34139LIBER PRIMVS.
Eſto pyramis, cuius uertex punctũ a, axis uerò a d:
in quo ſit datus punctus e, à quo debemus cir
culum totali ſuperficiei conicæ circunducere. Sit itaq; , ut ſuperficies plana ſecet pyramidẽ ſecundũ
axem a d trans punctũ e: cõmunis itaq; ſectio illius ſuperficiei planæ & ſuperficiei conicæ erit trigo
num per 90 huius: cuius baſis ſit b c, quę erit diameter baſis pyrami-
355[Figure 355]a f e g h b d cdis. In hac itaq; ſuperficie per 11 p 1 ducatur à puncto e linea perpendi
culariter ſuper axem a d, quæ producta ad conicã ſuperficiem ſit e f:
& item ab eodẽ puncto e ducatur linea e g perpendiculariter ſuper
axẽ a d: cadatq́; punctũ g in conica pyramidis ſuperficie: & ſimiliter
ducatur linea e h perpendiculariter ſuper axem a d: cadatq́; punctus
h in conica ſuperficie. Quia ergo linea a e ſuper cõmunem terminum
linearũ e f, e g, e h orthogonaliter inſiſtit, palàm per 5 p 11, quoniã illæ
lineę ſunt in una ſuperficie: eritq́; per 4 p 11 linea a e perpẽdiculariter
erecta ſuper illã ſuperficiẽ f g h. Et quoniã linea a d erecta eſt perpen-
diculariter ſuper baſim pyramidis per 89 huius, & per definitionẽ p y
ramidis: patet per 14 p 11, quoniã ſuperficies f g h æquidiſtat baſi pyra
midis. Eſt ergo per 100 huius f g h circulus. Quòd ſi pũctus datus ſit
in ſuperficie conica, ſit ille punctus f: & ducatur à puncto f perpendi-
cularis ſuper axem a d, quę ſit f e, per 12 p 1: educanturq́; à puncto e li-
neæ e g & e h perpendiculares ſuper axem a d per 11 p 1: & deinde, ut
prius, compleatur demonſtratio. Patet itaq; propoſitum: quoniã ſim
pliciter eodem modo negotiandum eſt in columnis.
culum totali ſuperficiei conicæ circunducere. Sit itaq; , ut ſuperficies plana ſecet pyramidẽ ſecundũ
axem a d trans punctũ e: cõmunis itaq; ſectio illius ſuperficiei planæ & ſuperficiei conicæ erit trigo
num per 90 huius: cuius baſis ſit b c, quę erit diameter baſis pyrami-
355[Figure 355]a f e g h b d cdis. In hac itaq; ſuperficie per 11 p 1 ducatur à puncto e linea perpendi
culariter ſuper axem a d, quæ producta ad conicã ſuperficiem ſit e f:
& item ab eodẽ puncto e ducatur linea e g perpendiculariter ſuper
axẽ a d: cadatq́; punctũ g in conica pyramidis ſuperficie: & ſimiliter
ducatur linea e h perpendiculariter ſuper axem a d: cadatq́; punctus
h in conica ſuperficie. Quia ergo linea a e ſuper cõmunem terminum
linearũ e f, e g, e h orthogonaliter inſiſtit, palàm per 5 p 11, quoniã illæ
lineę ſunt in una ſuperficie: eritq́; per 4 p 11 linea a e perpẽdiculariter
erecta ſuper illã ſuperficiẽ f g h. Et quoniã linea a d erecta eſt perpen-
diculariter ſuper baſim pyramidis per 89 huius, & per definitionẽ p y
ramidis: patet per 14 p 11, quoniã ſuperficies f g h æquidiſtat baſi pyra
midis. Eſt ergo per 100 huius f g h circulus. Quòd ſi pũctus datus ſit
in ſuperficie conica, ſit ille punctus f: & ducatur à puncto f perpendi-
cularis ſuper axem a d, quę ſit f e, per 12 p 1: educanturq́; à puncto e li-
neæ e g & e h perpendiculares ſuper axem a d per 11 p 1: & deinde, ut
prius, compleatur demonſtratio. Patet itaq; propoſitum: quoniã ſim
pliciter eodem modo negotiandum eſt in columnis.
