34038VITELLONIS OPTICAE
æquidiſtans baſi fieri poterit per 31 p 1, ducta ab uno puncto primæ ſectiõis linea æquidiſtante alicui
linearum baſis pyramidis, & à terminis illius alijs lineis æquidiſtantibus reliquis lineis baſis produ
ctis. ) Ex hoc autem accidit impoſsibile, quoniã ſequitur ex hypotheſi angulum extrinſecum pro-
pter trigonorum ſimilitudinem æqualem fieri intrinſeco: cum ab uno puncto exeant duæ lineæ æ-
quales angulos cõtinentes angulis illis, qui fiunt per lineã aliquã longitudinis & per lineam aliquã
peripherię baſis. Patet ergo propoſitum in pyramidibus. Et eodem modo demonſtrandũ eſt in co-
lumnis lateratis, & facilius propter æqualitatem linearum per 34 primi.
linearum baſis pyramidis, & à terminis illius alijs lineis æquidiſtantibus reliquis lineis baſis produ
ctis. ) Ex hoc autem accidit impoſsibile, quoniã ſequitur ex hypotheſi angulum extrinſecum pro-
pter trigonorum ſimilitudinem æqualem fieri intrinſeco: cum ab uno puncto exeant duæ lineæ æ-
quales angulos cõtinentes angulis illis, qui fiunt per lineã aliquã longitudinis & per lineam aliquã
peripherię baſis. Patet ergo propoſitum in pyramidibus. Et eodem modo demonſtrandũ eſt in co-
lumnis lateratis, & facilius propter æqualitatem linearum per 34 primi.
100. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem uel columnam rotundam trans axem æ-
quidiſtanter baſi, & curuæ ſuperficiei pyramidis uel columnæ communis ſectio eſt circulus: & ſi
illa ſectio eſt circulus, ſuperficies ſecans eſt æquidiſtans baſi. Ex quo patet, quòd omnis plana ſu-
perficies æquidiſtanter baſi ſecans pyramidem uel columnam, nouam pyramidem conſtituit uel
columnam. 4 theor. 1 Conicorum Apollonij, & 5 the. Cylindricorum Sereni.
quidiſtanter baſi, & curuæ ſuperficiei pyramidis uel columnæ communis ſectio eſt circulus: & ſi
illa ſectio eſt circulus, ſuperficies ſecans eſt æquidiſtans baſi. Ex quo patet, quòd omnis plana ſu-
perficies æquidiſtanter baſi ſecans pyramidem uel columnam, nouam pyramidem conſtituit uel
columnam. 4 theor. 1 Conicorum Apollonij, & 5 the. Cylindricorum Sereni.
Sit pyramis rotũda a b c, cuius uertex a:
diameter baſis b c, & centrũ baſis d:
ſecetq́;
ipſam ſuperfi
cies plana æquidiſtanter baſi: & ſit cõmunis ſectio ſuperficiei illius & ſuperficiei conicæ pyramidis
linea e f g. Dico, quòd linea e f g eſt peripheria circuli. Secet enim alia ſuperficies plana pyramidem
per uerticem & per axem, qui eſt a d. Cõmunis itaq; illius ſuperficiei & pyramidis ſectio eſt trigonũ
(quod ſit a b c) per 90 huius: ſecetq́; ſuperficies e f g axem a d in puncto h: & trigonum a b c ſecet ſu-
perficiem e f g in linea e h f. Erit ergo linea e h æquidiſtans lineæ b d
354[Figure 354]a e h f g b d c per 16 p 11: eſt ergo per 29 p 1 & 4 p 6 proportio lineæ b a ad e a, ſi-
cut lineæ c a ad lineam a f: ergo per 7 huius erit euerſim proportio
lineę b a ad lineam b e, ſicut lineę c a ad lineam c f: ergo per 16 p 5 erit
permutatim proportio lineę b a ad lineam c a, ſicut lineę b e ad lineã
c f. Sed linea b a eſt ęqualis ipſi c a per 89 huius: ergo erit linea b e æ-
qualis lineę c f. Ducantur itaq; lineæ d e, d f. Et quoniã per 89 huius,
anguli, quos continent lineę longitudinis pyramidum cum ſemidia
metris baſium, ſunt æquales: palàm per 4 p 1, quia linea d e eſt æqua-
lis lineæ d f: & angulus e d b eſt æqualis angulo f d c. Quia uerò an-
gulus h d b æqualis angulo h d c: quoniã ambo ſunt recti: & angulus
e d b æqualis angulo f d c: remanet angulus e d h æqualis angulo f d
