339309LIBER SEPTIMVS.
ABC.
Dico corpus E, ſphæræ ABC, eſſe æquale.
Nam ſi non eſt æquale:
ſit, ſi
fieri poteſt, primum maius, ſitque exceſſus corporis E, ſupra ſphæram A B C,
quantitas F. Intelligatur circa centrum D, deſcripta ſphæra GHK, maior quam
ſphæra ABC, ita tamen, vt exceſſus ſphæræ GHK, ſupra ſphęram ABC, non ſit
maior quantitate F, ſed vel æqualis, vel minor, hoc eſt, vt ſphæra GHK, ſit vel ę-
qualis ſolido E, quando nimirum ipſa excedit ſphærã A B C, præciſè quantitate
F; vel minor, ſi nimirum ipſa excedit ſphæram A B C, minori quãtitate, quam F.
Neceſſario enim aliqua ſphæra erit, quæ vel æqualis ſit magnitudini E, atq; ad-
eo maior quam ſphæra ABC; vel maior quidem quam ſphæra ABC, minor verò
1117. duodec. quam magnitudo E, quæ maior ponitur, quam ſphæra ABC. Inſcribatur de- inde intra ſphæram GHK, corpus, quod non tangat ſphæram A B C, ita vt vna-
quæque perpendicularium ex centro D, ad baſes iſtius corporis eductarum ma-
ior ſit ſemidiametro A D. Siigitur à centro D, ad omnes angulos dicti corporis
ducantur lineæ rectæ, vt to tum corpus in pyramides diuidatur, quarum baſes
ſunt eædem, quæ corporis G H K, vertex autem communis centrum D; 2214. hui{us}. quælibet pyramis æqualis ſolido rectangulo contento ſub eius perpendiculari,
& tertia parte baſis; Atq; idcirco ſolidum
231[Figure 231]
rectangulum contentum ſub ſemidiame-
tro AD, & tertia parte baſis cuiuslibet py-
ramidis, minus ipſa pyramide erit. Et quo-
niam omnia ſolida rectangula cõtenta ſub
ſingulis perpendicularibus ex centro D, ad
baſes corporis dicti protractis, & ſingulis
tertijs partibus baſium, ſimul æqualia ſunt
toti corpori; efficiunt autem omnes tertiæ
partes baſium ſimul tertiam partem ambi-
tus corporis; erit ſolidum rectangulũ con-
tẽtum ſub ſemidiametro AD, & tertia par-
te ambitus præfati corporis inſcripti intra
ſphæram G H K, minus corpore inſcripto.
Quoniam verò ambitus corporis inſcripti
maior eſt ambitu ſphęræ ABC, vt demon-
ſtrat Archimedes lib. 1. de ſphęra & cylin-
dro propoſ. 27. atque adeo & tertia pars
ambitus dicti corporis maior tertia parte ambitus ſphęrę ABC: erit ſolidum re-
ctangulum contentum ſub ſemidiametro AD, & tertia parte ambitus ſphęrę A-
B C, hoc eſt, ſolidum E, multo minus corpore inſcripto intra ſphęram G H K:
Poſita eſt autem ſphæra GHK, vel æqualis ſolido E, vel minor. Igitur & ſphę-
ra G H K, minor erit corpore intra ipſam deſcripto, totum parte quod eſt ab-
ſurdum. Quo circa ſolidum E, maius non erit ſphęra ABC.
fieri poteſt, primum maius, ſitque exceſſus corporis E, ſupra ſphæram A B C,
quantitas F. Intelligatur circa centrum D, deſcripta ſphæra GHK, maior quam
ſphæra ABC, ita tamen, vt exceſſus ſphæræ GHK, ſupra ſphęram ABC, non ſit
maior quantitate F, ſed vel æqualis, vel minor, hoc eſt, vt ſphæra GHK, ſit vel ę-
qualis ſolido E, quando nimirum ipſa excedit ſphærã A B C, præciſè quantitate
F; vel minor, ſi nimirum ipſa excedit ſphæram A B C, minori quãtitate, quam F.
