363333LIBER OCTAVVS.
Hæc ergo ſunt tria lemmata, quæ Cardanus præmittit:
quibus adiungit
11Principium
Cardani. hoc poſtulatum, ſine principium. Cum arcus quilibet maior ſit quotcunque
rectis in eo ſubtenſis ſimul ſumptis, & quo plures ſubtenſæ fuerint, eo minori
exceſſu arcus illas ſuperet: fieri poteſt, vt tot ſubtenſæ duci poſsint, ita vt ex-
ceſſus, quo arcus illas ſuperet, minor ſit quauis recta propoſita. Hoc princi-
pium videtur eſſe manifeſtum, cumtam paruus arcus poſsit accipi, vt eius chor-
da illi ferè æqualis ſit; adeò vt ſenſus nullam percipere poſsit inter arcum, &
chordam differentiam. A poſteriori tamen illud confirmari poteſt per nume-
ros. Poſita enim proportione circumferentiæ ad diametrum fermè 31415926.
ad 10000000. vt lib. 4. cap. 7. Num. 5. ex probatis auctoribus retulimus, depre-
hendemus, ſi arcus propoſitus continuè ſecetur bifariam per rectas ſubtenſas,
ſemper à præ cedenti exceſſu plus dimidio auferri; ac proinde tandem 221. decimi. qui exceſſum omni quantitate minorem. Nam arcus verbi gratia graduum 4.
erit 698131. & eius chorda ex tabula ſinuum eruta 697990. ita vt arcus chor-
dam ſuperet hoc numero 141. Summa deinde duarum chordarum graduum 2.
erit 698096. quæ ſuperatur ab eodem arcu grad. 4. numero hoc 35. qui minor
eſt ſemiſſe præcedentis exceſſus 141. ac proinde plus dimidio ab eo ablatum
erit. Rurſus ſumma quatuor chordarum gradus 1. erit 698120. quam idem ar-
cus 4. graduum ſuperat hoc numero 11. qui etiam minor eſt ſemiſſe proximi ex-
ceſſus 35. Item ſumma 8. chordarum, quarum quælibet 30. minutis debetur, erit
698128. exceſſus autem inter eam, & eundem arcum 4. graduum, numerus 3.
qui minor quoque eſt, quam ſemiſsis proximi exceſſus 11. & ſic deinceps.
Scio confirmationem hanc propoſiti principii non eſſe demonſtratiuam, cum
prop ortio circumferentiæ ad diametrum colligatur ex eo, quod demonſtrare
conamur, nimirum figuram circulo circumſcriptam habere maiorem ambitum
ambitu circuli: eam tamen probabilem eſſe, nemo dubitabit, cum vix credi@-
le videatur, (ſi illa proportio longè à vero abeſſet) exceſſus illos paulatim ita
minui, vt ſemper minor numerus ſemiſſe præcedentis exceſſus relin quatur; adeò
vt tandem nulla ferè differentia inter arcum, & ſummam chordarum ſubtenſa-
rum rep eriatur.
11Principium
Cardani. hoc poſtulatum, ſine principium. Cum arcus quilibet maior ſit quotcunque
rectis in eo ſubtenſis ſimul ſumptis, & quo plures ſubtenſæ fuerint, eo minori
exceſſu arcus illas ſuperet: fieri poteſt, vt tot ſubtenſæ duci poſsint, ita vt ex-
ceſſus, quo arcus illas ſuperet, minor ſit quauis recta propoſita. Hoc princi-
pium videtur eſſe manifeſtum, cumtam paruus arcus poſsit accipi, vt eius chor-
da illi ferè æqualis ſit; adeò vt ſenſus nullam percipere poſsit inter arcum, &
chordam differentiam. A poſteriori tamen illud confirmari poteſt per nume-
ros. Poſita enim proportione circumferentiæ ad diametrum fermè 31415926.
ad 10000000. vt lib. 4. cap. 7. Num. 5. ex probatis auctoribus retulimus, depre-
hendemus, ſi arcus propoſitus continuè ſecetur bifariam per rectas ſubtenſas,
ſemper à præ cedenti exceſſu plus dimidio auferri; ac proinde tandem 221. decimi. qui exceſſum omni quantitate minorem. Nam arcus verbi gratia graduum 4.
erit 698131. & eius chorda ex tabula ſinuum eruta 697990. ita vt arcus chor-
dam ſuperet hoc numero 141. Summa deinde duarum chordarum graduum 2.