h: quoniã ſunt reſiduę partes rectorũ ſupér angulos æquales. Palàm
ergo per 4 p 1 quoniã linea e h eſt ęquàlis lineę h f. Similiterq́; ductis
lineis h g & d g, & cõpleta, prout in præmiſsis, figuratione, declara-
bitur, quoniã linea f h eſt æqualis lineæ g h: ſunt enim trigona æqui-
angula, ut patet intendenti. Ergo per 9 p 3 punctum h eſt centrũ cir-
culi. Eſt ergo e f g linea circũferentia circuli. Quod eſt propoſitũ. Et
ſi ſectio e f g eſt circulus, palàm quoniã ſuperficies plana ſecundum
illum circulum ſecans pyramidem, eſt æquidiſtans baſi: erit enim e a
f pyramis, cuius axis a h, & centrum baſis h: erit itaq; linea longitudinis, quę eſt e a, æqualis lineę f a
per 89 huius: ſed & linea b a æqualis eſt ipſi c a: remanet ergo linea b e æqualis ipſi e f. Erit quoq; li-
nea e d æqualis lineę f d per 4 p 1. Et quia trigona e h d & f h d ſunt æqualia inter ſe latera habentia:
ergo per 8 p 1 angulus e h d eſt æqualis angulo f h d. Ergo per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem
erectę patet, quod linea d h erecta eſt ſuper ſuperficiem e f g: ſed eadem linea h d eſt erecta ſuper ba-
ſim pyramidis, cuius diameter eſt b c. Ergo per 14 p 11 ſuperficies e f g eſt æquidiſtans baſi datę pyra
midis. Quod eſt propoſitum: quoniam ſimpliciter ſecundum præmiſſum in pyramidibus modum,
in columnis quoq; rotundis poteſt demonſtrari, & propter æquidiſtantiam linearum longitudinis
columnę facilitas accedit demõſtrationi. Fiunt enim lineę d f, d g, d e æquales: ergo & lineę h e, h g,
h f: eritq́; ſectio e g f circulus per 9 p 3. Et conuerſa ſimpliciter patet per 14 p 11, ut prius. Et hoc pro-
ponebatur. Per hæc itaq; patet manifeſtè, quoniam omnis plana ſuperficies ſecans quamcunq; py-
ramidem ęquidiſtanter ſuę baſi, nouã conſtituit pyramidem, cuius in pyramide rotunda, baſis eſt
circulus, & in laterata pyramide ſuperficies ſimilis baſi illius ſectę pyramidis, ut patet per 99 huius.
Semper tamen uertex illius pyramidis abſciſſę eſt idem cum uertice prioris, & axis abſciſſę, pars a-
xis ipſius prioris datę: baſis quoq; æquidiſtat baſi. Similiter quoq; fit in columnis rotundis uel late
ratis: ſuperficies enim ęquidiſtanter baſibus ſecans quamcunq; columnam, nouam efficit columnã
rotundam uel lateratam: imò duas, ſcilicet abſciſſam & ipſam reſiduam: quod non accidit in pyrami
dibus. Patet ergo totum, quod proponebatur.
cies plana æquidiſtanter baſi: & ſit cõmunis ſectio ſuperficiei illius & ſuperficiei conicæ pyramidis
linea e f g. Dico, quòd linea e f g eſt peripheria circuli. Secet enim alia ſuperficies plana pyramidem
per uerticem & per axem, qui eſt a d. Cõmunis itaq; illius ſuperficiei & pyramidis ſectio eſt trigonũ
(quod ſit a b c) per 90 huius: ſecetq́; ſuperficies e f g axem a d in puncto h: & trigonum a b c ſecet ſu-
perficiem e f g in linea e h f. Erit ergo linea e h æquidiſtans lineæ b d
354[Figure 354]a e h f g b d c per 16 p 11: eſt ergo per 29 p 1 & 4 p 6 proportio lineæ b a ad e a, ſi-
cut lineæ c a ad lineam a f: ergo per 7 huius erit euerſim proportio
lineę b a ad lineam b e, ſicut lineę c a ad lineam c f: ergo per 16 p 5 erit
permutatim proportio lineę b a ad lineam c a, ſicut lineę b e ad lineã
c f. Sed linea b a eſt ęqualis ipſi c a per 89 huius: ergo erit linea b e æ-
qualis lineę c f. Ducantur itaq; lineæ d e, d f. Et quoniã per 89 huius,
anguli, quos continent lineę longitudinis pyramidum cum ſemidia
metris baſium, ſunt æquales: palàm per 4 p 1, quia linea d e eſt æqua-
lis lineæ d f: & angulus e d b eſt æqualis angulo f d c. Quia uerò an-
