355325LIBER SEPTIMVS.
AHK, demittaturque perpendicularis HI.
Quoniam igitur ponitur arcus BD,
ad rectam AD, vt AD, hoc eſt, vt A B, ad AF; eſt que vt A B, ſemidiameter ad ſe-
midiametrum A F, ita arcus B D, ad arcum F G; (Cum enim ſit, vt lib. 4. capit. 7.
propoſ. 1. demonſtrauimus, diameter ad diametrum, vt circumferentia ad circũ-
1115. quinti. ferentiam; erit quo que ſemidiameter AB, ad ſemidiametrum AF, vt eadem 2215. quinti. cumferentia ad eandem circumferentiam: ac proinde etiam, vt quarta pars circumferentiæ ad quartam partem circumferentiæ, hoc eſt, vt arcus BD, ad ar-
3311. quinti. cum F G.) Erit quoque arcus B D, ad rectam A D, vtidem arcus B D, ad 449. quinti. F G; ac proptera æquales erunt recta A D, & arcus F G. Quia verò ex præce- denti coroll. eſt, vt arcus B D, ad arcum BK, ita recta AD, ad rectam HI, & vt ar-
55ſchol. 33.
ſexti. cus BD, ad arcum BK, ita eſt arcus FG, ad arcum FH, quod arcus B D, B K, ar- cubus FG, FH, ſimiles ſint; erit quoque recta AD, ad rectam HI, vt arcus F 6611. quinti. ad arcum FH. Cum ergo oſtenſa ſit recta A D, arcui F G, æqualis: erit 7714. quinti. que recta HI, arcui F H, ęqualis quod eſt abſurdum. Eſt enim recta H I, minor
883. tertij. arcu F H, cum ea ſit ſemiſsis chordæ ſubten dentis arcum duplum arcus F H: 99ſchol. 27.
tertij. (Nam recta A F, ſecat eam chordam bifariam; ac proinde & arcum) chorda autem ſemper ſuo arcu minor ſit. Non ergo eſt arcus B D, ad ſemidiametrum
AD, vt AD, ad rectam maiorem baſe AE, Quadratricis.
ad rectam AD, vt AD, hoc eſt, vt A B, ad AF; eſt que vt A B, ſemidiameter ad ſe-
midiametrum A F, ita arcus B D, ad arcum F G; (Cum enim ſit, vt lib. 4. capit. 7.
propoſ. 1. demonſtrauimus, diameter ad diametrum, vt circumferentia ad circũ-
1115. quinti. ferentiam; erit quo que ſemidiameter AB, ad ſemidiametrum AF, vt eadem 2215. quinti. cumferentia ad eandem circumferentiam: ac proinde etiam, vt quarta pars circumferentiæ ad quartam partem circumferentiæ, hoc eſt, vt arcus BD, ad ar-
3311. quinti. cum F G.) Erit quoque arcus B D, ad rectam A D, vtidem arcus B D, ad 449. quinti. F G; ac proptera æquales erunt recta A D, & arcus F G. Quia verò ex præce- denti coroll. eſt, vt arcus B D, ad arcum BK, ita recta AD, ad rectam HI, & vt ar-
55ſchol. 33.
ſexti. cus BD, ad arcum BK, ita eſt arcus FG, ad arcum FH, quod arcus B D, B K, ar- cubus FG, FH, ſimiles ſint; erit quoque recta AD, ad rectam HI, vt arcus F 6611. quinti. ad arcum FH. Cum ergo oſtenſa ſit recta A D, arcui F G, æqualis: erit 7714. quinti. que recta HI, arcui F H, ęqualis quod eſt abſurdum. Eſt enim recta H I, minor
883. tertij. arcu F H, cum ea ſit ſemiſsis chordæ ſubten dentis arcum duplum arcus F H: 99ſchol. 27.
tertij. (Nam recta A F, ſecat eam chordam bifariam; ac proinde & arcum) chorda autem ſemper ſuo arcu minor ſit. Non ergo eſt arcus B D, ad ſemidiametrum
AD, vt AD, ad rectam maiorem baſe AE, Quadratricis.
