353323LIBER SEPTIMVS.
tus DC perueniret.
Cum ergo rectæ ex centro A, per partes arcus DB, emiſſæ, &
lineæ parallelæ per partes laterum D A, C B, ductæ abſcindant ſemper ex arcu
DB, & ex lateribus DA, CB, partes ſimiles, ex conſtructione: liquidò conſtat,
puncta lineæ inflexæ DE, à nobis Geometricè inuenta, à punctis, quæ à duobus
illis motibus reperirentur non differre.
lineæ parallelæ per partes laterum D A, C B, ductæ abſcindant ſemper ex arcu
DB, & ex lateribus DA, CB, partes ſimiles, ex conſtructione: liquidò conſtat,
puncta lineæ inflexæ DE, à nobis Geometricè inuenta, à punctis, quæ à duobus
illis motibus reperirentur non differre.
Hæc igitur eſt deſcriptio lineæ Quadratricis Geometrica quo dammodo,
quemadmo dum & conicarum ſectionum deſcriptiones, quæ per puncta et-
iam fiunt, vt ab Apollonio traditur, Geometricæ dicuntur, cum tamen errori
magis ſint obnoxiæ, quam noſtra deſcriptio, propterinuentionem plurimarum
linearum mediarum proportionalium, quæ ad earum deſcriptiones ſunt neceſ-
ſariæ, quibus in Quadratricis deſcriptione opus non eſt. Quare niſi quis to-
tam conicarum ſectionum do ctrinam, quam tanto ingenij acumine Appollo-
nius Pergaeus perſecutus eſt, vt propterea Magnus Geometra appellatus ſit,
reiicere velit, tan quam inutilem, & non Geometricam, (quod neminem in Geo-
metria peritum facturum exiſtimo, cum ſectiones conicas ad demonſtrationes
adhibuerint præſtantiſsimi Geometræ. Nam Menechmus Hyperbola, ac Pa-
rabola vſus eſt in duarum linearum mediarum prop ortionalium inter quaſuis
duas rectas inuentione; Et Archimedes ipſe multa præclarè de iiſdem ſectioni-
bus conicis demonſtrauit: ac denique eiuſmodi ſectiones inſignem vſum ha-
bẽt in re Gnomonica, vt ex noſtra Gnomonica apparet) admittere omninò co-
getur, hanc deſcriptionem noſtram Quadratricis lineæ eſſe quodammodo Geo-
metricam. Adde quod linea conchilis, qua Nicomedes duas medias lineas
proportionales acutiſsimè inueſtigat, per puncta etiam deſcribitur, vt lib. 6. pro-
poſ. 15. diximus.
quemadmo dum & conicarum ſectionum deſcriptiones, quæ per puncta et-
iam fiunt, vt ab Apollonio traditur, Geometricæ dicuntur, cum tamen errori
magis ſint obnoxiæ, quam noſtra deſcriptio, propterinuentionem plurimarum
linearum mediarum proportionalium, quæ ad earum deſcriptiones ſunt neceſ-
ſariæ, quibus in Quadratricis deſcriptione opus non eſt. Quare niſi quis to-
tam conicarum ſectionum do ctrinam, quam tanto ingenij acumine Appollo-
nius Pergaeus perſecutus eſt, vt propterea Magnus Geometra appellatus ſit,
reiicere velit, tan quam inutilem, & non Geometricam, (quod neminem in Geo-
metria peritum facturum exiſtimo, cum ſectiones conicas ad demonſtrationes
adhibuerint præſtantiſsimi Geometræ. Nam Menechmus Hyperbola, ac Pa-
rabola vſus eſt in duarum linearum mediarum prop ortionalium inter quaſuis
duas rectas inuentione; Et Archimedes ipſe multa præclarè de iiſdem ſectioni-
bus conicis demonſtrauit: ac denique eiuſmodi ſectiones inſignem vſum ha-
bẽt in re Gnomonica, vt ex noſtra Gnomonica apparet) admittere omninò co-
getur, hanc deſcriptionem noſtram Quadratricis lineæ eſſe quodammodo Geo-
metricam. Adde quod linea conchilis, qua Nicomedes duas medias lineas
proportionales acutiſsimè inueſtigat, per puncta etiam deſcribitur, vt lib. 6. pro-
poſ. 15. diximus.
