37068VITELLONIS OPTICAE
non cadit radius, non illuminatur:
ergo pars contenta ſub terminis u d c e z eſt umbroſa, o bſcurans
lineas d e & u z ęquidiſtantes: ſunt itaq; per 29 p 1 trigoni u g z & d g e æquiãguli: quia angulus d g e
eſt communis ambobus trigonis. Eſt ergo per 4 p 6 proportio lineæ g e ad lineã g z, ſicut lineæ d e
ad lineam u z: ſed linea z g eſt maior quàm linea e g: ergo linea u z eſt maior quàm linea d e. Vmbra
ergo corporum omnium (cuiuſcunq; ſint proportionis ipſarum diametri ad diametros corporis lu
minoſi) ſemper eſt maior corpore umbroſo, & ſemper augmentantur ſecundum modum, quo elon
gantur ultra corpus umbroſum, cuius contrarium notum eſt ſenſui, Vnde fuit ſuppoſitum in princi
pio aliquam umbram in ſui termino acui, & ad punctum terminari. Palàm ergo eſt propoſitum. Et
cum lumen egrediatur à corpore luminoſo, & non ſolùm à centro, ut oſtendimus, manifeſtum eſt
corollarium: quoniam à quolibet puncto ſuperficiei corporis luminoſi neceſſe habet egredi ad cor
pora illuminanda: corpus enim luminoſum ſecũdum quodlibet ſui punctum unigeneum eſt: unde
qua ratione dabitur ab uno puncto ſuæ ſuperficiei lumen diffundi, eadem ratione dabitur de quoli
bet aliorum punctorum. Patet ergo propoſitum.
lineas d e & u z ęquidiſtantes: ſunt itaq; per 29 p 1 trigoni u g z & d g e æquiãguli: quia angulus d g e
eſt communis ambobus trigonis. Eſt ergo per 4 p 6 proportio lineæ g e ad lineã g z, ſicut lineæ d e
ad lineam u z: ſed linea z g eſt maior quàm linea e g: ergo linea u z eſt maior quàm linea d e. Vmbra
ergo corporum omnium (cuiuſcunq; ſint proportionis ipſarum diametri ad diametros corporis lu
minoſi) ſemper eſt maior corpore umbroſo, & ſemper augmentantur ſecundum modum, quo elon
gantur ultra corpus umbroſum, cuius contrarium notum eſt ſenſui, Vnde fuit ſuppoſitum in princi
pio aliquam umbram in ſui termino acui, & ad punctum terminari. Palàm ergo eſt propoſitum. Et
cum lumen egrediatur à corpore luminoſo, & non ſolùm à centro, ut oſtendimus, manifeſtum eſt
corollarium: quoniam à quolibet puncto ſuperficiei corporis luminoſi neceſſe habet egredi ad cor
pora illuminanda: corpus enim luminoſum ſecũdum quodlibet ſui punctum unigeneum eſt: unde
qua ratione dabitur ab uno puncto ſuæ ſuperficiei lumen diffundi, eadem ratione dabitur de quoli
bet aliorum punctorum. Patet ergo propoſitum.
18. Impoßibile eſt, ut à ſuperficie corporis luminoſi egrediantur radij
ſolùm æquidiſtanter corpori illuminando incidentes.
ſolùm æquidiſtanter corpori illuminando incidentes.