erit 698096. quæ ſuperatur ab eodem arcu grad. 4. numero hoc 35. qui minor
eſt ſemiſſe præcedentis exceſſus 141. ac proinde plus dimidio ab eo ablatum
erit. Rurſus ſumma quatuor chordarum gradus 1. erit 698120. quam idem ar-
cus 4. graduum ſuperat hoc numero 11. qui etiam minor eſt ſemiſſe proximi ex-
ceſſus 35. Item ſumma 8. chordarum, quarum quælibet 30. minutis debetur, erit
698128. exceſſus autem inter eam, & eundem arcum 4. graduum, numerus 3.
qui minor quoque eſt, quam ſemiſsis proximi exceſſus 11. & ſic deinceps.
Scio confirmationem hanc propoſiti principii non eſſe demonſtratiuam, cum
prop ortio circumferentiæ ad diametrum colligatur ex eo, quod demonſtrare
conamur, nimirum figuram circulo circumſcriptam habere maiorem ambitum
ambitu circuli: eam tamen probabilem eſſe, nemo dubitabit, cum vix credi@-
le videatur, (ſi illa proportio longè à vero abeſſet) exceſſus illos paulatim ita
minui, vt ſemper minor numerus ſemiſſe præcedentis exceſſus relin quatur; adeò
vt tandem nulla ferè differentia inter arcum, & ſummam chordarum ſubtenſa-
rum rep eriatur.
His præmiſsis, tangant duæ rectæ AB, AL, arcum BCL.
Dico eas eſſe ma-
33Demonſtra-
tio Cardani iores arcu. Sint enim, ſi fieri poteſt, non maiores, ac proinde arcus BCL, ſit vel
254[Figure 254]
æqualis rectis AB, AL, vel maior.
Secto ergo arcu bifariam
in C, ducatur DCE, tangens arcum in C. Diuiſis quo que ar-
cubus CB, CL, bifariam in G, F, iungantur rectæ B G, G C,
CF, FL. Et quia AD, AE, maiores ſunt quam DE; 4420. primi. tis DL, EB, communibus, quæ æquales ſunt; (Namiunctis
rectis NA, NB, NL, ex centro N; quoniã tria latera trianguli
ABN, tribus lateribus triãguli ALN, æqualia ſunt; erunt 558. primi. anguli ad N, quam ad A, æquales; ideoq; arcus CB, 6626. tertii. æquales erunt; ac proinde recta N A, per contactum C,
7718. tertii. tranſibit, eritque ad DE, perpendicularis. Cum igitur duo anguli DAC, 8826. primi. duobus angulis E A C, E C A, æquales ſint, & latus adiacens A C, commune;
erunt latera AD, AE, æqualia: proptereaque & reliquæ DL, EB, æquales erunt, cum tangentes AL, AB, æquales ſint) erunt A L, A B, maiores tribus L D, DE,
EB. Sit ergo exceſſus H. Rurſus quia arcus BL, maior eſt rectis BG, GC, CF, FL,
ſit exceſſus I, qui minor ſit exceſſu H. Si nam que minor non eſt, diuidemus
33Demonſtra-
tio Cardani iores arcu. Sint enim, ſi fieri poteſt, non maiores, ac proinde arcus BCL, ſit vel
in C, ducatur DCE, tangens arcum in C. Diuiſis quo que ar-
cubus CB, CL, bifariam in G, F, iungantur rectæ B G, G C,
CF, FL. Et quia AD, AE, maiores ſunt quam DE; 4420. primi. tis DL, EB, communibus, quæ æquales ſunt; (Namiunctis
rectis NA, NB, NL, ex centro N; quoniã tria latera trianguli
ABN, tribus lateribus triãguli ALN, æqualia ſunt; erunt 558. primi. anguli ad N, quam ad A, æquales; ideoq; arcus CB, 6626. tertii. æquales erunt; ac proinde recta N A, per contactum C,
7718. tertii. tranſibit, eritque ad DE, perpendicularis. Cum igitur duo anguli DAC, 8826. primi. duobus angulis E A C, E C A, æquales ſint, & latus adiacens A C, commune;
erunt latera AD, AE, æqualia: proptereaque & reliquæ DL, EB, æquales erunt, cum tangentes AL, AB, æquales ſint) erunt A L, A B, maiores tribus L D, DE,
EB. Sit ergo exceſſus H. Rurſus quia arcus BL, maior eſt rectis BG, GC, CF, FL,
ſit exceſſus I, qui minor ſit exceſſu H. Si nam que minor non eſt, diuidemus