gulus h d b æqualis angulo h d c: quoniã ambo ſunt recti: & angulus
e d b æqualis angulo f d c: remanet angulus e d h æqualis angulo f d
h: quoniã ſunt reſiduę partes rectorũ ſupér angulos æquales. Palàm
ergo per 4 p 1 quoniã linea e h eſt ęquàlis lineę h f. Similiterq́; ductis
lineis h g & d g, & cõpleta, prout in præmiſsis, figuratione, declara-
bitur, quoniã linea f h eſt æqualis lineæ g h: ſunt enim trigona æqui-
angula, ut patet intendenti. Ergo per 9 p 3 punctum h eſt centrũ cir-
culi. Eſt ergo e f g linea circũferentia circuli. Quod eſt propoſitũ. Et
ſi ſectio e f g eſt circulus, palàm quoniã ſuperficies plana ſecundum
illum circulum ſecans pyramidem, eſt æquidiſtans baſi: erit enim e a
f pyramis, cuius axis a h, & centrum baſis h: erit itaq; linea longitudinis, quę eſt e a, æqualis lineę f a
per 89 huius: ſed & linea b a æqualis eſt ipſi c a: remanet ergo linea b e æqualis ipſi e f. Erit quoq; li-
nea e d æqualis lineę f d per 4 p 1. Et quia trigona e h d & f h d ſunt æqualia inter ſe latera habentia:
ergo per 8 p 1 angulus e h d eſt æqualis angulo f h d. Ergo per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem
erectę patet, quod linea d h erecta eſt ſuper ſuperficiem e f g: ſed eadem linea h d eſt erecta ſuper ba-
ſim pyramidis, cuius diameter eſt b c. Ergo per 14 p 11 ſuperficies e f g eſt æquidiſtans baſi datę pyra
midis. Quod eſt propoſitum: quoniam ſimpliciter ſecundum præmiſſum in pyramidibus modum,
in columnis quoq; rotundis poteſt demonſtrari, & propter æquidiſtantiam linearum longitudinis
columnę facilitas accedit demõſtrationi. Fiunt enim lineę d f, d g, d e æquales: ergo & lineę h e, h g,
h f: eritq́; ſectio e g f circulus per 9 p 3. Et conuerſa ſimpliciter patet per 14 p 11, ut prius. Et hoc pro-
ponebatur. Per hæc itaq; patet manifeſtè, quoniam omnis plana ſuperficies ſecans quamcunq; py-
ramidem ęquidiſtanter ſuę baſi, nouã conſtituit pyramidem, cuius in pyramide rotunda, baſis eſt
circulus, & in laterata pyramide ſuperficies ſimilis baſi illius ſectę pyramidis, ut patet per 99 huius.
Semper tamen uertex illius pyramidis abſciſſę eſt idem cum uertice prioris, & axis abſciſſę, pars a-
xis ipſius prioris datę: baſis quoq; æquidiſtat baſi. Similiter quoq; fit in columnis rotundis uel late
ratis: ſuperficies enim ęquidiſtanter baſibus ſecans quamcunq; columnam, nouam efficit columnã
rotundam uel lateratam: imò duas, ſcilicet abſciſſam & ipſam reſiduam: quod non accidit in pyrami
dibus. Patet ergo totum, quod proponebatur.
101. In qualibet columna uel pyramide à dato in eius ſuperficie puncto, lineam longitudinis
ducere. 7 theo. Cylindricorum Sereni.
ducere. 7 theo. Cylindricorum Sereni.
Imaginetur enim ſuperficies plana ſecãs pyramidem uel columnã trans illius punctum & trans
axem: quod fiet, ſi à puncto dato ducatur linea recta ſuper axẽ: illa ergo linea & axis ſunt in una ſu-
perficie per 2 p 11: quę ſuperficies ſecabit pyramidem ſecundum lineam longitudinis per illud pun-
ctum tranſeuntem per 90 huius: columnam quoq; per 92 huius. Patet ergo propoſitum.
axem: quod fiet, ſi à puncto dato ducatur linea recta ſuper axẽ: illa ergo linea & axis ſunt in una ſu-
perficie per 2 p 11: quę ſuperficies ſecabit pyramidem ſecundum lineam longitudinis per illud pun-
ctum tranſeuntem per 90 huius: columnam quoq; per 92 huius. Patet ergo propoſitum.
102. À dato puncto, ſiue in axe, ſiue in ſuperficie curua datæ pyramidis rotundæ uel colũnæ,
circulum circumducere.
circulum circumducere.