Si enim hoc dicatur eſſe neceſſarium, tunc ſequeretur euidens impoſ-
411[Figure 411]a b z z g d u h eſibile. Sit enim corpus luminoſum, cuius diameter a b: & corpus illumina
tum d g: & producantur à corpore luminoſo duo radij longiores, qui per
16 huius erunt duę lineę contingentes fines corporis g d: quę ſint a g u &
b d e, & ſint æquidiſtantes ex hypotheſi: pars quoq; illuminata, ſuper quã
cadit lumen, ſit g z d, & pars ſuper quã cadit umbra, ſit g h d. Vmbra ergo
continetur à duabus lineis e d & u g, quę ſunt æquidiſtantes. Si ergo uni-
cuiq; corpori illuminando correſpondeat æqualis ſibi pars corporis illu-
minantis (tunc enim ſolum ſecundum lineas æquidiſtantes radij incidẽt
per 33 p 1) patet ergo, quòd omnis umbra in omni ſui parte æqualis erit
ſuæ rei umbroſæ: igitur non augebitur umbra, neq; minuetur, ſed proten
detur ſemper in infinitum: quod eſt contra ſuppoſitionem: habet enim a-
liqua umbrarum terminum acutum: eſt ergo hoc impoſsibile: oppoſitum
eſt ergo neceſſarium. Et hoc eſt propoſitum.
411[Figure 411]a b z z g d u h eſibile. Sit enim corpus luminoſum, cuius diameter a b: & corpus illumina
tum d g: & producantur à corpore luminoſo duo radij longiores, qui per
16 huius erunt duę lineę contingentes fines corporis g d: quę ſint a g u &
b d e, & ſint æquidiſtantes ex hypotheſi: pars quoq; illuminata, ſuper quã
cadit lumen, ſit g z d, & pars ſuper quã cadit umbra, ſit g h d. Vmbra ergo
continetur à duabus lineis e d & u g, quę ſunt æquidiſtantes. Si ergo uni-
cuiq; corpori illuminando correſpondeat æqualis ſibi pars corporis illu-
minantis (tunc enim ſolum ſecundum lineas æquidiſtantes radij incidẽt
per 33 p 1) patet ergo, quòd omnis umbra in omni ſui parte æqualis erit
ſuæ rei umbroſæ: igitur non augebitur umbra, neq; minuetur, ſed proten
detur ſemper in infinitum: quod eſt contra ſuppoſitionem: habet enim a-
liqua umbrarum terminum acutum: eſt ergo hoc impoſsibile: oppoſitum
eſt ergo neceſſarium. Et hoc eſt propoſitum.
19. Omnis punct{us} corporis luminoſi eam partem corporis umbroſi
illuminat, ad quã ab eodem pũcto rect{as} line{as} poßibile eſt produci. Ex
quo patet, quòd un{us} punct{us} luminoſi corporis non illuminat omne umbroſum corp{us}.
illuminat, ad quã ab eodem pũcto rect{as} line{as} poßibile eſt produci. Ex
quo patet, quòd un{us} punct{us} luminoſi corporis non illuminat omne umbroſum corp{us}.
Sunt enim corpora luminoſa unigenea in ſuis partibus:
non ergo diuerſificatur effectus ſuarum
partium, neq; eſt poſsibile, ut ab una parte illuminent, & non ab alia: non tamen ab uno puncto cor
poris luminoſi ad quodlibet punctum umbroſi corporis poſſunt rectæ lineæ produci: & ob hoc u-
nus punctus non illuminat omnia, ſed illuminantur corpora umbroſa à diuerſis punctis corporis
luminoſi. Sit enim corpus luminoſum circulus a b:
quem contingat linea d g ſuper punctum a per 17 p 3:
412[Figure 412]g z a h d t e u bſitq́; corpus illuminatum concauum arcus e u, & ſecet
ipſum linea d g ſuper duo pũcta z & h. Dico, quòd poſ
ſibile eſt omnem arcum z h illuminari à puncto a cor-
poris luminoſi: quoniam, ut patet, poſsibile eſt, ut ab
omni puncto arcus z h ducatur linea recta ad punctũ
a: ſed ab arcu z e, & ab arcu h u aliquas lineas duci ad
punctum a eſt impoſsibile per 16 p 3: quoniam inter li
neam g d contin gentem circulum, & inter ipſum circu
lum a b aliquam lineam rectam intercipi eſt impoſsibi
le. Si ergo aliqua linea ab aliquo punctorum illorũ ar-
cuũ ducatur ad punctũ a, illa neceſſariò ſecabit circu-
lum, ſicut linea u a ſecat circulum a b in puncto t, pri-
uſquã perueniat ad pũctũ a. Et ſimiliter eſt de omnib.