103. Omnis ſuperficiei ſecantis pyramidem uel columnã rotun-
dam trans axem non æquidiſtanter baſibus, & ſuperficiei curuæ
communem ſectionem circulum eſſe eſt impoßibile. 5 theo. 1 Conicorum Apollonij. item 9 theor.
Cylindricorum Sereni.
dam trans axem non æquidiſtanter baſibus, & ſuperficiei curuæ
communem ſectionem circulum eſſe eſt impoßibile. 5 theo. 1 Conicorum Apollonij. item 9 theor.
Cylindricorum Sereni.
Sit pyramis, cuius uertex a, diameter baſis b c:
& centrum baſis d, & axis a d:
ſecetq́;
ipſam ſuper-
ficies plana trans axem a d in puncto e, nõ æquidiſtanter baſi: & ſit cõmunis ſectio huius ſuperficiei
planæ & ſuperficiei conicæ linea f g h k. Dico quòd hæc ſectio non eſt poſsibile, ut ſit circulus. Eſto
enim, ut circa punctum e in pyramidis conica ſuperficie ducatur circulus per præmiſſam: hic itaq;
æquidiſtabit baſi per 100 huius: ſitq́; f g l m: & ſignentur lineę longi-
356[Figure 356]a k f l e m h g b d c tudinis pyramidis a f, a g, a l, a m. Eæ itaq; omnes erunt æquales per
89 huius, ideo quòd ſuperficies æquidiſtans baſi pyramidis nouã py
ramidem abſcindit per 100 huius. Et quoniã ſectio f g h k nõ æquidi-
ſtat baſi pyramidis, patet quòd non æqualiter diſtat à uertice pyrami
dis, qui eſt punctus a: ſit itaq; punctus h remotior à uertice a, & cadat
in linea a l producta, & punctus k ſit propinquior uertici a, & cadat
in linea a m. Erit itaq; linea a h maior quàm linea a l, & linea a k mi-
nor eſt quàm linea a m: & continuentur lineę h e, k e, f e, g e, & lineæ
e l, e m. Et quoniã angulus a l e eſt acutus per 89 huius, erit angulus
h l e obtuſus per 13 p 1. Ergo per 19 p 1 latus h e trigoni h e l eſt maius
latere e l: ſed latus e l eſt æquale lateri e f per definitionẽ circuli. Li-
nea uerò e f uenit à puncto axis ad punctũ ſectionis: quia eſt cõmu-
nis ſectio circuli & ſuperficiei obliquè pyramidem ſecantis: inæ qua-
les itaq; lineę ab hoc puncto e producuntur ad peripheriã ſectionis.
Non eſt ergo ſectio illa circulus per circuli definitionẽ. Dicemus er-
go illam ſectionẽ in pyramidibus pyramidalem, & in columnis colu
mnalem. Eſt tamẽ illa ſectio in pyramidibus in 98 huius prius dicta
ſectio oxygonia uel ellipſis. Et quoniam talis ſectio eſt figuræ oblon
gæ, patet quòd ipſa habet diametros plurimas omnes inæquales, &
per idem punctum axis ſecti corporis tranſeuntes, ipſam quoq; ſectionem per æqualia diuidentes:
quarum maxima eſt, quæ tranſit longitudinem ſectionis, minima uerò eſt, quæ pertranſit latitudi-
nem: & eſt ſuper maximam diametrum orthogonaliter erecta. Patet itaq; propoſitum.