Neceſſario enim aliqua ſphæra erit, quæ vel æqualis ſit magnitudini E, atq; ad-
eo maior quam ſphæra ABC; vel maior quidem quam ſphæra ABC, minor verò
1117. duodec. quam magnitudo E, quæ maior ponitur, quam ſphæra ABC. Inſcribatur de- inde intra ſphæram GHK, corpus, quod non tangat ſphæram A B C, ita vt vna-
quæque perpendicularium ex centro D, ad baſes iſtius corporis eductarum ma-
ior ſit ſemidiametro A D. Siigitur à centro D, ad omnes angulos dicti corporis
ducantur lineæ rectæ, vt to tum corpus in pyramides diuidatur, quarum baſes
ſunt eædem, quæ corporis G H K, vertex autem communis centrum D; 2214. hui{us}. quælibet pyramis æqualis ſolido rectangulo contento ſub eius perpendiculari,
& tertia parte baſis; Atq; idcirco ſolidum
tro AD, & tertia parte baſis cuiuslibet py-
ramidis, minus ipſa pyramide erit. Et quo-
niam omnia ſolida rectangula cõtenta ſub
ſingulis perpendicularibus ex centro D, ad
baſes corporis dicti protractis, & ſingulis
tertijs partibus baſium, ſimul æqualia ſunt
toti corpori; efficiunt autem omnes tertiæ
partes baſium ſimul tertiam partem ambi-
tus corporis; erit ſolidum rectangulũ con-
tẽtum ſub ſemidiametro AD, & tertia par-
te ambitus præfati corporis inſcripti intra
ſphæram G H K, minus corpore inſcripto.
Quoniam verò ambitus corporis inſcripti
maior eſt ambitu ſphęræ ABC, vt demon-
ſtrat Archimedes lib. 1. de ſphęra & cylin-
dro propoſ. 27. atque adeo & tertia pars
ambitus dicti corporis maior tertia parte ambitus ſphęrę ABC: erit ſolidum re-
ctangulum contentum ſub ſemidiametro AD, & tertia parte ambitus ſphęrę A-
B C, hoc eſt, ſolidum E, multo minus corpore inſcripto intra ſphęram G H K:
Poſita eſt autem ſphæra GHK, vel æqualis ſolido E, vel minor. Igitur & ſphę-
ra G H K, minor erit corpore intra ipſam deſcripto, totum parte quod eſt ab-
ſurdum. Quo circa ſolidum E, maius non erit ſphęra ABC.
Sit Deinde, ſi fieri poteſt, ſolidum E, minus, quam ſphęra ABC, exce-
datur que à ſphęra ABC, quantitate F. Intelligatur circa centrum D, ſphęra de-
ſcripta L M N, minor quàm ſphęra A B C, ita tamen vt exceſſus, quo ſphęra
LMN, ſuperatur à ſphęra ABC, non ſit maior quantitate F, ſed vel æqualis, vel
minor, hoc eſt, vt ſphęra LMN, ſit vel æqualis ſolido E, ſi nimirum ipſa exceda-
tur à ſphęra ABC, quantitate F, vel maior ſolido E, ſi videlicet ſphęra L M N, à
ſphęra ABC, ſuperetur minori quantitate, quam F. Neceſſario enim aliqua
datur que à ſphęra ABC, quantitate F. Intelligatur circa centrum D, ſphęra de-
ſcripta L M N, minor quàm ſphęra A B C, ita tamen vt exceſſus, quo ſphęra
LMN, ſuperatur à ſphęra ABC, non ſit maior quantitate F, ſed vel æqualis, vel
minor, hoc eſt, vt ſphęra LMN, ſit vel æqualis ſolido E, ſi nimirum ipſa exceda-
tur à ſphęra ABC, quantitate F, vel maior ſolido E, ſi videlicet ſphęra L M N, à
ſphęra ABC, ſuperetur minori quantitate, quam F. Neceſſario enim aliqua