lineis à quocunq; puncto arcuum u h & z e ad punctũ
a productis: oẽs enim ſecant circulũ a b in alio puncto
ab ipſo puncto a, priuſquã perueniãt ad punctũ a. Radius itaq; exiẽs à puncto a, nõ illuminat ambos
arcus u h & z e, ſed ſolũ arcũ h z: ſed illos arcus ab alijs punctis luminoſi corporis circuli a b, à quib.
ad eoſdem arcus rectę poſſunt produci lineę, nihil prohibet illuminari. Et ſimiliter eſt de alijs qui-
buſcunq; corporib illuminatis: quoniã ſi corpora cõcaua (de quibus plus uidetur, quòd poſsint ab
uno puncto illuminari) nõ illuminantur ab uno puncto corporis luminoſi: ergo multo minus cor-
pora recta plures planas ſuperficies habentia, uel corpora ſphærica, uel alia conuexa, poſſũnt ab u-
no puncto luminoſi corporis illuminari. Patet ergo propoſitum & eius corollarium.
partium, neq; eſt poſsibile, ut ab una parte illuminent, & non ab alia: non tamen ab uno puncto cor
poris luminoſi ad quodlibet punctum umbroſi corporis poſſunt rectæ lineæ produci: & ob hoc u-
nus punctus non illuminat omnia, ſed illuminantur corpora umbroſa à diuerſis punctis corporis
luminoſi. Sit enim corpus luminoſum circulus a b:
quem contingat linea d g ſuper punctum a per 17 p 3:
412[Figure 412]g z a h d t e u bſitq́; corpus illuminatum concauum arcus e u, & ſecet
ipſum linea d g ſuper duo pũcta z & h. Dico, quòd poſ
ſibile eſt omnem arcum z h illuminari à puncto a cor-
poris luminoſi: quoniam, ut patet, poſsibile eſt, ut ab
omni puncto arcus z h ducatur linea recta ad punctũ
a: ſed ab arcu z e, & ab arcu h u aliquas lineas duci ad
punctum a eſt impoſsibile per 16 p 3: quoniam inter li
neam g d contin gentem circulum, & inter ipſum circu
lum a b aliquam lineam rectam intercipi eſt impoſsibi
le. Si ergo aliqua linea ab aliquo punctorum illorũ ar-
cuũ ducatur ad punctũ a, illa neceſſariò ſecabit circu-
lum, ſicut linea u a ſecat circulum a b in puncto t, pri-
uſquã perueniat ad pũctũ a. Et ſimiliter eſt de omnib.
lineis à quocunq; puncto arcuum u h & z e ad punctũ
a productis: oẽs enim ſecant circulũ a b in alio puncto
ab ipſo puncto a, priuſquã perueniãt ad punctũ a. Radius itaq; exiẽs à puncto a, nõ illuminat ambos
arcus u h & z e, ſed ſolũ arcũ h z: ſed illos arcus ab alijs punctis luminoſi corporis circuli a b, à quib.
ad eoſdem arcus rectę poſſunt produci lineę, nihil prohibet illuminari. Et ſimiliter eſt de alijs qui-
buſcunq; corporib illuminatis: quoniã ſi corpora cõcaua (de quibus plus uidetur, quòd poſsint ab
uno puncto illuminari) nõ illuminantur ab uno puncto corporis luminoſi: ergo multo minus cor-
pora recta plures planas ſuperficies habentia, uel corpora ſphærica, uel alia conuexa, poſſũnt ab u-
no puncto luminoſi corporis illuminari. Patet ergo propoſitum & eius corollarium.
20. À puncto cui{us}libet corporis luminoſi lumen diffunditur ſecundum omnem rectam li-