ficies plana trans axem a d in puncto e, nõ æquidiſtanter baſi: & ſit cõmunis ſectio huius ſuperficiei
planæ & ſuperficiei conicæ linea f g h k. Dico quòd hæc ſectio non eſt poſsibile, ut ſit circulus. Eſto
enim, ut circa punctum e in pyramidis conica ſuperficie ducatur circulus per præmiſſam: hic itaq;
æquidiſtabit baſi per 100 huius: ſitq́; f g l m: & ſignentur lineę longi-
356[Figure 356]a k f l e m h g b d c tudinis pyramidis a f, a g, a l, a m. Eæ itaq; omnes erunt æquales per
89 huius, ideo quòd ſuperficies æquidiſtans baſi pyramidis nouã py
ramidem abſcindit per 100 huius. Et quoniã ſectio f g h k nõ æquidi-
ſtat baſi pyramidis, patet quòd non æqualiter diſtat à uertice pyrami
dis, qui eſt punctus a: ſit itaq; punctus h remotior à uertice a, & cadat
in linea a l producta, & punctus k ſit propinquior uertici a, & cadat
in linea a m. Erit itaq; linea a h maior quàm linea a l, & linea a k mi-
nor eſt quàm linea a m: & continuentur lineę h e, k e, f e, g e, & lineæ
e l, e m. Et quoniã angulus a l e eſt acutus per 89 huius, erit angulus
h l e obtuſus per 13 p 1. Ergo per 19 p 1 latus h e trigoni h e l eſt maius
latere e l: ſed latus e l eſt æquale lateri e f per definitionẽ circuli. Li-
nea uerò e f uenit à puncto axis ad punctũ ſectionis: quia eſt cõmu-
nis ſectio circuli & ſuperficiei obliquè pyramidem ſecantis: inæ qua-
les itaq; lineę ab hoc puncto e producuntur ad peripheriã ſectionis.
Non eſt ergo ſectio illa circulus per circuli definitionẽ. Dicemus er-
go illam ſectionẽ in pyramidibus pyramidalem, & in columnis colu
mnalem. Eſt tamẽ illa ſectio in pyramidibus in 98 huius prius dicta
ſectio oxygonia uel ellipſis. Et quoniam talis ſectio eſt figuræ oblon
gæ, patet quòd ipſa habet diametros plurimas omnes inæquales, &
per idem punctum axis ſecti corporis tranſeuntes, ipſam quoq; ſectionem per æqualia diuidentes:
quarum maxima eſt, quæ tranſit longitudinem ſectionis, minima uerò eſt, quæ pertranſit latitudi-
nem: & eſt ſuper maximam diametrum orthogonaliter erecta. Patet itaq; propoſitum.
104. Omnium duarum planarum ſuperficierũ ſecantium pyramidem uel columnam rotun-
dam trans idem punctum axis, ſi una æquidiſtanter baſi, & alia nõ æquidiſtanter ſecuerit: com
munis ſectio eſt linea recta tranſiens pyramidem uel columnam, orhogonalis ſuper axem. Ex
quo patet, quòd ſiue circulι peripheria, ſiue ſectio alia quæcun non in eadem ſuperficie, quam-
cun ſecuerit ſectionem, in duobus tantùm punctis ipſam interſecabit.
dam trans idem punctum axis, ſi una æquidiſtanter baſi, & alia nõ æquidiſtanter ſecuerit: com
munis ſectio eſt linea recta tranſiens pyramidem uel columnam, orhogonalis ſuper axem. Ex
quo patet, quòd ſiue circulι peripheria, ſiue ſectio alia quæcun non in eadem ſuperficie, quam-
cun ſecuerit ſectionem, in duobus tantùm punctis ipſam interſecabit.
Sit, ut pyramis, cuius uertex a:
& axis a d ſecetur ſecundum punctum axis e, perduas planas ſu-
perficies, quarum una ſecet æquidiſtanter baſi, ut f g h, alia uerò non æquidiſtanter, ut f g k l. Di-
co, quòd communis ſectio iſtarum ſuperficierum eſt linea tranſiens pyramidem, orthogonalis ſu-
per axem, ut eſt linea f e g. Quòd enim illæ ſuperficies ſe interſecent, patet per hoc, quòd aliquæ li-
perficies, quarum una ſecet æquidiſtanter baſi, ut f g h, alia uerò non æquidiſtanter, ut f g k l. Di-
co, quòd communis ſectio iſtarum ſuperficierum eſt linea tranſiens pyramidem, orthogonalis ſu-
per axem, ut eſt linea f e g. Quòd enim illæ ſuperficies ſe interſecent, patet per hoc, quòd aliquæ li-