393377LIBER TERTIVS.
rectam E ε, transferatur uſque ad punctum ρ, erit ρ, centrum horologij.
Nam axis μ F, ſi vnà
cum triangulo E θ λ, circa rectam E θ, in plano horologij horizontalis exiſtentem circumuol-
uatur, donec cum Meridiano coniungatur, propriumq́ue ſitum adipiſcatur, in eo puncto oc-
curret plano propoſito, vt ex demonſtratis patet. Non difficile autem erit intelligere, an axis
11An cẽrrum he
rologii ſit infra
rectam A B, ſu
mendum, an
ſupra, quo mo-
do cognoſea-
tur. plano inclinato occurrat infra rectam A B, an ſupra. Si enim axis μ F, per F, productus ſecet
rectam E λ, vel ipſam productam ad partes λ, vt in prima, quarta, quinta, & ſexta figuris con-
tingit, erit centrum ρ, infra rectam A B, quia recta E λ, cadit in rectam E ε, infra rectam A B, cum
punctum λ, in punctum ε, cadat, vt dictum eſt: Si verò axis μ F, ad partes μ, productus ſecet re-
ctam E λ, per E, productam, vt in ſecunda figura cernitur, erit centrum ρ, ſupra rectam A B, quòd
recta E λ, per E, protracta cadat in rectam E ε, per E, protractam, vt ex dictis conſtat, quandoqui-
2210 dem punctum λ, in punctum ε, cadit. Quod ſi axis F μ, nullo modo rectam E λ, ſecet æquidiſta-
bit planũ inclinatum axi F μ, ac proinde horologium in eo deſcriptum centrum non habebit, ſed
omnes lineæ horariæ in eo parallelæ erunt, ut conſtat ex coroll. propoſ. 22. primi libri.
cum triangulo E θ λ, circa rectam E θ, in plano horologij horizontalis exiſtentem circumuol-
uatur, donec cum Meridiano coniungatur, propriumq́ue ſitum adipiſcatur, in eo puncto oc-
curret plano propoſito, vt ex demonſtratis patet. Non difficile autem erit intelligere, an axis
11An cẽrrum he
rologii ſit infra
rectam A B, ſu
mendum, an
ſupra, quo mo-
do cognoſea-
tur. plano inclinato occurrat infra rectam A B, an ſupra. Si enim axis μ F, per F, productus ſecet
rectam E λ, vel ipſam productam ad partes λ, vt in prima, quarta, quinta, & ſexta figuris con-
tingit, erit centrum ρ, infra rectam A B, quia recta E λ, cadit in rectam E ε, infra rectam A B, cum
punctum λ, in punctum ε, cadat, vt dictum eſt: Si verò axis μ F, ad partes μ, productus ſecet re-
ctam E λ, per E, productam, vt in ſecunda figura cernitur, erit centrum ρ, ſupra rectam A B, quòd
recta E λ, per E, protracta cadat in rectam E ε, per E, protractam, vt ex dictis conſtat, quandoqui-
2210 dem punctum λ, in punctum ε, cadit. Quod ſi axis F μ, nullo modo rectam E λ, ſecet æquidiſta-
bit planũ inclinatum axi F μ, ac proinde horologium in eo deſcriptum centrum non habebit, ſed
omnes lineæ horariæ in eo parallelæ erunt, ut conſtat ex coroll. propoſ. 22. primi libri.
