37 cõponitur ex duabus proportionibus ſuperpar-
ticularibus quarum vna eſt maximi ad medium: et
altera medii ad minimū extremum / quod fuit pro
bandum. Patet tamen conſequentia / quia omnis
proportio que reperitur inter duos numeros im-
mediatos eſt ſuperparticularis / vt patet ex gene-
ratione ſuperparticulariū. Sed tertia pars pro-
batur / quia duplato ſic a. et c. numero vt ſupra: iã
a. numerus ſic duplatus excedit c. ſic duplatū per
dualitatem: et illa dualitas erit pars aliquota e-
iuſdem denominationis ipſius c. ſicut antea erat
vnitas quia adhuc manet proportio f. inter illos
terminos: igitur adhuc maior illorum terminorū
excedit minorem mediante eadem parte aliquota
minoris: diuiſa igitur illa parte aliquota a mino-
ris que eſt dualitas in duas partes equales / puta
in duas vnitates manifeſtum eſt / quelibet illarū
partium in quas diuiditur eſt pars aliquota mi-
noris denominata a numero in duplo maiori / vt
conſtat: igitur numerus continens numerum mi-
norem et talem partē aliquotam adequate ſe ha-
bebit ad minorem numerum in proportione ſu-
perparticulari denominata a parte aliquota que
denominatur a numero duplo a quo denomina-
tur tota illa pars aliquota continens illas duas
vnitates: et talis numerus qui videlicet cõtinet nu
merum minorem et medietatem illius partis ali-
quote ſic diuiſe eſt numerus medius inter extrema
date proportionis ſuperparticularis: igitur pro
portio medii termini inter terminos proportiõis
ſuperparticularis ad minimum extremum deno-
minatur a parte aliquota denominata a numero
in duplo maiore quaꝫ ſit numerus a quo denomi-
natur pars aliquota a qua denominatur totalis
illa proportio data ſuperparticularis. Conſe-
quētia patet: et minor probatur: quia ſemper me-
dius numerus inter duos excedit minorē per me-
dietatem exceſſus quo maior excedit minorē quia
alias nõ eſſet medius. Et ſic patet tertia pars cor
relari. Et quarta probatur / quia ad īuento medio
inter terminos proportionis ſuperparticularis
quod per ſolam vnitatem excedit numerum mino
rem: et per ſolam vuitatē exceditur a maiore vt eſt
in propoſito: ibi reperiuntur tres numeri īmedia
ti in naturali ſerie numerorum / igitur proportio
maximi eorum ad medium denominatur a parte
aliquota denominata a numero īmediate ſequē-
te numerū a quo denominatur pars aliquota de-
nominans proportionem medii numeri ad mino
rem / vt patet ex prima parte aſpicienti generatio-
nem ſuperparticularium in naturali ſerie nume-
rorum. Et ſic patet correlarium quadripartitum /
quod difficile apparet propter longitudinem ter
minorum quibus vtitur inprobatione. 11Documē
tū nõ pre
tereundū Et ideo de
cetero cum voluero dicere / aliqua proportio ſu-
perparticularis denomīatur ab aliqua parte a-
liquota denominata ab aliquo certo numero: di-
cã / talis proportio ſuperparticularis denomi-
natur a tali numero gratia breuitatis: quia nulla
ſuperparticularis denominatur a numero: ſed a
parte aliquota et vnitate: et cū dico / denomina-
tur a parte aliquota intelligo inadequate quod
ad propoſitum ſufficit. 227. correĺ. ¶ Sequitur ſeptimo / in
omni proportiõe ſuperparticulari capta propor
tione que eſt medii termini ad infimum: illa etiam
componitur ex duabus ſuperparticularibus qua
rum vna ſimiliter eſt medii termini ad infimum:
et illa denominatur a numero quadruplo ad nu-
merum a quo denominatur illa ſuperparticula-
ris proportio data: vt in proportione ſexquiquar
ta que eſt .20. ad .16. capta proportione que eſt in-
ter .18. et .16. puta medii numeri ad īfimū: illa etiã
cõponitur ex proportione medii termini eius pu-
ta .17. ad .16. / et illa proportio denominatur a nu-
mero quadruplo ad numerū a quo denominatur
proportio ſexquiquarta: quia ꝓportio que eſt .17.
