361331LIBER OCTAVVS.
Si duæ lineæ in plano eoſdem habeant terminos, &
in eaſdem partes cauæ ſint, compre-
hendens comprehenſa maior eſt. quod quidem principium eſſe verum, ex eo euidẽ-
ter intelligi poteſt quod ex eo, non ſolum Archimedes, verum etiam plurimi a-
lij Geometræ tum veteres, tum recentiores, innumera propemodum, atque ad-
miranda Theoremata, problemataque demonſtrarint, quæ vt veriſsima, ab o-
mnibus recepta ſunt; neque vnquam ex illo abſurdi aliquid conſecutum eſt,
aut contra id quiſquam hactenus à du obus ferme millibus annorum, noui quid
commentus eſt. Hoc ergo poſito principio, facilis eſt de-
251[Figure 251]
monſtratio Archimedis.
Sit namque figura regularis ABC-
DEF, deſcripta circa circulũ, cuius centrũ N, tangens eũ in
punctis G, H, I, K, L, M. Quoniã igitur per præmiſlum prin-
cipium rectæ A G, A M, maiores ſunt arcu G M: Item B G,
B H, maiores arcu G H, & ſic de reliquis; erunt omnes rectæ
ſimul conficientes totum ambitum figuræ, maiores omni-
bus arcubus ſimul conficientibus totam circuli perip heriam. quod erat demon-
ſtrandum.
hendens comprehenſa maior eſt. quod quidem principium eſſe verum, ex eo euidẽ-
ter intelligi poteſt quod ex eo, non ſolum Archimedes, verum etiam plurimi a-
lij Geometræ tum veteres, tum recentiores, innumera propemodum, atque ad-
miranda Theoremata, problemataque demonſtrarint, quæ vt veriſsima, ab o-
mnibus recepta ſunt; neque vnquam ex illo abſurdi aliquid conſecutum eſt,
aut contra id quiſquam hactenus à du obus ferme millibus annorum, noui quid
commentus eſt. Hoc ergo poſito principio, facilis eſt de-
DEF, deſcripta circa circulũ, cuius centrũ N, tangens eũ in
punctis G, H, I, K, L, M. Quoniã igitur per præmiſlum prin-
cipium rectæ A G, A M, maiores ſunt arcu G M: Item B G,
B H, maiores arcu G H, & ſic de reliquis; erunt omnes rectæ
ſimul conficientes totum ambitum figuræ, maiores omni-
bus arcubus ſimul conficientibus totam circuli perip heriam. quod erat demon-
ſtrandum.
SCHOLIVM.
Cardanvs in libro quinto de proportionibus propoſ.
201.
conatur de-
monſtrare, duas rectas circulum contingentes, cuiuſmo di ſunt A G, A M, maio-
res eſſe arcu intercepto GM, (quod Archimedes ex ſuo aſſumpto principio de-
duxit (præmiſsis tribus Lemmatibus, & vno principio. quorum primum eſt
hoc.
monſtrare, duas rectas circulum contingentes, cuiuſmo di ſunt A G, A M, maio-
res eſſe arcu intercepto GM, (quod Archimedes ex ſuo aſſumpto principio de-
duxit (præmiſsis tribus Lemmatibus, & vno principio. quorum primum eſt
hoc.
LEMMA I.
SI fuerint quatuor quantitates, &
minor ſit exceſſus inter primã &
ſecũ-
dã, quam inter tertiã & quartam; ſitq; prima non minor, quam tertia,
maior verò quam ſecunda, Item tertia maior quam quarta: Erit mi-
nor proportio primæ ad ſecundam, quam tertiæ ad quartam.
dã, quam inter tertiã & quartam; ſitq; prima non minor, quam tertia,
maior verò quam ſecunda, Item tertia maior quam quarta: Erit mi-
nor proportio primæ ad ſecundam, quam tertiæ ad quartam.
Sint quatuor quantitates A, BC, D, EF;
ſitque GB, exceſſus inter primam
A, & ſecundam BC, minor exceſſu H E, inter tertiam
252[Figure 252]
D, &
quartam E F;
Item prima A, non ſit minor, quã
tertia D: maior verò quam ſecunda B C: Ac deni-
que tertia D; maiorſit quam quarta E F; Dico mino-
rem eſſe proportionem primæ A, ad ſecundam B C,
quam tertiæ D, ad quartam E F. Cum enim A, non
minor ſit, ꝗ̃ D: at GB, minor, ꝗ̃ HE, erit maior ꝓ 118. quinti. tio A, ad GB, quam ad HE: Eſt autem A, (ſi eſt æqua-
lis ip ſi D,) ad H E, vt D, ad H E; vel maior eſt proportio A, (ſi maior eſt, quam
D,) ad HE. quam D, ad HE. Igitur maior erit proportio A, ad GB, quam D, ad
H E. Si igitur fiat vt D, ad HE, ita A, ad G I, habebit quo que A, ad GB, ma-
iorem proportionem, quam ad G I; ac proinde erit GI, maior quam G B; 2210. quinti. eo que I C, minor, quam B C. Maior ergo erit proportio A, ad I C. 338. quinti.
A, & ſecundam BC, minor exceſſu H E, inter tertiam
tertia D: maior verò quam ſecunda B C: Ac deni-
que tertia D; maiorſit quam quarta E F; Dico mino-
rem eſſe proportionem primæ A, ad ſecundam B C,
quam tertiæ D, ad quartam E F. Cum enim A, non
minor ſit, ꝗ̃ D: at GB, minor, ꝗ̃ HE, erit maior ꝓ 118. quinti. tio A, ad GB, quam ad HE: Eſt autem A, (ſi eſt æqua-
lis ip ſi D,) ad H E, vt D, ad H E; vel maior eſt proportio A, (ſi maior eſt, quam
D,) ad HE. quam D, ad HE. Igitur maior erit proportio A, ad GB, quam D, ad
H E. Si igitur fiat vt D, ad HE, ita A, ad G I, habebit quo que A, ad GB, ma-
iorem proportionem, quam ad G I; ac proinde erit GI, maior quam G B; 2210. quinti. eo que I C, minor, quam B C. Maior ergo erit proportio A, ad I C. 338. quinti.