384322NOUVEAU COURS
paralleles chacun à chacun, &
un côté commun E B:
donc
F B = C E, ou E D = a. Cela poſé, les triangles ſemblables
EBF, E K L nous donnent E B : B F : : E K : K L, ou a : b : : x :
{bx/a} = K L : donc L H = K L - K H = {bx/a}-y, & HM=KM,
ou KL + KH = {bx/a} + y; mais par la propriété des aſymptotes,
H M x H L = F B2 : donc √{bx/a}+y\x{0020} x √{bx/a}-y\x{0020}=bb, ou {bbxx/aa}
-yy=bb, d’où l’on tire yy = {bbxx/aa}-bb={bbxx/aa} - {aabb/aa},
ou aayy=bbxx-aabb; ce qui donne cette proportion
xx - aa : yy : : aa : bb, ou A K x K B : K H2 : : A B2 : C D2.
C. Q. F. D.
F B = C E, ou E D = a. Cela poſé, les triangles ſemblables
EBF, E K L nous donnent E B : B F : : E K : K L, ou a : b : : x :
{bx/a} = K L : donc L H = K L - K H = {bx/a}-y, & HM=KM,
ou KL + KH = {bx/a} + y; mais par la propriété des aſymptotes,
H M x H L = F B2 : donc √{bx/a}+y\x{0020} x √{bx/a}-y\x{0020}=bb, ou {bbxx/aa}
-yy=bb, d’où l’on tire yy = {bbxx/aa}-bb={bbxx/aa} - {aabb/aa},
ou aayy=bbxx-aabb; ce qui donne cette proportion
xx - aa : yy : : aa : bb, ou A K x K B : K H2 : : A B2 : C D2.
C. Q. F. D.
Corollaire.
692.
Il ſuit delà que ce que l’on a démontré dans la pre-
miere propoſition à l’égard des deux axes d’une hyperbole,
s’étend par celle-ci à deux diametres conjugués quelconques
A B & C D, auſſi bien que toutes les autres propriétés que l’on
a démontrées d’une hyperbole avec ſes aſymptotes: car pour
s’en convaincre, il ne faut que relire les articles précédens,
& mettre diametre partout où il y aura le mot d’axe; car tout
ſubſiſtera également, ſoit que l’angle E B F ſoit droit ou non.
miere propoſition à l’égard des deux axes d’une hyperbole,
s’étend par celle-ci à deux diametres conjugués quelconques
A B & C D, auſſi bien que toutes les autres propriétés que l’on
a démontrées d’une hyperbole avec ſes aſymptotes: car pour
s’en convaincre, il ne faut que relire les articles précédens,
& mettre diametre partout où il y aura le mot d’axe; car tout
ſubſiſtera également, ſoit que l’angle E B F ſoit droit ou non.
PROPOSITION VII.
Théoreme.
693.
Si l’on coupe un cône droit A B C par un plan parallele à
11Figure 172. l’axe B Q, je dis que la courbe F H D K G ſera une hyperbole.
11Figure 172. l’axe B Q, je dis que la courbe F H D K G ſera une hyperbole.
Ayant prolongé le côté C B du cône juſqu’en P, enſorte
que B P ſoit égal à B D, la ligne P D ſera le premier axe de
l’hyperbole, & la ligne B N tirée du point B perpendiculaire
au milieu de la ligne P D, ſera la moitié du ſecond axe; en-
ſorte que ſi l’on fait N O = B N, O B ſera le ſecond axe.
Ayant nommé les données N P ou N D, a; N O ou N B, b;
les indéterminées N I, x; I K ou I H, y, D I ſera x - a, & P I
ſera x + a; & nous allons ſaire voir que l’on a xx - aa : yy
: : 4aa : 4bb, ou P I x I D : IK2 : : P D2 : B O2.
que B P ſoit égal à B D, la ligne P D ſera le premier axe de
l’hyperbole, & la ligne B N tirée du point B perpendiculaire
au milieu de la ligne P D, ſera la moitié du ſecond axe; en-
ſorte que ſi l’on fait N O = B N, O B ſera le ſecond axe.
Ayant nommé les données N P ou N D, a; N O ou N B, b;
les indéterminées N I, x; I K ou I H, y, D I ſera x - a, & P I
ſera x + a; & nous allons ſaire voir que l’on a xx - aa : yy
: : 4aa : 4bb, ou P I x I D : IK2 : : P D2 : B O2.
Demonstration.
Les triangles ſemblables PNB, PIM donnent PN:
NB:
:PI:
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