357295DE MATHÉMATIQUE. Liv. IX.
PROPOSITION VII.
Théoreme.
621.
Le quarré d’une ordonnée quelconque E C à un diametre
A O eſt égal au rectangle compris ſous l’abſciſſe A E, & ſous le
parametre du diametre A O (ou, ce qui eſt la même choſe, ſous
une ligne quadruple de A P). Les choſes demeurant les mêmes que
dans la propoſition précédente; les lignes ſeront nommées avec les
mêmes lettres, excepté la ligne A E, que nous nommerons z, qui
étant égale à F G, ſera m - x.
A O eſt égal au rectangle compris ſous l’abſciſſe A E, & ſous le
parametre du diametre A O (ou, ce qui eſt la même choſe, ſous
une ligne quadruple de A P). Les choſes demeurant les mêmes que
dans la propoſition précédente; les lignes ſeront nommées avec les
mêmes lettres, excepté la ligne A E, que nous nommerons z, qui
étant égale à F G, ſera m - x.
Demonstration.
Il faut d’abord ajouter les deux équations que nous avons
trouvées dans le théorême précédent, après avoir mis t à la
place de u qui lui eſt égal; ce qui donnera myy + tyy + myy
- tyy = xyy + tyy + {ttyy/4x} + xyy - tyy + {ttyy/4x}; d’où l’on
tire, en faiſant la réduction, 2myy = 2xyy + {ttyy/2x}, ou en fai-
ſant évanouir la fraction, 4mxyy = 4xxyy + ttyy, qui étant
diviſée par yy, donne 4mx = 4xx + tt; & faiſant paſſer 4xx
du ſecond membre dans le 1er 4mx-4xx ou √m-x\x{0020} x 4x = tt,
& comme m - x = z, on aura 4zx = tt; mais à cauſe
du triangle rectangle E H C, l’on aura E C2 = E H2 + C H2
= tt + {ttyy/4xx}, & mettant 4xz à la place de tt, & 4ax à la place
de yy, il viendra E C2 = 4xz + {4xz x 4ax/4xx}, ou 4xz + 4az = z
x √4x+4a\x{0020}, ou E C2 = 4A P x A E. C. Q. F. D.
trouvées dans le théorême précédent, après avoir mis t à la
place de u qui lui eſt égal; ce qui donnera myy + tyy + myy
- tyy = xyy + tyy + {ttyy/4x} + xyy - tyy + {ttyy/4x}; d’où l’on
tire, en faiſant la réduction, 2myy = 2xyy + {ttyy/2x}, ou en fai-
ſant évanouir la fraction, 4mxyy = 4xxyy + ttyy, qui étant
diviſée par yy, donne 4mx = 4xx + tt; & faiſant paſſer 4xx
du ſecond membre dans le 1er 4mx-4xx ou √m-x\x{0020} x 4x = tt,
& comme m - x = z, on aura 4zx = tt; mais à cauſe
du triangle rectangle E H C, l’on aura E C2 = E H2 + C H2
= tt + {ttyy/4xx}, & mettant 4xz à la place de tt, & 4ax à la place
de yy, il viendra E C2 = 4xz + {4xz x 4ax/4xx}, ou 4xz + 4az = z
x √4x+4a\x{0020}, ou E C2 = 4A P x A E. C. Q. F. D.
Corollaire I.
622.
On voit par ce théorême que la propoſition premiere
devient générale, puiſque non ſeulement le quarré d’une or-
donnée à l’axe eſt égal au rectangle compris ſous le parametre
de l’axe & ſous l’abſciſſe, mais que le quarré de toute ordon-
née à un diametre quelconque, eſt auſſi égal au rectangle com-
pris ſous l’abſciſſe correſpondante & le parametre de ce dia-
metre. Mais pour mieux faire entendre ceci, conſidérez que
ſi la ligne R T eſt tangente au point M, extrêmité de l’axe,
toutes les ordonnées à l’axe ſeront paralleles à cette
devient générale, puiſque non ſeulement le quarré d’une or-
donnée à l’axe eſt égal au rectangle compris ſous le parametre
de l’axe & ſous l’abſciſſe, mais que le quarré de toute ordon-
née à un diametre quelconque, eſt auſſi égal au rectangle com-
pris ſous l’abſciſſe correſpondante & le parametre de ce dia-
metre. Mais pour mieux faire entendre ceci, conſidérez que
ſi la ligne R T eſt tangente au point M, extrêmité de l’axe,
toutes les ordonnées à l’axe ſeront paralleles à cette
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