Habet linea hæc quadratrix multas, &
inſignes vtilitates, quarum nonnul-
las ad finem lib. 6. Euclid. demonſtrauimus, quas hoc loco repetere ſuperuaca-
neum eſt. Solum igitur eius vſum in quadrandis circulis hic exponemus. Qua
in re indigemus tantummodo vltimo puncto E, in priori figura, etiamſi nullum
aliud Quadratricis punctum inuentum eſſet. quod quidem vltimum punctum
licet Geometricè, ac præcisè non reperiatur: tamen ſi artificium poſterioris fi-
guræ adhibeatur, non aberrabimus à vero puncto notabiliter, vt ſupra diximus.
Quando namque deprehenſum fuerit, vltimam perpendicularem A H, æqua-
lem eſſe præcedenti vltimæ lineæ translatæ A G, ita vt nulla differentia inter illas
per circinum diſcernatur: ſumi poterit citra errorem notabilem vltimum illud
punctum G, pro puncto extremo Quadratricis: Sin minus, ducendæ erunt aliæ
perpendiculares eo artificio, quo AF, AH, ductæ ſunt, donecinter vltimam, &
poſtremo loco inuentam rectam in ſemidiametro AB, nullum appareat diſcri-
men. cuius quidem rei operatio ipſa optimus erit magiſter.
las ad finem lib. 6. Euclid. demonſtrauimus, quas hoc loco repetere ſuperuaca-
neum eſt. Solum igitur eius vſum in quadrandis circulis hic exponemus. Qua
in re indigemus tantummodo vltimo puncto E, in priori figura, etiamſi nullum
aliud Quadratricis punctum inuentum eſſet. quod quidem vltimum punctum
licet Geometricè, ac præcisè non reperiatur: tamen ſi artificium poſterioris fi-
guræ adhibeatur, non aberrabimus à vero puncto notabiliter, vt ſupra diximus.
Quando namque deprehenſum fuerit, vltimam perpendicularem A H, æqua-
lem eſſe præcedenti vltimæ lineæ translatæ A G, ita vt nulla differentia inter illas
per circinum diſcernatur: ſumi poterit citra errorem notabilem vltimum illud
punctum G, pro puncto extremo Quadratricis: Sin minus, ducendæ erunt aliæ
perpendiculares eo artificio, quo AF, AH, ductæ ſunt, donecinter vltimam, &
poſtremo loco inuentam rectam in ſemidiametro AB, nullum appareat diſcri-
men. cuius quidem rei operatio ipſa optimus erit magiſter.
COROLLARIVM.
9.
Ex deſcriptione Quadratricis colligitur, ſi ex centro A, ducatur recta vt-
cunque A Q, ſecans arcum Quadrantis in Q, & Quadratricem in O; ita eſſe
arcum BD, ad arcum B Q, vt eſt ſemidiameter A D, ad rectam A R, ducta prius
O R, ipſi A B, parallela: ac proinde & ad rectam, quæ ex O, ad A B, demit-
titur perpendicularis. Quia enim eadem pars eſt arcus D Q, totius arcus DB, quę
1134. primi.
cunque A Q, ſecans arcum Quadrantis in Q, & Quadratricem in O; ita eſſe
arcum BD, ad arcum B Q, vt eſt ſemidiameter A D, ad rectam A R, ducta prius
O R, ipſi A B, parallela: ac proinde & ad rectam, quæ ex O, ad A B, demit-
titur perpendicularis. Quia enim eadem pars eſt arcus D Q, totius arcus DB, quę
1134. primi.