QVONIAM autem linea indicis, in qua uidelicet ſtylus affigendus eſt, talis eſſe debet, ut
ſtylus, uel alia linea ex quocunque eius puncto ad planũ horologij perpendicularis ducta in axem
mundi cadat, ita ut planum per illam perpendicularẽ, & axem mundi ductum rectũ ſit ad planũ
3318. vndec. horologij, inſtar proprii cuiuſdã Meridiani ipſius plani horologij, ut propoſ. 1. huius libri oſtendi
mus; demonſtrabimus talem eſſe rectam χ d, hac ratione. Si triangulum rectangulũ E φ χ, circa
rectam E χ, moueatur, donec rectum ſit ad planum inclinatum, in planis quidem auſtrum reſpi-
cientibus, ſurſum uerſus, in planis autem boream reſpicientibus deorſum uerſus, erit per defi-
4420 nitionem 4. lib. 11. Euclidis, recta A E, in plano inclinato exiſtens, quæ perpendicularis eſt ad
E χ, cõmunem ſectionem plani inclinati & trianguli E φ χ, eam poſitionem habentis, perpen-
dicularis ad triangulum E φ χ, atque adeo & ad rectam E φ, ex defin. 3. eiuſdem libri. Quia ergo
utraque linea E χ, E φ, perpendicularis eſt ad rectam A E, erit angulus φ E χ, angulus inclinatio-
nis plani propoſiti ad planum per rectas A E, E φ, ductum, ex defin. 6. lib. 11. Eucl. cum A E,
communis ſectio ſit propoſiti plani, & eius, quod per rectas A E, E φ, ducitur. Cum igitur angulus
φ E χ, ſit æqualis complemento inclinationis plani propoſiti ad Horizontem (nam angulus
B E φ, uel A E φ, ſumptus eſt æqualis inclinationi plani ad Horizontẽ) hoc eſt, æqualis inclinatio-
nis plani ad Verticalem illum circulum, qui per rectam A B, ducitur, erit planum per rectas A E,
E φ, ductum idem, quod Verticalis illius circuli planum; ac propterea recta E φ, in Verticali illo
5530 circulo exiſtet. Et quoniam recta E φ, ſumpta eſt æqualis rectæ E C, & recta E F, rectæ E β, tran-
ſibit axis mundi F μ, occurrens plano horizontalis horologij in F, per punctum φ, in dicto illo
circulo Verticali; quia hac ratione axis F μ, conſtituet cum meridiana linea horologij horizon-
talis E F, in F, angulum altitudinis poli ſupra Horizontem uerſus partes boreales, cum recta uero
E φ, per quam dictus ille Verticalis, immo & Verticalis propriè dictus ducitur, angulum comple
mẽti altitudinis poli ſupra Horizontẽ, adeo ut axis F μ, cõſtituat triangulum cum rectis E F, E φ,
rectangulum in plano Meridiani circuli, & omnino æquale, & ſimile triangulo E β C, quia non
ſolum E F, ſed et E φ, in illo ſitu in Meridiani plano exiſtit, angulusq́ue F E φ, rectus eſt: quod
ita oſtendemus. Quoniã Verticalis ille circulus per rectas A B, E φ, ductus, rectus eſt ad horizon-
talis horologii planũ, erit per defin. 4. lib. 11. Eucl. recta E φ, in illo Verticali exiſtens, quæ oſtenſa
6640 eſt perpendicularis ad A E, cõmunem ſectionẽ dicti Verticalis, & plani horologij horizõtalis, ad
planum horlogij horizontalis perpendicularis; ac proinde, per defin. 3. lib. 11. Eucl. & ad rectã
E F, in plano horologij horizontalis exiſtentẽ. Rectus ergo eſt angulus F E φ. Ex quo fit, rectam
E φ, in plano Meridiani exiſtere: alioquin cum & perpendicularis ex E, ad E F, cõmunem ſectio-
nem plani horologii horizontalis, ac Meridiani ducta in plano Meridiani ſit ad horologij hori-
zontalis planum perpendicularis, ex defin. 4. lib. 11. Eucl. ducerentur ex eodem puncto E, ad
idem planum horologij horizontalis duæ perpendiculares; quod fieri non poteſt. Cauſa autem,
7713. vndec. propter quam triangulum E φ χ, moueri debeat ſurſum uerſus in planis auſtrum reſpicientibus
deorſum verò uerſus in ijs, quæ in boream ſpectant, ſi tamen in illis triangulum E φ χ, ſupra
rectam A B, in his autem infra eandem, vt præcepimus, conſtruatur, hæc eſt: quoniam nimirum
in illis axis mundi F μ, per punctum F, in plano horologij horizontalis tranſiens occurrit Verti-
8850 cali illi circulo per rectam A B, ducto, ſupra rectam A B, in his uero infra rectam A B, poſtquam
iam plano inclinato occurrit, ut perſpicuum eſt, ſi plana inclinata, planum horologij horizonta-
lis, dictus Verticalis, & axis mundi F μ, in proprijs poſitionibus cõcipiantur. Rurſus ſi triangu-
lum rectangulum ψ d ω, circa rectam ψ d, ſurſum uerſus moueatur, donec rectum ſit ad planũ