ad .16. denominatus a numero ſexdecimo: et pro-
portio .20: ad .16. a numero quaternario hoc eſt a
parte aliquota denominata ab illo puta quater
nario (ſemper ſic intelligo) Modo ſexdecimus nu
merus eſt quadruplus ad quaternarium. Proba
tur: et capio vnam proportionem ſuperparticula
rem f. que ſit a. ad d. et medius numerus inter illa
extrema ſit b. / tunc dico / proportio b. ad d. com-
ponitur ex duabus proportionibus ſuperparti-
cularibus quaruꝫ vna eſt medii termini ad infimū
qui medius terminus inter b. et d. ſit c. et illa puta
c. ad d. denominatur a numero quadruplo ad nu-
merū a quo denominatur proportio a. ad .d. Pri
ma pars videlicet / ꝓportio que eſt b. ad d. com-
ponitur ex duabus ſuperparticularibꝰ .etc̈. / patet
ex īmediate precedenti: et ſecunda probatur / quia
proportio b. ad d. denominatur a numero duplo
ad numerum a quo denominatur f. ꝓportio a. ad
d. / vt patet ex precedenti correlario: et proportio c.
ad d. eadē ratione denominatur a numero duplo
ad numerū a quo denominatur proportio b. ad d /
vt patet ex eodem correlario: igitur proportio c.
ad d. denomīatur a numero quadruplo ad nume
merū a quo denominatur ꝓportio f.a. ad d. / quod
fuit probandū. Patet hec conſequentia: quia nu-
merus duplus ad duplū alicuiꝰ certi dati eſt qua-
druplus ad illum certum datum / vt conſtat: ſed nu
merus a quo denomīatur proportio c. ad d. eſt du
plus ad numerum a quo denominatur proportio
b. ad d. et ille iterum eſt duplus ad numeruꝫ a quo
denominatur proportio f.a. ad d. / igitur numerus
a quo denominatur proportio c. ad d. eſt quadru-
plus ad numerum a quo denominatnr proportio
f. que eſt a. ad d. / quod fuit probandū. 338. correĺ. ¶ Sequitur
octauo / quacun proportione ſuperparticula-
ri data denomīata ab aliquo certo numero: oīs
proportio ſuperparticularis denominata a ma-
iori numero vſ ad duplū incluſiue eſt maior quã
medietas illius proportionis ſuperparticularis
date: vt data proportione ſexquiquarta oīs pro-
portio ſuperparticularis denominata ab olique
numero a quaternario vſ ad octonarium inclu-
ſiue qui eſt numerus duplus ad quaternarium eſt
maior quam ſubdupla ad ſexquiquartã et ſic ſex-
quiquarta, ſexquiſexta, ſexquiſeptima, ſexq̇octa-
ua, eſt maior quam ſubdupla ad ſexquiquartam.
