria
eſt in ſuperficiebus ſphærarum a & b. In omniũ ergo ſphærarum illarũ
triũ ſuperficieb. eſt illa circuli peripheria. Eſt ergo ipſa cõmunis ſectio
omnium ſuperficierum dictarum ſphærarum. Quod eſt propoſitum.
ram, cuius centrum ſit c, ſecundum circulũ æqualẽ circulo maiori ſphę-
344[Figure 344]b c a rę c. Dico, quòd ſphæra a & ſphæra b interſecabũt ſphæram c: & omniũ
ſuperficierum ſphæricarum illarum ſphærarum erit communis ſectio
peripheria circuli illius, ſecundum quẽ ſphærarum a & b fiebat interſe-
ctio, hoc eſt cuiuſdam circuli magni ſphæræ c. Quoniam enim circulus
maior diuidit ſphæram per æqualia, quia tranſit per centrũ eius ex defi-
nitione: tũc patet, quòd æqualis eidẽ, (undecunq; contingat eũ in ſphæ
ra produci) diuidet eã per æqualia: & ſic interſecabit ſecun dũ illum cir
culum utraq; ſphærarum, ſcilicet a & b ſphæram c. Sphæra autem a in-
terſecante ſphæram b, communis ſectio eſt peripheria circuli per 80 hu
ius: diuidit autem iſte circulus ſphæram c per æqualia: ergo interſecat.
Eſt ergo eius peripheria in ſuperficie ſphærę c: ſed & eadem peripheria
eſt in ſuperficiebus ſphærarum a & b. In omniũ ergo ſphærarum illarũ
triũ ſuperficieb. eſt illa circuli peripheria. Eſt ergo ipſa cõmunis ſectio
omnium ſuperficierum dictarum ſphærarum. Quod eſt propoſitum.
86. Lineam à centro ſphæræ per centrum circuli ſphæram ſecantis, orthogonaliter ductam
medio abſciſſæ portionis eſt neceſſarium applicari.
medio abſciſſæ portionis eſt neceſſarium applicari.
Sit ſphæra, cuius centrum a, & ſit circulus b c d, cuius centrum ſit
345[Figure 345]c f b e d a e, abſcindens portionem ſphærę: ducaturq́; linea a e, & producatur
uſq; ad ſuperficiem ſphæricam, cui incidat in puncto f. Dico, quòd li
nea a e neceſſariò applicatur puncto, qui eſt medium abſciſſę portio
nis ſphærę in conuexo uel concauo ipſius: & quòd hoc eſt punctum
f. Ducantur enim lineæ a b, a c & a d, & copulentur lineę e b, e c, e d:
erunt itaq; trigona a e b, a e c & a e d omnia ſecundum latera ęquales
angulos reſpiciẽtia adinuicem proportionalia: quoniam illa ipſorũ
latera ſunt adinuicẽ æqualia, ut patet per ſphęrę & circuli definitio-
nes, & quia latus a e eſt omnibus commune: anguli itaq; b a e, c a e, d
a e omnes ſunt æquales per 5 p 6: ergo per 26 p 3 arcus b f, c f, d f ſunt
æquales. Et quoniam productis quibuslibet lineis à centro ſphæræ
a ad peripheriam circuli b c d, idem ſemper accidit: palàm, quia pun
ctus f eſt in medio portiõis abſciſſę de ſphęra. Et hoc proponebatur.
345[Figure 345]c f b e d a e, abſcindens portionem ſphærę: ducaturq́; linea a e, & producatur
uſq; ad ſuperficiem ſphæricam, cui incidat in puncto f. Dico, quòd li
nea a e neceſſariò applicatur puncto, qui eſt medium abſciſſę portio
nis ſphærę in conuexo uel concauo ipſius: & quòd hoc eſt punctum
f. Ducantur enim lineæ a b, a c & a d, & copulentur lineę e b, e c, e d:
erunt itaq; trigona a e b, a e c & a e d omnia ſecundum latera ęquales
angulos reſpiciẽtia adinuicem proportionalia: quoniam illa ipſorũ
latera ſunt adinuicẽ æqualia, ut patet per ſphęrę & circuli definitio-
nes, & quia latus a e eſt omnibus commune: anguli itaq; b a e, c a e, d
a e omnes ſunt æquales per 5 p 6: ergo per 26 p 3 arcus b f, c f, d f ſunt
æquales. Et quoniam productis quibuslibet lineis à centro ſphæræ
a ad peripheriam circuli b c d, idem ſemper accidit: palàm, quia pun
ctus f eſt in medio portiõis abſciſſę de ſphęra. Et hoc proponebatur.
87. Proportionem partis ſuperficiei ſphæricæ ad totalem ſuperficiem ſuæ ſphæræ, ſicut anguli
ſolidi in ipſam à centro ſphæræ cadentis, ad octo rectos ſolidos neceſſe eſt eſſe. È Nicolao Caba-
ſilla in 3 librum magnæ conſtructionis Ptolemæi.
346[Figure 346]a b d cſolidi in ipſam à centro ſphæræ cadentis, ad octo rectos ſolidos neceſſe eſt eſſe. È Nicolao Caba-
ſilla in 3 librum magnæ conſtructionis Ptolemæi.
Verbi gratia:
ſit a b c pars ſuperficiei ſphæricę ali-
cuius ſphærę, cuius centum ſit d: & ducantur lineæ
a d, b d, c d: & in ipſa ſuperficie ducantur lineæ a b, b
c, a c: fietq́; pyramis, cuius uertex eſt punctum d, &
baſis a b c. Palàm quoq; , quoniã angulus circa pun-
ctum d eſt ſolidus, tribus angulis ſuperficialibus cõ-
tentus. Dico, quòd quę eſt proportio illius anguli
ad 8 rectos angulos ſolidos, qui replent locum ſoli-
dum circa centrum d, eadem erit proportio ſuperfi-
ciei ſphæricæ, quæ eſt a b c, ad totam ſphæricam ſu-
perficiem ſuę ſphæræ. Imaginentur enim plurimi
circuli magni, tranſeuntes per omnia puncta illius
ſuperficiei, non ſecantes ſe ſuper illam. Patet itaq; ,
quoniã aliqui arcus illorum circulorũ determinãtur
per lineas terminales illius ſuperficiei: omniũ aũt il-
lorũ arcuũ partialiũ ad totos ſuos circulos eſt ꝓpor
cuius ſphærę, cuius centum ſit d: & ducantur lineæ
a d, b d, c d: & in ipſa ſuperficie ducantur lineæ a b, b
c, a c: fietq́; pyramis, cuius uertex eſt punctum d, &
baſis a b c. Palàm quoq; , quoniã angulus circa pun-
ctum d eſt ſolidus, tribus angulis ſuperficialibus cõ-
tentus. Dico, quòd quę eſt proportio illius anguli
ad 8 rectos angulos ſolidos, qui replent locum ſoli-
dum circa centrum d, eadem erit proportio ſuperfi-
ciei ſphæricæ, quæ eſt a b c, ad totam ſphæricam ſu-
perficiem ſuę ſphæræ. Imaginentur enim plurimi
circuli magni, tranſeuntes per omnia puncta illius
ſuperficiei, non ſecantes ſe ſuper illam. Patet itaq; ,
quoniã aliqui arcus illorum circulorũ determinãtur
per lineas terminales illius ſuperficiei: omniũ aũt il-
lorũ arcuũ partialiũ ad totos ſuos circulos eſt ꝓpor