338308GEOMETR. PRACT.
Esto corpus planis ſuperficiebus contentum A B C D, circa ſphæram
EFGH, cuius centrum I, deſcriptum, in quo ducantur ex I, ad puncta conta-
ctuum lineæ rectæ IE, IF, IG, IH, quæ ad baſes ſolidi erunt perpendiculares. Nam
ſi verbi gratia per rectam IE, ducatur planum faciens in ſphæra, per propoſ. 1.
113. vndec. lib. 1. Theod. circulum EFGH, & in baſi rectam AB; tanget circulus EFGH, rectam A B, in puncto E, propterea quod ſphæra baſim non ſecat, ſed tangit.
2218. tertii. Igitur IE, ad rectam AB, perpendicularis erit. Eadem ratione, ſi per I E, duca- tur aliud planum, à priori differens, fiet alius circulus in ſphæra, & alia linea recta
in eadem baſi ſecans rectam A B, in E; ad quam et-
230[Figure 230]334. vndec.
iam I E, perpendicularis erit:
Ac propterea IE, ad
baſim ſolidi per illas rectas ductam perpendicularis
erit. Non aliter oſtendemus, rectas IF, IG, IH, ad alias
baſes eſſe perpendiculares. Sit quo que ſolidum re-
ctangulum L R, cuius baſes KLMN, ſit æqualis ter-
tiæ parti ambitus corporis ABCD; altitudo verò ſi-
ue perpendicularis L P, æqualis vni perpendicula-
rium ex centro I, ad baſes corporis A B C D, caden-
tium; quæ omnes inter ſe æquales ſunt ex defin.
ſphæræ. Dico ſolidum LR, corpori ABCD, æquale
eſſe. Ducantur enim ex centro I, ad omnes angulos
corporis ABCD, rectælineæ, vt totum corpus in py-
ramides, ex quibus componitur, diuidatur: quarum
quidem pyramidum baſes eædem ſunt quæ corpo-
4414. hui{us}. ris, vertex autem communis centrum I. Quoniam igitur quælibet harum pyramidum æqualis eſt ſolido
rectangulo ſub perpendiculari L P, quæ ſingulis perpendicularibus corporis
ABCD, æqualis ponitur, & tertia parte ſuæ baſis contento; Si fiant tot ſolida
rectangula, quot ſunt pyramides, erunt omnia hæc ſimul æqualia ſolido rectan-
gulo LR. (Si enim rectangulum K L M N, diuidatur in tot rectangula, quot
baſes ſunt in ſolido propoſito, ita vt primum æquale ſit tertiæ parti vnius baſis,
& ſecundum tertiæ parti alterius, & ita deinceps, quando quidem totum rectan-
gulum K L M N, æquale ponitur tertiæ parti totius ambitus ſolidi; intelligan-
tur autem ſuper illa rectangula conſtitui parallelepipeda; erunt omnia ſimul
5514. hui{us}. æqualia parallelepipedo L R.) Cum ergo ſingula parallelepipeda ſingulis pyramidibus ſint æqualia; erunt quo que omnes pyramides, nempe corpus
A B C D, ex illis compoſitum, æquale ſolido rectangulo L R. Quamobrem
area cuiuslibet corporis planis ſuperficiebus contenti, & c. quod demonſtran-
dum erat.
EFGH, cuius centrum I, deſcriptum, in quo ducantur ex I, ad puncta conta-
ctuum lineæ rectæ IE, IF, IG, IH, quæ ad baſes ſolidi erunt perpendiculares. Nam
ſi verbi gratia per rectam IE, ducatur planum faciens in ſphæra, per propoſ. 1.
113. vndec. lib. 1. Theod. circulum EFGH, & in baſi rectam AB; tanget circulus EFGH, rectam A B, in puncto E, propterea quod ſphæra baſim non ſecat, ſed tangit.
2218. tertii. Igitur IE, ad rectam AB, perpendicularis erit. Eadem ratione, ſi per I E, duca- tur aliud planum, à priori differens, fiet alius circulus in ſphæra, & alia linea recta
in eadem baſi ſecans rectam A B, in E; ad quam et-
erit. Non aliter oſtendemus, rectas IF, IG, IH, ad alias
baſes eſſe perpendiculares. Sit quo que ſolidum re-
ctangulum L R, cuius baſes KLMN, ſit æqualis ter-
tiæ parti ambitus corporis ABCD; altitudo verò ſi-
ue perpendicularis L P, æqualis vni perpendicula-
rium ex centro I, ad baſes corporis A B C D, caden-
tium; quæ omnes inter ſe æquales ſunt ex defin.
ſphæræ. Dico ſolidum LR, corpori ABCD, æquale
eſſe. Ducantur enim ex centro I, ad omnes angulos
corporis ABCD, rectælineæ, vt totum corpus in py-
ramides, ex quibus componitur, diuidatur: quarum
quidem pyramidum baſes eædem ſunt quæ corpo-
4414. hui{us}. ris, vertex autem communis centrum I. Quoniam igitur quælibet harum pyramidum æqualis eſt ſolido
rectangulo ſub perpendiculari L P, quæ ſingulis perpendicularibus corporis
ABCD, æqualis ponitur, & tertia parte ſuæ baſis contento; Si fiant tot ſolida
rectangula, quot ſunt pyramides, erunt omnia hæc ſimul æqualia ſolido rectan-
gulo LR. (Si enim rectangulum K L M N, diuidatur in tot rectangula, quot
baſes ſunt in ſolido propoſito, ita vt primum æquale ſit tertiæ parti vnius baſis,
& ſecundum tertiæ parti alterius, & ita deinceps, quando quidem totum rectan-
gulum K L M N, æquale ponitur tertiæ parti totius ambitus ſolidi; intelligan-
tur autem ſuper illa rectangula conſtitui parallelepipeda; erunt omnia ſimul
5514. hui{us}. æqualia parallelepipedo L R.) Cum ergo ſingula parallelepipeda ſingulis pyramidibus ſint æqualia; erunt quo que omnes pyramides, nempe corpus
A B C D, ex illis compoſitum, æquale ſolido rectangulo L R. Quamobrem
area cuiuslibet corporis planis ſuperficiebus contenti, & c. quod demonſtran-
dum erat.