Probatur / quoniã quacun tali ſuperparticula-
ri data ab aliquo numero denominata: propor-
tio ſuperparticularis denominata a numero in
duplo maiore eſt maior quam ſubdupla ad illam
quia talis eſt medii termini ad infimū / vt patet ex
quinto et ſexto correlario cõiunctis: igitur omnis
ꝓportio ſuperparticularis denominata a nume-
ro minori quã duplo ad numerū a quo denomina
tur data ꝓportio ſuꝑparticularis eſt maior quã
ſubdupla ad illam datã ſuperparticularē. Patet
hec cõſequentia per hoc / oīs ſuperparticularis
que denomīatur a minori numero eſt maior: quia
talis denomīatur a maiori parte aliquota: et hoc
auxiliante loco a maiori: et per conſequens pro-
portione ſuperparticulari data denominata ab
aliquo certo nūero: oīs ꝓportio ſuꝑparticularis
ticularibus quarum vna eſt maximi ad medium: et
altera medii ad minimū extremum / quod fuit pro
bandum. Patet tamen conſequentia / quia omnis
proportio que reperitur inter duos numeros im-
mediatos eſt ſuperparticularis / vt patet ex gene-
ratione ſuperparticulariū. Sed tertia pars pro-
batur / quia duplato ſic a. et c. numero vt ſupra: iã
a. numerus ſic duplatus excedit c. ſic duplatū per
dualitatem: et illa dualitas erit pars aliquota e-
iuſdem denominationis ipſius c. ſicut antea erat
vnitas quia adhuc manet proportio f. inter illos
terminos: igitur adhuc maior illorum terminorū
excedit minorem mediante eadem parte aliquota
minoris: diuiſa igitur illa parte aliquota a mino-
ris que eſt dualitas in duas partes equales / puta
in duas vnitates manifeſtum eſt / quelibet illarū
partium in quas diuiditur eſt pars aliquota mi-
noris denominata a numero in duplo maiori / vt
conſtat: igitur numerus continens numerum mi-
norem et talem partē aliquotam adequate ſe ha-
bebit ad minorem numerum in proportione ſu-
perparticulari denominata a parte aliquota que
denominatur a numero duplo a quo denomina-
tur tota illa pars aliquota continens illas duas
vnitates: et talis numerus qui videlicet cõtinet nu
merum minorem et medietatem illius partis ali-
quote ſic diuiſe eſt numerus medius inter extrema
date proportionis ſuperparticularis: igitur pro
portio medii termini inter terminos proportiõis
ſuperparticularis ad minimum extremum deno-
minatur a parte aliquota denominata a numero
in duplo maiore quaꝫ ſit numerus a quo denomi-
natur pars aliquota a qua denominatur totalis
illa proportio data ſuperparticularis. Conſe-
quētia patet: et minor probatur: quia ſemper me-
dius numerus inter duos excedit minorē per me-
dietatem exceſſus quo maior excedit minorē quia
alias nõ eſſet medius. Et ſic patet tertia pars cor
relari. Et quarta probatur / quia ad īuento medio
inter terminos proportionis ſuperparticularis
quod per ſolam vnitatem excedit numerum mino
rem: et per ſolam vuitatē exceditur a maiore vt eſt
in propoſito: ibi reperiuntur tres numeri īmedia
ti in naturali ſerie numerorum / igitur proportio
maximi eorum ad medium denominatur a parte
aliquota denominata a numero īmediate ſequē-
te numerū a quo denominatur pars aliquota de-
nominans proportionem medii numeri ad mino
rem / vt patet ex prima parte aſpicienti generatio-
nem ſuperparticularium in naturali ſerie nume-
rorum. Et ſic patet correlarium quadripartitum /
quod difficile apparet propter longitudinem ter
minorum quibus vtitur inprobatione. 11Documē
tū nõ pre
tereundū Et ideo de
cetero cum voluero dicere / aliqua proportio ſu-
perparticularis denomīatur ab aliqua parte a-
liquota denominata ab aliquo certo numero: di-
cã / talis proportio ſuperparticularis denomi-
natur a tali numero gratia breuitatis: quia nulla
ſuperparticularis denominatur a numero: ſed a
parte aliquota et vnitate: et cū dico / denomina-
tur a parte aliquota intelligo inadequate quod
ad propoſitum ſufficit. 227. correĺ. ¶ Sequitur ſeptimo / in
omni proportiõe ſuperparticulari capta propor
tione que eſt medii termini ad infimum: illa etiam
componitur ex duabus ſuperparticularibus qua
rum vna ſimiliter eſt medii termini ad infimum:
et illa denominatur a numero quadruplo ad nu-
merum a quo denominatur illa ſuperparticula-
ris proportio data: vt in proportione ſexquiquar
ta que eſt .20. ad .16. capta proportione que eſt in-
ter .18. et .16. puta medii numeri ad īfimū: illa etiã
cõponitur ex proportione medii termini eius pu-
ta .17. ad .16. / et illa proportio denominatur a nu-
mero quadruplo ad numerū a quo denominatur
proportio ſexquiquarta: quia ꝓportio que eſt .17.
