337151
268[Figure 268]
Sumpto enim in data recta A B quocunque alio puncto H, vel in ipſius
parte producta vltra B, vt in prima figura, vel in ipſa A B, vt in ſecunda,
& ex H ducta H I perpendiculari ad A B, ſecante diagonalem D B in I,
ductaque A I ſecante circuli peripheriam in L, iunctiſque G L, G I: erit
angulus A L G rectus, atque externus trianguli L I G; quare internus L I
G acutus erit, ac ideo recta I M, quæ ex I erigitur perpendicularis ad I A,
hoc eſt, quæ ipſi L G æquidiſtat, ſecabit A B vltra punctum G, vt in M, ac
ideo erit A G minor A M. Et cum in triangulo rectangulo A I M, ſit vt A
H ad H I, ita H I ad H M, ſitque H I æqualis H B, erit A H ad H B, vt
H B ad H M, ergo A M eſt aggregatum extremarum proportionalium poſt
partes A H, H B, ſed eſt A G minor A M, vt modò oſtendimus: ergo ag-
gregatum A G minus eſt aggregato A M: & hoc ſemper vbicunque aſſum-
ptum fuerit punctum H extra C: ergo aggregatum A G minus eſt aggrega-
to A M: & hoc ſemper vbicunque aſſumptum fuerit punctum H extra C:
quare A G eſt _MINIMVM_ aggregatum quæſitum; & recta A B ſecta eſt in
C, vt imperatum fuit. Quod faciendum erat.
parte producta vltra B, vt in prima figura, vel in ipſa A B, vt in ſecunda,
& ex H ducta H I perpendiculari ad A B, ſecante diagonalem D B in I,
ductaque A I ſecante circuli peripheriam in L, iunctiſque G L, G I: erit
angulus A L G rectus, atque externus trianguli L I G; quare internus L I
G acutus erit, ac ideo recta I M, quæ ex I erigitur perpendicularis ad I A,
hoc eſt, quæ ipſi L G æquidiſtat, ſecabit A B vltra punctum G, vt in M, ac
ideo erit A G minor A M. Et cum in triangulo rectangulo A I M, ſit vt A
H ad H I, ita H I ad H M, ſitque H I æqualis H B, erit A H ad H B, vt
H B ad H M, ergo A M eſt aggregatum extremarum proportionalium poſt
partes A H, H B, ſed eſt A G minor A M, vt modò oſtendimus: ergo ag-
gregatum A G minus eſt aggregato A M: & hoc ſemper vbicunque aſſum-
ptum fuerit punctum H extra C: ergo aggregatum A G minus eſt aggrega-
to A M: & hoc ſemper vbicunque aſſumptum fuerit punctum H extra C:
quare A G eſt _MINIMVM_ aggregatum quæſitum; & recta A B ſecta eſt in
C, vt imperatum fuit. Quod faciendum erat.
SCHOLIVM.
SI quæratur iuxta quam rationem repertum punctum C diuidat datam A
B; id ex ipſa Theorematis conſtructione elicietur. Nam cum triangu-
la D A B, B E F ſint ſimilia inter ſe, erit B D ad D A, ſiue diameter qua-
drati ad latus, vt B F ad F E, vel ad F A, & cum ſit B C ad C E, vt C E
ad C F, ſitque B C æqualis C E (cum & B A æqualis ſit A D) erit etiam
C E ſiue C B æqualis C F. Quare ſi data recta B A diuidatur, ita vt pars
B F ad reliquam partem F A, ſit vt diameter cuiuſdam quadrati ad eius la-
tus, & maior pars B F ſecetur bifariam in C, hoc ipſum punctum erit quæ-
ſitum.
B; id ex ipſa Theorematis conſtructione elicietur. Nam cum triangu-
la D A B, B E F ſint ſimilia inter ſe, erit B D ad D A, ſiue diameter qua-
drati ad latus, vt B F ad F E, vel ad F A, & cum ſit B C ad C E, vt C E
ad C F, ſitque B C æqualis C E (cum & B A æqualis ſit A D) erit etiam
C E ſiue C B æqualis C F. Quare ſi data recta B A diuidatur, ita vt pars
B F ad reliquam partem F A, ſit vt diameter cuiuſdam quadrati ad eius la-
tus, & maior pars B F ſecetur bifariam in C, hoc ipſum punctum erit quæ-
ſitum.
Vel.
Cum rectæ A B, A D ſint æquales, &
perpendiculariter conſtitu-
tæ, erit A D, ſiue D E latus quadrati, & D B diameter, & E B exceſſus
diametri ſuper latus, ſed eſt A C ad C B, vt D E ad E B: ergo quæſitum
punctum C ſecat datam rectam A B, ita vt maior pars A C ad minorem C
B, ſit vt latus cuiuſdam quadrati ad exceſſum diametri ſuper latus, quæ ra-
tio, vt iam conſtat, cadit inter terminos incommenſurabiles.
tæ, erit A D, ſiue D E latus quadrati, & D B diameter, & E B exceſſus
diametri ſuper latus, ſed eſt A C ad C B, vt D E ad E B: ergo quæſitum
punctum C ſecat datam rectam A B, ita vt maior pars A C ad minorem C
B, ſit vt latus cuiuſdam quadrati ad exceſſum diametri ſuper latus, quæ ra-
tio, vt iam conſtat, cadit inter terminos incommenſurabiles.