37573LIBER SECVNDVS.
remanẽt in alijs partibus medij, in quibus umbra nõ multiplicatur, ſed remanet ſimpliciter umbra.
Ergo illa ſimplex քfunditur aliquo lumine, qđ ad umbrã multiplicatã nõ քtingit. Multiplicata ergo
umbra plus umbreſcit: quoniã plurimo lumine priuatur locus illius umbræ. Patet ergo ꝓpoſitum.
Ergo illa ſimplex քfunditur aliquo lumine, qđ ad umbrã multiplicatã nõ քtingit. Multiplicata ergo
umbra plus umbreſcit: quoniã plurimo lumine priuatur locus illius umbræ. Patet ergo ꝓpoſitum.
33. Duo corpora, quorum unum obumbrat reliquum ſecũdum ſui medium, in eadem ſuper-
ficie erecta ſuper corp{us} luminoſum conſiſtere neceſſe eſt: & ſi in eadem ſuperficie, propinqua
adinuicem conſiſtunt: unum reliquum ſecundum ſui medium obumbrabit.
ficie erecta ſuper corp{us} luminoſum conſiſtere neceſſe eſt: & ſi in eadem ſuperficie, propinqua
adinuicem conſiſtunt: unum reliquum ſecundum ſui medium obumbrabit.
Hoc, quãtùm ad primam partem, patet per 30 huius:
quoniam enim ſuperficies plana corpus lu-
minoſum & corpus umbroſum per æqualia diuidens eſt erecta ſuper ſuperficiem corporis lumi-
noſi, & ipſa erigitur ſuper medium umbræ rei umbroſæ: umbra uerò cadit ſuper lumẽ corporis ob-
umbrati: ergo oportet, quòd illud corpus obumbratum ſecundum ſui medium ſit in ſuperficie ere-
cta ſuper ſuperficiem corporis luminoſi. Ex hoc etiam patet ſecunda pars præſentis theorematis:
quoniam ſi duo corpora propinqua adinuicem ſecundũ ſui partes medias in eadẽ ſuperficie erecta
ſuper ſuperficiem luminoſi corporis conſiſtunt, unum reliquum obumbrabit: quoniam remotius à
lumine, quando fuerit propinquum illi, quod plus accedit ad lumen, cadet in umbra illius, quod eſt
propinquius lumini: ut quando idem radius tranſiens uerticem propinquioris, tranſit etiam uerti-
cem remotioris, uel punctum aliquod, quod ſit altius illo. Patet ergo propoſitum.
minoſum & corpus umbroſum per æqualia diuidens eſt erecta ſuper ſuperficiem corporis lumi-
noſi, & ipſa erigitur ſuper medium umbræ rei umbroſæ: umbra uerò cadit ſuper lumẽ corporis ob-
umbrati: ergo oportet, quòd illud corpus obumbratum ſecundum ſui medium ſit in ſuperficie ere-
cta ſuper ſuperficiem corporis luminoſi. Ex hoc etiam patet ſecunda pars præſentis theorematis:
quoniam ſi duo corpora propinqua adinuicem ſecundũ ſui partes medias in eadẽ ſuperficie erecta
ſuper ſuperficiem luminoſi corporis conſiſtunt, unum reliquum obumbrabit: quoniam remotius à
lumine, quando fuerit propinquum illi, quod plus accedit ad lumen, cadet in umbra illius, quod eſt
propinquius lumini: ut quando idem radius tranſiens uerticem propinquioris, tranſit etiam uerti-
cem remotioris, uel punctum aliquod, quod ſit altius illo. Patet ergo propoſitum.
34. Aequidiſtantia linearum radialium uel ipſarum concurſ{us} non eſt totaliter per ſe ex
natura radiorum, ſed ex proportione diametri corporis luminoſi ad diametros corporum um-
broſorum. Ex quo patet, quòd lumen diffunditur uniformiter per aerem circumſtantem.
natura radiorum, ſed ex proportione diametri corporis luminoſi ad diametros corporum um-
broſorum. Ex quo patet, quòd lumen diffunditur uniformiter per aerem circumſtantem.
Hoc patet per 17 & 18 huius:
& poteſt ſic exemplariter declarari.
Sit enim corpus luminoſum cir-
culus a b: & una linearum radialium ab ipſa egredientium ſit linea a g, & alia linea b g, & cõcurrant
illæ in pũcto g: ſit item una linea e u, & alia d z: & ſint e u & d z æquidi-
423[Figure 423]g t b a d e l k z u ſtantes, ſitq́; corpus unum (cuius diameter ſit minor diametro corpo-
ris luminoſi) ſuper quod cadit lumen, poſitum inter duas a g & b g ſe
contingentes, cuius maior circulus ſit ti: & contingat ipſum linea b g
in puncto i, & linea a g in puncto t: & corpus aliud æquale corpori lu-
minoſo, ſuper quod cadit lumen, ſit poſitum inter duas lineas æquidi-
ſtantes e u & d z, illud corpus contingentes, cuius diameter ſit k l: con-
tingaturq́; à linea e u in puncto k, & à linea d z in puncto l. V mbra itaq;
proueniens à corpore t i, minuitur & terminatur, & fit pyramidalis per
27 huius, ideo quia radij contingentes corpus t i, qui ſunt a g, b g, con-
currunt in puncto g: umbra ergo corporis t i cõtinetur à duabus lineis
i g & t g, & ſuperficie corporis t i, quæ eſt à parte g. Vmbra ergo finitur
apud punctum g. Vmbra uerò corporis k l protenſa inter lineas æqui-
diſtantes l z & k u, ut patet per 26 huius, non terminatur ad aliquod
punctum: quoniam illæ lineæ continentes umbram in infinitum pro-
tractæ non concurrunt. Si uerò corpus ti motum extra lineas a g & b g
ponatur intra lineas e u & d z, concurrent lineæ e u & d z, & uariabitur
umbra ab ipſis prius contenta ſecundum diuerſitatem proportionis
diametrorum corporis t i, & corporis k l ad diametrum corporis lumi-
noſi. Et exhoc patet, quòd radij per ſe non ſunt lineæ neq; regulares,
neq; irregulares, neq; æquidiſtantes, neq; concurrentes: ſed accidit eis
lineatio per reſpectum ad corpora, quibus incidunt: & æquidiſtantia
& concurſus accidunt eis per proportionem diametrorum corporum
umbroſorum ad diametros corporis luminoſi. Diffunditur ergo lumẽ
uniformiter per totum aerem circumſtantem, ita, ut omnis punctus
aeris, à quo poſsibile eſt produci lineam rectam ad aliquod punctum
corporis luminoſi, illuminetur à lumine corporis luminoſi, ut patet
per 19 huius. Patet ergo propoſitum.
culus a b: & una linearum radialium ab ipſa egredientium ſit linea a g, & alia linea b g, & cõcurrant
illæ in pũcto g: ſit item una linea e u, & alia d z: & ſint e u & d z æquidi-
423[Figure 423]g t b a d e l k z u ſtantes, ſitq́; corpus unum (cuius diameter ſit minor diametro corpo-
ris luminoſi) ſuper quod cadit lumen, poſitum inter duas a g & b g ſe
contingentes, cuius maior circulus ſit ti: & contingat ipſum linea b g
in puncto i, & linea a g in puncto t: & corpus aliud æquale corpori lu-
minoſo, ſuper quod cadit lumen, ſit poſitum inter duas lineas æquidi-
ſtantes e u & d z, illud corpus contingentes, cuius diameter ſit k l: con-
tingaturq́; à linea e u in puncto k, & à linea d z in puncto l. V mbra itaq;
proueniens à corpore t i, minuitur & terminatur, & fit pyramidalis per
27 huius, ideo quia radij contingentes corpus t i, qui ſunt a g, b g, con-
currunt in puncto g: umbra ergo corporis t i cõtinetur à duabus lineis
i g & t g, & ſuperficie corporis t i, quæ eſt à parte g. Vmbra ergo finitur
apud punctum g. Vmbra uerò corporis k l protenſa inter lineas æqui-
diſtantes l z & k u, ut patet per 26 huius, non terminatur ad aliquod
punctum: quoniam illæ lineæ continentes umbram in infinitum pro-
tractæ non concurrunt. Si uerò corpus ti motum extra lineas a g & b g
ponatur intra lineas e u & d z, concurrent lineæ e u & d z, & uariabitur
umbra ab ipſis prius contenta ſecundum diuerſitatem proportionis
diametrorum corporis t i, & corporis k l ad diametrum corporis lumi-
noſi. Et exhoc patet, quòd radij per ſe non ſunt lineæ neq; regulares,
neq; irregulares, neq; æquidiſtantes, neq; concurrentes: ſed accidit eis
lineatio per reſpectum ad corpora, quibus incidunt: & æquidiſtantia
& concurſus accidunt eis per proportionem diametrorum corporum
umbroſorum ad diametros corporis luminoſi. Diffunditur ergo lumẽ
uniformiter per totum aerem circumſtantem, ita, ut omnis punctus
aeris, à quo poſsibile eſt produci lineam rectam ad aliquod punctum
corporis luminoſi, illuminetur à lumine corporis luminoſi, ut patet
per 19 huius. Patet ergo propoſitum.
35. Radij ab uno puncto luminoſi corporis procedentes, ſecũdum
linearum longitudinem ad æquidiſtantiam ſenſibilem pl{us} accedunt.
linearum longitudinem ad æquidiſtantiam ſenſibilem pl{us} accedunt.
Eſto, ut à puncto medio corporis luminoſi (quod ſit a) egrediantur radij a b & a g ęquales:
copu-
letur quoq; baſis b g, & ducatur linea d e ſecans trigonum a b g citra medium ſui lateris a g æquidi-
ſtanter baſi b g per 10 & 31 p 1: protrahaturq́; à puncto a linea a z perpendiculariter ſuper baſim b g
per 12 p 1, quæ ſecet lineam d e in puncto u: diuidaturq́; linea e g in duo æqualia in puncto h per 10
p 1, & linea d b in puncto t: ducaturq́; linea h t: linea ergo h t erit æquidiſtans baſi g b per 2 p 6: ſeca-
bit ergo lineam u z per 2 t 1 huius: ſit punctus ſectionis k. Ducãtur item à punctis e, d, h, t lineæ per-
pendiculares ſuper baſim b g: quæ ſint e l, d m, h n, t s: ſecabit quoq; perpendicularis e l lineam h t:
ſit punctus ſectionis q, & punctus ſectionis linearum d m & h t ſit f: erit ergo linea q f æqualis lineæ
e d per 34 p 1: patet ergo, quòd linea h t eſt maior quàm linea e d. Quia itaq; trigona a u e & e h q ſunt
æquiangula per 29 & 32 p 1: erunt per 4 p 6 latera ipſorum proportionalia. Quia ergo, ut patuit ſu-
prà, linea a e eſt maior quàm linea e h: erit ergo linea e u maior quàm linea h q: ſed linea h t eſt maior
quàm linea e d, ut præoſtenſum eſt: ergo per 9 t 1 huius maior eſt proportio lineæ e u ad lineam e d,
letur quoq; baſis b g, & ducatur linea d e ſecans trigonum a b g citra medium ſui lateris a g æquidi-
ſtanter baſi b g per 10 & 31 p 1: protrahaturq́; à puncto a linea a z perpendiculariter ſuper baſim b g
per 12 p 1, quæ ſecet lineam d e in puncto u: diuidaturq́; linea e g in duo æqualia in puncto h per 10
p 1, & linea d b in puncto t: ducaturq́; linea h t: linea ergo h t erit æquidiſtans baſi g b per 2 p 6: ſeca-
bit ergo lineam u z per 2 t 1 huius: ſit punctus ſectionis k. Ducãtur item à punctis e, d, h, t lineæ per-
pendiculares ſuper baſim b g: quæ ſint e l, d m, h n, t s: ſecabit quoq; perpendicularis e l lineam h t:
ſit punctus ſectionis q, & punctus ſectionis linearum d m & h t ſit f: erit ergo linea q f æqualis lineæ
e d per 34 p 1: patet ergo, quòd linea h t eſt maior quàm linea e d. Quia itaq; trigona a u e & e h q ſunt
æquiangula per 29 & 32 p 1: erunt per 4 p 6 latera ipſorum proportionalia. Quia ergo, ut patuit ſu-
prà, linea a e eſt maior quàm linea e h: erit ergo linea e u maior quàm linea h q: ſed linea h t eſt maior
quàm linea e d, ut præoſtenſum eſt: ergo per 9 t 1 huius maior eſt proportio lineæ e u ad lineam e d,