ad .16. denominatus a numero ſexdecimo: et pro-
portio .20: ad .16. a numero quaternario hoc eſt a
parte aliquota denominata ab illo puta quater
nario (ſemper ſic intelligo) Modo ſexdecimus nu
merus eſt quadruplus ad quaternarium. Proba
tur: et capio vnam proportionem ſuperparticula
rem f. que ſit a. ad d. et medius numerus inter illa
extrema ſit b. / tunc dico / proportio b. ad d. com-
ponitur ex duabus proportionibus ſuperparti-
cularibus quaruꝫ vna eſt medii termini ad infimū
qui medius terminus inter b. et d. ſit c. et illa puta
c. ad d. denominatur a numero quadruplo ad nu-
merū a quo denominatur proportio a. ad .d. Pri
ma pars videlicet / ꝓportio que eſt b. ad d. com-
ponitur ex duabus ſuperparticularibꝰ .etc̈. / patet
ex īmediate precedenti: et ſecunda probatur / quia
proportio b. ad d. denominatur a numero duplo
ad numerum a quo denominatur f. ꝓportio a. ad
d. / vt patet ex precedenti correlario: et proportio c.
ad d. eadē ratione denominatur a numero duplo
ad numerū a quo denominatur proportio b. ad d /
vt patet ex eodem correlario: igitur proportio c.
ad d. denomīatur a numero quadruplo ad nume
merū a quo denominatur ꝓportio f.a. ad d. / quod
fuit probandū. Patet hec conſequentia: quia nu-
merus duplus ad duplū alicuiꝰ certi dati eſt qua-
druplus ad illum certum datum / vt conſtat: ſed nu
merus a quo denomīatur proportio c. ad d. eſt du
plus ad numerum a quo denominatur proportio
b. ad d. et ille iterum eſt duplus ad numeruꝫ a quo
denominatur proportio f.a. ad d. / igitur numerus
a quo denominatur proportio c. ad d. eſt quadru-
plus ad numerum a quo denominatnr proportio
f. que eſt a. ad d. / quod fuit probandū. 338. correĺ. ¶ Sequitur
octauo / quacun proportione ſuperparticula-
ri data denomīata ab aliquo certo numero: oīs
proportio ſuperparticularis denominata a ma-
iori numero vſ ad duplū incluſiue eſt maior quã
medietas illius proportionis ſuperparticularis
date: vt data proportione ſexquiquarta oīs pro-
portio ſuperparticularis denominata ab olique
numero a quaternario vſ ad octonarium inclu-
ſiue qui eſt numerus duplus ad quaternarium eſt
maior quam ſubdupla ad ſexquiquartã et ſic ſex-
quiquarta, ſexquiſexta, ſexquiſeptima, ſexq̇octa-
ua, eſt maior quam ſubdupla ad ſexquiquartam.
Probatur / quoniã quacun tali ſuperparticula-
ri data ab aliquo numero denominata: propor-
tio ſuperparticularis denominata a numero in
duplo maiore eſt maior quam ſubdupla ad illam
quia talis eſt medii termini ad infimū / vt patet ex
quinto et ſexto correlario cõiunctis: igitur omnis
ꝓportio ſuperparticularis denominata a nume-
ro minori quã duplo ad numerū a quo denomina
tur data ꝓportio ſuꝑparticularis eſt maior quã
ſubdupla ad illam datã ſuperparticularē. Patet
hec cõſequentia per hoc / oīs ſuperparticularis
que denomīatur a minori numero eſt maior: quia
talis denomīatur a maiori parte aliquota: et hoc
auxiliante loco a maiori: et per conſequens pro-
portione ſuperparticulari data denominata ab
aliquo certo nūero: oīs ꝓportio ſuꝑparticularis