363301DE MATHÉMATIQUE. Liv. IX.
demi-grand axe, ces points ſeront nommés foyers de l’ellipſe.
637.
Les parties A F, F B d’un axe faites par la rencontre
d’une ordonnée F G à cet axe, ſont appellées abſciſſes ou cou-
pées de cet axe, par rapport à l’ordonnée F G: on appelle auſſi
quelquefois abſciſſes les parties compriſes entre le centre &
la rencontre d’une ordonnée, comme E F; alors on dit que
les abſciſſes ont leur origine au centre.
d’une ordonnée F G à cet axe, ſont appellées abſciſſes ou cou-
pées de cet axe, par rapport à l’ordonnée F G: on appelle auſſi
quelquefois abſciſſes les parties compriſes entre le centre &
la rencontre d’une ordonnée, comme E F; alors on dit que
les abſciſſes ont leur origine au centre.
PROPOSITION I.
Theoreme.
Theoreme.
638.
Dans l’ellipſe ſi l’on mene une ordonnée F H au premier
11Figure 159. axe, je dis que le rectangle des abſciſſes A F, F B de cet axe eſt au
quarré de l’ordonnée F H, comme le quarré du premier axe A B eſt
au quarré du ſecond axe C D; ou, ce qui eſt la même choſe, comme
le quarré de A E eſt au quarré de D E.
11Figure 159. axe, je dis que le rectangle des abſciſſes A F, F B de cet axe eſt au
quarré de l’ordonnée F H, comme le quarré du premier axe A B eſt
au quarré du ſecond axe C D; ou, ce qui eſt la même choſe, comme
le quarré de A E eſt au quarré de D E.
Ayant nommé les données A E ou E B, a;
C E ou E D, b;
& les indéterminées E F, x; F H, y; F G, s; A F ſera a - x;
& F B a + x. Cela poſé, il faut démontrer que l’on aura
A F x F B : FH2 : : A B2 : CD2, ou : : AE2 : DE2, ou que
aa - x x : y y : : a2 : b2.
& les indéterminées E F, x; F H, y; F G, s; A F ſera a - x;
& F B a + x. Cela poſé, il faut démontrer que l’on aura
A F x F B : FH2 : : A B2 : CD2, ou : : AE2 : DE2, ou que
aa - x x : y y : : a2 : b2.
Démonstration.
Par la définition de l’ellipſe, chaque ordonnée étant qua-
trieme proportionnelle au grand axe A B, au petit axe C D,
& à l’ordonnée F G, on a A B : C D : : F G : F H, ou
2a : 2b : : s : y : donc AB2 : CD2 : : FG2: FH2, ou 4a2 : 4b2 : : ss : yy.
Mais par la propriété du cercle, le quarré de l’ordonnée F G
eſt égal au produit de ſes abſciſſes, ou A F x F B = F G2, &
analytiquements ss = a a - x x : donc en mettant cette expreſ-
ſion au lieu de ss dans la proportion précédente, on aura
4a2 : 4b2 : : aa - xx : yy, ou bien invertendo aa - x x : y y : :
4a2 : 4b2 : : a2 : b2, en diviſant les termes de la ſeconde raiſon
par 4.
trieme proportionnelle au grand axe A B, au petit axe C D,
& à l’ordonnée F G, on a A B : C D : : F G : F H, ou
2a : 2b : : s : y : donc AB2 : CD2 : : FG2: FH2, ou 4a2 : 4b2 : : ss : yy.
Mais par la propriété du cercle, le quarré de l’ordonnée F G
eſt égal au produit de ſes abſciſſes, ou A F x F B = F G2, &
analytiquements ss = a a - x x : donc en mettant cette expreſ-
ſion au lieu de ss dans la proportion précédente, on aura
4a2 : 4b2 : : aa - xx : yy, ou bien invertendo aa - x x : y y : :
4a2 : 4b2 : : a2 : b2, en diviſant les termes de la ſeconde raiſon
par 4.
Corollaire I.
639.
Si l’on a deux ordonnées F H &
I L, l’on aura par la
22Figure 158. propoſition précédente, A F x F B : F H2 : : A B2 : C D2, &
AI x IB : IL2 : : AB2 : CD2; donc AF x FB : FH2 : : AI x IB : IL2,
ou alternando, A F x F B : A I x I B : : F H2 : I L2,
22Figure 158. propoſition précédente, A F x F B : F H2 : : A B2 : C D2, &
AI x IB : IL2 : : AB2 : CD2; donc AF x FB : FH2 : : AI x IB : IL2,
ou alternando, A F x F B : A I x I B : : F H2 : I L2,