Sit deinde, ſi fieri poteſt, vt arcus BD, ad AD, ita A D, ad A I, min orem baſe
AE. Deſcripto igitur ex centro A, per I, Quadrante IL, erigatur ex I, ad AE, per-
pendicularis I H, ſecans Quadratricem in H, puncto, per quod ſemidia-
meter ducatur AK, ſecans arcum IL, in M. Oſtendemus ergo, vt prius, arcum
IL, rectæ AD, æqualem eſſe. Item ita eſſe arcum BD, ad arcum BK, hoc eſt, arcum
I L, ad arcum I M, vt eſt recta A D; ad rectam H I. Quare cum arcus
101014. quinti. IL, oſtenſus ſit æqualis rectæ A D, erit quoq; arcus I M, æqualis rectæ HI. 11112. coroll. 36.
tertij. eſt abſurdum. Eſt enimrecta H I, maior arcu I M. Nam ſi ex H, duceretur ver-
ſus G, alia recta tangens circulum IL, ſicut H I, eundẽ tangit in I, eſſent hę 1212ſchol. 27.
tertij. tangentes æquales, arcuſq; inter eas interceptus ſecaretur bifariam in M, pro- pterea quod angulus ab eis comprehenſus bifariam diuideretur à recta AH, ac13134. vel 8.
primi. proinde & angulus in centro A, ſi ad alterum punctum conta ctus recta adiun-
geretur: ideoque arcus, quibus inſiſtunt, æquales forent. Igitur cum, vt lib. 141426. tertij. 8. propoſ. 1. probabimus cum Archimede, duæ illætangentes ſimul maiores
ſint arcu ab eis comprehenſo, erit & earum ſemiſsis HI, maior ſemiſſe IM, illius
arcus. Non eſt ergo arcus BD, ad ſemidiametrum AD, vt AD, ad rectam minorẽ
baſe AE, Quadratricis; Sed neque vt AD, ad maiorem, ſicut oſtenſum eſt. Igitur
vt AD, ad ipſam baſem AE. quod demonſtrandum erat.
AE. Deſcripto igitur ex centro A, per I, Quadrante IL, erigatur ex I, ad AE, per-
pendicularis I H, ſecans Quadratricem in H, puncto, per quod ſemidia-
meter ducatur AK, ſecans arcum IL, in M. Oſtendemus ergo, vt prius, arcum
IL, rectæ AD, æqualem eſſe. Item ita eſſe arcum BD, ad arcum BK, hoc eſt, arcum
I L, ad arcum I M, vt eſt recta A D; ad rectam H I. Quare cum arcus
101014. quinti. IL, oſtenſus ſit æqualis rectæ A D, erit quoq; arcus I M, æqualis rectæ HI. 11112. coroll. 36.
tertij. eſt abſurdum. Eſt enimrecta H I, maior arcu I M. Nam ſi ex H, duceretur ver-
ſus G, alia recta tangens circulum IL, ſicut H I, eundẽ tangit in I, eſſent hę 1212ſchol. 27.
tertij. tangentes æquales, arcuſq; inter eas interceptus ſecaretur bifariam in M, pro- pterea quod angulus ab eis comprehenſus bifariam diuideretur à recta AH, ac13134. vel 8.
primi. proinde & angulus in centro A, ſi ad alterum punctum conta ctus recta adiun-
geretur: ideoque arcus, quibus inſiſtunt, æquales forent. Igitur cum, vt lib. 141426. tertij. 8. propoſ. 1. probabimus cum Archimede, duæ illætangentes ſimul maiores
ſint arcu ab eis comprehenſo, erit & earum ſemiſsis HI, maior ſemiſſe IM, illius
arcus. Non eſt ergo arcus BD, ad ſemidiametrum AD, vt AD, ad rectam minorẽ
baſe AE, Quadratricis; Sed neque vt AD, ad maiorem, ſicut oſtenſum eſt. Igitur
vt AD, ad ipſam baſem AE. quod demonſtrandum erat.
COROLLARIVM I.
1515Rectam cir-cunferentiæ
circuli æqua-
lem reperire.
HINC facilè rectam reperiemus arcui Quadrantis, ex quo Quadratrix
deſcripta eſt, ac proinde & ſemicircumferentiæ, immo & toti circũ-
ferentiæ æqualem.
deſcripta eſt, ac proinde & ſemicircumferentiæ, immo & toti circũ-
ferentiæ æqualem.
Qvoniam eſt arcus B D, ad ſemidiametrum A D, vt A D, ad ba-
ſem Quadratricis A E; erit conuertendo quoque A E, ad A D, vt A D, ad
161611. quinti. arcum B D. Si igitur duabus rectis A E, A D, inueniatur tertia proportionalis; erit AD, ad eam tertiam, vt ad arcum BD, cum vtraq; proportio ſit eadem,
ſem Quadratricis A E; erit conuertendo quoque A E, ad A D, vt A D, ad
161611. quinti. arcum B D. Si igitur duabus rectis A E, A D, inueniatur tertia proportionalis; erit AD, ad eam tertiam, vt ad arcum BD, cum vtraq; proportio ſit eadem,
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib