1nea a b. tutto che del continuo egli ſi faccia uicino alla a b. por la prima proprietà ſopra
detta. Adunque la prima piegata, o conchoide, & la dritta linea, alla quale ella è deſcritta,
non concorreranno mai, in tutto che ſiano tirate infinito, & del continuo ſi ſacciano piu uicine,
il che biſognaua dimoſtrare. Queſto aſſonto di Nicomede è utile alla ſeguente dimoſtratione.
Se egli ſarà fatto uno angolo ad una dritta linea, che da una parte ſia infinita, & ſi uorrà tirare
da un punto dato di fuori una linea dritta, la quale tagli due dritte cerca lo iſteſſo angolo, della
qual dritta linea una particella compreſa tra due, che comprendeno l'angolo dato, ſia eguale alla
data linea, egli ſi farà in queſto modo. Sia la data linea a b. che dalla parte di b. uadi m
finito, & ſopra quella ſia fatto il dato angolo b a g. & il punto fuori di a b. ſia c. & la
data dritta ſia d. & da c. alla a b. ſia tirata la perpendicolare, che ſia c K. alla quale
ſia aggiunto e f. eguale alla d. & mediante lo inſtrumento deſcritto di ſopra dal polo c. &
lo ſpatio e f. alla regola a b. ſia deſcritta la linea piegata, o conchoide prima. Adunque
per la ſeconda proprietà, la linea a g. della prima conchoide tirata piu oltre concaderà con la
conchoide f g. concaderà adunque in g. & la linea tirata c g. taglierà la a b. in h. di
co, che la g h. ſarà eguale alla d. il che ſi fa chiaro da quello, perche per la diffinitione della
conchoide prima la linea g h è eguale alla linea e f. ma per quello, che hauemo preſuppoſto
la e f. è eguale alla d. adunque per la commune ſentenza, che dice le coſe eſſer eguali tra ſe,
che ad una iſteſſa ſono eguali. La dritta g h. è eguale alla d. adunque ſi ha il propoſito ſo
pra detto. Secondo Nicomede ſi troueranno le due proportionali di mezo tra due dritte a que
ſto modo. Siano date due dritte a b. b c. appoſte ad angolo dritto, tra le quali biſogni tro
uarne due di mezo in continua proportione. Sia compito il parallelogrammo a h c d. Sia
ciaſcuna di quelle linee tagliata in due parti c d. in e. d a. in f. & ſia congiunta h e.
è paſſi oltre fin che la cada in a d. prolongata, nel punto g. ma alla linea a d. cada f h.
ad angoli dritti, & ſia prolongata a h. che ſia eguale alla c e. & ſia congiunta g h. alla
quale ſia parallela a i. ſi che lo angolo k a i. ſia eguale allo angolo f g h. per lo prece
dente aſſonto. Sia tirata una linea dritta g i k. che tagli a i. in i. & d a. nella parte
a. prolongata ſopra k. di modo, che i k. ſia eguale ad a h. & congiunta k b. ſia tira
ta fin che cada ſopra la d c. prolongata in l. dico, che ſi come ſi ha a b. ad a k. coſi
a k. ad l c. & l c. à c b. perche c d. è tagliata in due parti in e. & a queſta ſi ap
pone k a. adunque per la ſeſta del ſecondo de gli elementi quello, che è ſotto d k a. con
quello, che ſi fa della a f. è eguale a quello, che ſi fa della f k. Appongaſi il commune,
che è tra f h. adunque quello, che è ſotto d K a. con quello che ſi fa di a f. & di f h.
cioè con quello, che ſi fa di a g. è eguale a quello, che ſi fa di K f. & di f h. cioè a quello
che è di k h. Et perche ſi come ſi ha l c. à c d. coſi ſia l b. à b K. & come l b. à
b k. coſi ſi ha d a. ad a k. adunque ſi come ſi ha l c. à c d. coſi ſi ha d a. ad a k.
Ma della c d. è la metà la c e. & la a g. è doppia alla d a. perche per la quarta del ſe
ſto, ſi come ſi ha a b. à d e. coſi ſi ha g a. ad a d. per quello che ſi è ſuppoſto la b a.
è doppia à d e. adunque la g a. è doppia alla a d. ſarà adunque, che ſi come l c. ſi ha
alla c e. coſi g a. alla a k. per la eguale, & permutata proportione, per la uenteſima
terza del quinto de gli elementi. Ma come g a. ad a k. coſi & h i. ad i k. per la ſe
conda del ſeſto de gli elementi. Perche per la ſuppoſitione g h. & a i. ſono parallele. Et
componendo per la decima ottaua del quinto, ſegue, che ſi come ſi ha. La l e. alla c e. coſi
la h k. alla k i. ma egli è ſtata poſta eguale la i k. alla c e. perche la i k. è egua
le alla a h. & la a h. alla c e. adunque la e l. è eguale alla h K. conſeguentemente
è eguale quello, che naſce da l e. con quello che ſi fa di h K. & quello che ſi fa di l e. è
eguale a quello, che ſi fa ſotto d l c. con quello, che ſi fa di c e. per la ſeſta del ſecondo de
gli elementi. Ma a quello, che ſi fa di h K. egli è ſtato dimostrato eſſer eguale, quello, che ſi
fa ſotto d k a. con quello, che ſi fa di a h. delle quali quello, che è di c e. è eguale a
detta. Adunque la prima piegata, o conchoide, & la dritta linea, alla quale ella è deſcritta,
non concorreranno mai, in tutto che ſiano tirate infinito, & del continuo ſi ſacciano piu uicine,
il che biſognaua dimoſtrare. Queſto aſſonto di Nicomede è utile alla ſeguente dimoſtratione.
Se egli ſarà fatto uno angolo ad una dritta linea, che da una parte ſia infinita, & ſi uorrà tirare
da un punto dato di fuori una linea dritta, la quale tagli due dritte cerca lo iſteſſo angolo, della
qual dritta linea una particella compreſa tra due, che comprendeno l'angolo dato, ſia eguale alla
data linea, egli ſi farà in queſto modo. Sia la data linea a b. che dalla parte di b. uadi m
finito, & ſopra quella ſia fatto il dato angolo b a g. & il punto fuori di a b. ſia c. & la
data dritta ſia d. & da c. alla a b. ſia tirata la perpendicolare, che ſia c K. alla quale
ſia aggiunto e f. eguale alla d. & mediante lo inſtrumento deſcritto di ſopra dal polo c. &
lo ſpatio e f. alla regola a b. ſia deſcritta la linea piegata, o conchoide prima. Adunque
per la ſeconda proprietà, la linea a g. della prima conchoide tirata piu oltre concaderà con la
conchoide f g. concaderà adunque in g. & la linea tirata c g. taglierà la a b. in h. di
co, che la g h. ſarà eguale alla d. il che ſi fa chiaro da quello, perche per la diffinitione della
conchoide prima la linea g h è eguale alla linea e f. ma per quello, che hauemo preſuppoſto
la e f. è eguale alla d. adunque per la commune ſentenza, che dice le coſe eſſer eguali tra ſe,
che ad una iſteſſa ſono eguali. La dritta g h. è eguale alla d. adunque ſi ha il propoſito ſo
pra detto. Secondo Nicomede ſi troueranno le due proportionali di mezo tra due dritte a que
ſto modo. Siano date due dritte a b. b c. appoſte ad angolo dritto, tra le quali biſogni tro
uarne due di mezo in continua proportione. Sia compito il parallelogrammo a h c d. Sia
ciaſcuna di quelle linee tagliata in due parti c d. in e. d a. in f. & ſia congiunta h e.
è paſſi oltre fin che la cada in a d. prolongata, nel punto g. ma alla linea a d. cada f h.
ad angoli dritti, & ſia prolongata a h. che ſia eguale alla c e. & ſia congiunta g h. alla
quale ſia parallela a i. ſi che lo angolo k a i. ſia eguale allo angolo f g h. per lo prece
dente aſſonto. Sia tirata una linea dritta g i k. che tagli a i. in i. & d a. nella parte
a. prolongata ſopra k. di modo, che i k. ſia eguale ad a h. & congiunta k b. ſia tira
ta fin che cada ſopra la d c. prolongata in l. dico, che ſi come ſi ha a b. ad a k. coſi
a k. ad l c. & l c. à c b. perche c d. è tagliata in due parti in e. & a queſta ſi ap
pone k a. adunque per la ſeſta del ſecondo de gli elementi quello, che è ſotto d k a. con
quello, che ſi fa della a f. è eguale a quello, che ſi fa della f k. Appongaſi il commune,
che è tra f h. adunque quello, che è ſotto d K a. con quello che ſi fa di a f. & di f h.
cioè con quello, che ſi fa di a g. è eguale a quello, che ſi fa di K f. & di f h. cioè a quello
che è di k h. Et perche ſi come ſi ha l c. à c d. coſi ſia l b. à b K. & come l b. à
b k. coſi ſi ha d a. ad a k. adunque ſi come ſi ha l c. à c d. coſi ſi ha d a. ad a k.
Ma della c d. è la metà la c e. & la a g. è doppia alla d a. perche per la quarta del ſe
ſto, ſi come ſi ha a b. à d e. coſi ſi ha g a. ad a d. per quello che ſi è ſuppoſto la b a.
è doppia à d e. adunque la g a. è doppia alla a d. ſarà adunque, che ſi come l c. ſi ha
alla c e. coſi g a. alla a k. per la eguale, & permutata proportione, per la uenteſima
terza del quinto de gli elementi. Ma come g a. ad a k. coſi & h i. ad i k. per la ſe
conda del ſeſto de gli elementi. Perche per la ſuppoſitione g h. & a i. ſono parallele. Et
componendo per la decima ottaua del quinto, ſegue, che ſi come ſi ha. La l e. alla c e. coſi
la h k. alla k i. ma egli è ſtata poſta eguale la i k. alla c e. perche la i k. è egua
le alla a h. & la a h. alla c e. adunque la e l. è eguale alla h K. conſeguentemente
è eguale quello, che naſce da l e. con quello che ſi fa di h K. & quello che ſi fa di l e. è
eguale a quello, che ſi fa ſotto d l c. con quello, che ſi fa di c e. per la ſeſta del ſecondo de
gli elementi. Ma a quello, che ſi fa di h K. egli è ſtato dimostrato eſſer eguale, quello, che ſi
fa ſotto d k a. con quello, che ſi fa di a h. delle quali quello, che è di c e. è eguale a