Lemma 1.
Poteſt determinari tempus, quo percurruntur duo ſpatia æqualia motu na
turaliter accelerato inæquali. ſit v.g. tempus AF; ſit velocitas EF ac
quiſita tempore AF motu ſcilicet naturaliter accelerato minore; ſit
etiam velocitas FD acquiſita alio motu maiore eodem tempore AF;
haud dubiè ſpatium acquiſitum primo motu erit ad acquiſitum ſecundo,
æquali ſcilicet tempore, vt triangulum EAF ad triangulum DAF, vt
conſtat ex dictis lib.2. in controuerſia; ſpatium verò acquiſitum tempo
re AF primo motu, ſcilicet minore, idque v.g. in ratione ſubdupla erit
ad ſpatium acquiſitum ſecundo motu maiore tempore ſubduplo AI, vt
triangulum EAF ad triangulum BAI, ſed BAI, eſt ſubduplum EAF,
id eſt, vt FA ad IA, vt patet: vt autem inueniantur tempora, quæ re
ſpondent ſpatiis inæqualibus; ſit AH media proportionalis inter AI &
AF; haud dubiè triangulum CHA eſt ſubduplum DAF; igitur æquale
EAF; igitur velocitas acquiſita tempore AF ſit FE, motu ſcilicet mi
nore; acquiſita verò tempore AH motu maiore ſit HC; certè ſpatia
erunt vt CHA & DAF: ſed hæc ſunt æqualia; igitur motu maiore con
ficitur æquale ſpatium tempore AH & motu minore tempore AF.
turaliter accelerato inæquali. ſit v.g. tempus AF; ſit velocitas EF ac
quiſita tempore AF motu ſcilicet naturaliter accelerato minore; ſit
etiam velocitas FD acquiſita alio motu maiore eodem tempore AF;
haud dubiè ſpatium acquiſitum primo motu erit ad acquiſitum ſecundo,
æquali ſcilicet tempore, vt triangulum EAF ad triangulum DAF, vt
conſtat ex dictis lib.2. in controuerſia; ſpatium verò acquiſitum tempo
re AF primo motu, ſcilicet minore, idque v.g. in ratione ſubdupla erit
ad ſpatium acquiſitum ſecundo motu maiore tempore ſubduplo AI, vt
triangulum EAF ad triangulum BAI, ſed BAI, eſt ſubduplum EAF,
id eſt, vt FA ad IA, vt patet: vt autem inueniantur tempora, quæ re
ſpondent ſpatiis inæqualibus; ſit AH media proportionalis inter AI &
AF; haud dubiè triangulum CHA eſt ſubduplum DAF; igitur æquale
EAF; igitur velocitas acquiſita tempore AF ſit FE, motu ſcilicet mi
nore; acquiſita verò tempore AH motu maiore ſit HC; certè ſpatia
erunt vt CHA & DAF: ſed hæc ſunt æqualia; igitur motu maiore con
ficitur æquale ſpatium tempore AH & motu minore tempore AF.
Lemma 2.
Si accipiantur tempora æqualia cum motibus inæqualibus, ſpatia ſunt vt
baſes triangulorum; ſit enim tempus AI, quo motu maiore acquiratur ve
locitas IB, & minore IK; certè ſpatia ſunt vt triangula BAI, KAI;
ſed hæc ſunt vt baſes BI, KI, immò ſunt vt rectangula BA KA; nec
in his eſt quidquam difficultatis.
baſes triangulorum; ſit enim tempus AI, quo motu maiore acquiratur ve
locitas IB, & minore IK; certè ſpatia ſunt vt triangula BAI, KAI;
ſed hæc ſunt vt baſes BI, KI, immò ſunt vt rectangula BA KA; nec
in his eſt quidquam difficultatis.
Lemma 3.
Poſſunt determinari vel ſpatia inæqualia temporibus æqualibus, vel
tempora inæqualia ſpatiis æqualibus in chordis eiuſdem quadrantis, &
in perpendiculari, ſit tempus DI; ſit motus per ipſam perpendicula
rem AP, vel DI; ſit motus etiam per chordam inclinatam DP; velo
citas primi eſt ad velocitatem ſecundi in tempore DI, vt DP ad DI,
vel vt AK ad ſinum VK, vel vt IP ad NP, vel vt quadratum IA ad
rectangulum NA; ſed ſpatia ſunt vt velocitates ſuppoſitis temporibus
æqualibus; igitur ſpatium, quod percurritur in ipſa perpendiculari eſt
ad ſpatium, quod percurritur in inclinata DP temporibus æqualibus, vt
quadratum IA ad rectangulum NA, vel vt DP ad DI, vel vt DT ad
DP, quæ omnia conſtant; ſit autem motus in inclinata FP; certè ſpa
tium acquiſitum in perpendiculari eſt ad ſpatium acquiſitum in FP, vt
QZP ad ZI, vel FP ad FY, vel AP ad PR, vel AL ad LX, vel PI
ad PM, vel vt quadratum IA, ad rectangulum MA, vel vt F δ ad PF,
ſed F δ eſt æqualis DT, quia cum DP & FP percurrantur temporibus
æqualibus, ſique eo tempore quo percurritur DP, percurritur DT, &
eo quo percurritur FP, percurritur. F δ; certè DT & F δ ſunt
quales.
tempora inæqualia ſpatiis æqualibus in chordis eiuſdem quadrantis, &
in perpendiculari, ſit tempus DI; ſit motus per ipſam perpendicula
rem AP, vel DI; ſit motus etiam per chordam inclinatam DP; velo
citas primi eſt ad velocitatem ſecundi in tempore DI, vt DP ad DI,
vel vt AK ad ſinum VK, vel vt IP ad NP, vel vt quadratum IA ad
rectangulum NA; ſed ſpatia ſunt vt velocitates ſuppoſitis temporibus
æqualibus; igitur ſpatium, quod percurritur in ipſa perpendiculari eſt
ad ſpatium, quod percurritur in inclinata DP temporibus æqualibus, vt
quadratum IA ad rectangulum NA, vel vt DP ad DI, vel vt DT ad
DP, quæ omnia conſtant; ſit autem motus in inclinata FP; certè ſpa
tium acquiſitum in perpendiculari eſt ad ſpatium acquiſitum in FP, vt
QZP ad ZI, vel FP ad FY, vel AP ad PR, vel AL ad LX, vel PI
ad PM, vel vt quadratum IA, ad rectangulum MA, vel vt F δ ad PF,
ſed F δ eſt æqualis DT, quia cum DP & FP percurrantur temporibus
æqualibus, ſique eo tempore quo percurritur DP, percurritur DT, &
eo quo percurritur FP, percurritur. F δ; certè DT & F δ ſunt
quales.