338145
In _pramiſſas explicationes_ animadvertatur generatim.
1.
Propoſitam quamvis æquationem explicans _@μγνα_ deſignatur
hoc modo: proponatur, exempli causâ, _æquatio a5_ + _ba4_ + _cca3_
- _d3aa_ - _f4a_ = _n5_; In recta indefinitè protenſa HI deſignetur pun-
11Fig. 219. ctum A, pro radicum termino, vel origine; tum arbitrariè ſumptâ
AG pro indeterminatâ radice _a_; fiat GK æqualis primo feriei pro-
poſitam æquationem continentis gradu; nempe ſit hîc GK = _a_ + _b_
+ {_cc_/_a_} - {_d3_/_aa_} - {_f+_/_a3_} (utique rationem _a_ ad _c_ ſemel continuando fit
{_cc_/_a_}; rationem _a_ ad _d_ bis continuando fit {_d3_/_aa_}; acità porrò) tum inter
AG, GK tot mediarum proportionalium, quot æquationis propoſitæ
gradus exigit (is autem à pura quæſitæ radicis poteſtate indicatur) in
hoc nempe caſu quatuor mediarum proportionalium prima ſit GO;
per ejuſmodi puncta O traducta curva AOO propoſito deſerviet.
hoc modo: proponatur, exempli causâ, _æquatio a5_ + _ba4_ + _cca3_
- _d3aa_ - _f4a_ = _n5_; In recta indefinitè protenſa HI deſignetur pun-
11Fig. 219. ctum A, pro radicum termino, vel origine; tum arbitrariè ſumptâ
AG pro indeterminatâ radice _a_; fiat GK æqualis primo feriei pro-
poſitam æquationem continentis gradu; nempe ſit hîc GK = _a_ + _b_
+ {_cc_/_a_} - {_d3_/_aa_} - {_f+_/_a3_} (utique rationem _a_ ad _c_ ſemel continuando fit
{_cc_/_a_}; rationem _a_ ad _d_ bis continuando fit {_d3_/_aa_}; acità porrò) tum inter
AG, GK tot mediarum proportionalium, quot æquationis propoſitæ
gradus exigit (is autem à pura quæſitæ radicis poteſtate indicatur) in
hoc nempe caſu quatuor mediarum proportionalium prima ſit GO;
per ejuſmodi puncta O traducta curva AOO propoſito deſerviet.
2.
De radicibus falſis, ſeu negativis nihil attigimus ſuprà;
cæte-
rùm eæ reperiuntur hoc modo. Æquationi propoſitæ ſubrogetur
altera, cujus in locis paribus (etiam vacuos locos adnumerando)
ſigna ſunt illis contraria, quæ habet æquatio propoſita; erunt hu-
juſce _ſubdititiæ æquationis_ radices veræ, ſeu poſitivæ ipſius propoſitæ
æquationis radices falſæ, ſeu negativæ. _Exemplo_ ſit _æquatio a3_ + _baa_
= _n3_; vel _a3_ + _baa*_ - _n3_ = _o_. Subrogetur _a3_ - _baa*_ + _n3_ = _o_; &
hujus, + utì ſuprà edoctum, veræ radices deſignentur, hæ _propoſitæ_
22_+ In Serie 3_. _aquationis_ falſæ erunt. Rurſus ſit _a3_ - _baa_ = _n3_; vel _a3_ - _baa_ - _n3_
= _o_; ſubſtituatur æquatio _a3_ + _baa_ + _n3_ = _o_; hæc nullam veram
radicem obtinet; ergò nec _æquatio propoſita_ falſam admittit.
rùm eæ reperiuntur hoc modo. Æquationi propoſitæ ſubrogetur
altera, cujus in locis paribus (etiam vacuos locos adnumerando)
ſigna ſunt illis contraria, quæ habet æquatio propoſita; erunt hu-
juſce _ſubdititiæ æquationis_ radices veræ, ſeu poſitivæ ipſius propoſitæ
æquationis radices falſæ, ſeu negativæ. _Exemplo_ ſit _æquatio a3_ + _baa_
= _n3_; vel _a3_ + _baa*_ - _n3_ = _o_. Subrogetur _a3_ - _baa*_ + _n3_ = _o_; &
hujus, + utì ſuprà edoctum, veræ radices deſignentur, hæ _propoſitæ_
22_+ In Serie 3_. _aquationis_ falſæ erunt. Rurſus ſit _a3_ - _baa_ = _n3_; vel _a3_ - _baa_ - _n3_
= _o_; ſubſtituatur æquatio _a3_ + _baa_ + _n3_ = _o_; hæc nullam veram
radicem obtinet; ergò nec _æquatio propoſita_ falſam admittit.
3.
Quinimò datâ verâ radice quâpiam, depreſſioris gradûs æqua-
tio quædam ſalſis reperiendis inſerviet, qualis ità determinatur. Pro-
ponatur æquatio quævis, puta _a3_ + _baa_ = _n3_; cujus nota ſit radix una,
quæ vocetur _f_. Conſtruatur æquatio planè ſimilis propoſitæ, eáſ-
demque _coefficientes_ habens, tantum pro _a_ ſubſtituendo _f_; nempe
_f3_ + _bff_ = _n3_. ergo _a3_ + _baa_ = _n3_ = _f3_ + _bff_; adeóque
_a3_ + _baa_ - _f3_ - _bff_ = _o_. dividatur hæc æquatio (id quod ſem-
per fieri poteſt) per _a_ - _f_; proveniet _a a_ { + _ba_ + _bf_ + _fa_ + _ff_} = _o_; cujus æ-
quationes eædem erunt cum reliquis æquationis propoſitæ radicibus;
quæ proinde duas colligitur radices falſas habere; itaque mutatis loco-
rum parìum ſignis, ut ità fiat _a a_ { - _ba_ + _bf_/ - _fa_ + _ff_} = _o_; hujus
tio quædam ſalſis reperiendis inſerviet, qualis ità determinatur. Pro-
ponatur æquatio quævis, puta _a3_ + _baa_ = _n3_; cujus nota ſit radix una,
quæ vocetur _f_. Conſtruatur æquatio planè ſimilis propoſitæ, eáſ-
demque _coefficientes_ habens, tantum pro _a_ ſubſtituendo _f_; nempe
_f3_ + _bff_ = _n3_. ergo _a3_ + _baa_ = _n3_ = _f3_ + _bff_; adeóque
_a3_ + _baa_ - _f3_ - _bff_ = _o_. dividatur hæc æquatio (id quod ſem-
per fieri poteſt) per _a_ - _f_; proveniet _a a_ { + _ba_ + _bf_ + _fa_ + _ff_} = _o_; cujus æ-
quationes eædem erunt cum reliquis æquationis propoſitæ radicibus;
quæ proinde duas colligitur radices falſas habere; itaque mutatis loco-
rum parìum ſignis, ut ità fiat _a a_ { - _ba_ + _bf_/ - _fa_ + _ff_} = _o_; hujus