inclinatum, erit per defin. 4. lib. 11. Eucl. recta A ψ, in plano inclinato exiſtens, rectoſq́ue angu-
los faciens cum ψ d, communi ſectione trianguli ψ d ω, & plani inclinati, perpendicularis ad
triangulum ψ d ω, atque adeo per defin. 3. eiuſdem libri, & ad rectam ψ ω. Quia uero utraque
recta ψ ω, ψ d, perpendicularis eſt ad rectam A ψ, erit per defin. 6. eiuſdem libri, ω ψ d, angu-
lus inclinationis plani propoſiti ad planum per rectas A ψ, ψ ω, ductũ, cum A ψ, ſit communis
ſectio propoſiti plani, & eius, quod per rectas A ψ, ψ ω, ducitur. Cum ergo angulus ω ψ d,
ſtylus, uel alia linea ex quocunque eius puncto ad planũ horologij perpendicularis ducta in axem
mundi cadat, ita ut planum per illam perpendicularẽ, & axem mundi ductum rectũ ſit ad planũ
3318. vndec. horologij, inſtar proprii cuiuſdã Meridiani ipſius plani horologij, ut propoſ. 1. huius libri oſtendi
mus; demonſtrabimus talem eſſe rectam χ d, hac ratione. Si triangulum rectangulũ E φ χ, circa
rectam E χ, moueatur, donec rectum ſit ad planum inclinatum, in planis quidem auſtrum reſpi-
cientibus, ſurſum uerſus, in planis autem boream reſpicientibus deorſum uerſus, erit per defi-
4420 nitionem 4. lib. 11. Euclidis, recta A E, in plano inclinato exiſtens, quæ perpendicularis eſt ad
E χ, cõmunem ſectionem plani inclinati & trianguli E φ χ, eam poſitionem habentis, perpen-
dicularis ad triangulum E φ χ, atque adeo & ad rectam E φ, ex defin. 3. eiuſdem libri. Quia ergo
utraque linea E χ, E φ, perpendicularis eſt ad rectam A E, erit angulus φ E χ, angulus inclinatio-
nis plani propoſiti ad planum per rectas A E, E φ, ductum, ex defin. 6. lib. 11. Eucl. cum A E,
communis ſectio ſit propoſiti plani, & eius, quod per rectas A E, E φ, ducitur. Cum igitur angulus
φ E χ, ſit æqualis complemento inclinationis plani propoſiti ad Horizontem (nam angulus
B E φ, uel A E φ, ſumptus eſt æqualis inclinationi plani ad Horizontẽ) hoc eſt, æqualis inclinatio-
nis plani ad Verticalem illum circulum, qui per rectam A B, ducitur, erit planum per rectas A E,
E φ, ductum idem, quod Verticalis illius circuli planum; ac propterea recta E φ, in Verticali illo
5530 circulo exiſtet. Et quoniam recta E φ, ſumpta eſt æqualis rectæ E C, & recta E F, rectæ E β, tran-
ſibit axis mundi F μ, occurrens plano horizontalis horologij in F, per punctum φ, in dicto illo
circulo Verticali; quia hac ratione axis F μ, conſtituet cum meridiana linea horologij horizon-
talis E F, in F, angulum altitudinis poli ſupra Horizontem uerſus partes boreales, cum recta uero
E φ, per quam dictus ille Verticalis, immo & Verticalis propriè dictus ducitur, angulum comple
mẽti altitudinis poli ſupra Horizontẽ, adeo ut axis F μ, cõſtituat triangulum cum rectis E F, E φ,
rectangulum in plano Meridiani circuli, & omnino æquale, & ſimile triangulo E β C, quia non
ſolum E F, ſed et E φ, in illo ſitu in Meridiani plano exiſtit, angulusq́ue F E φ, rectus eſt: quod
ita oſtendemus. Quoniã Verticalis ille circulus per rectas A B, E φ, ductus, rectus eſt ad horizon-
talis horologii planũ, erit per defin. 4. lib. 11. Eucl. recta E φ, in illo Verticali exiſtens, quæ oſtenſa
6640 eſt perpendicularis ad A E, cõmunem ſectionẽ dicti Verticalis, & plani horologij horizõtalis, ad
planum horlogij horizontalis perpendicularis; ac proinde, per defin. 3. lib. 11. Eucl. & ad rectã
E F, in plano horologij horizontalis exiſtentẽ. Rectus ergo eſt angulus F E φ. Ex quo fit, rectam
E φ, in plano Meridiani exiſtere: alioquin cum & perpendicularis ex E, ad E F, cõmunem ſectio-
nem plani horologii horizontalis, ac Meridiani ducta in plano Meridiani ſit ad horologij hori-
zontalis planum perpendicularis, ex defin. 4. lib. 11. Eucl. ducerentur ex eodem puncto E, ad
idem planum horologij horizontalis duæ perpendiculares; quod fieri non poteſt. Cauſa autem,
7713. vndec. propter quam triangulum E φ χ, moueri debeat ſurſum uerſus in planis auſtrum reſpicientibus
deorſum verò uerſus in ijs, quæ in boream ſpectant, ſi tamen in illis triangulum E φ χ, ſupra
rectam A B, in his autem infra eandem, vt præcepimus, conſtruatur, hæc eſt: quoniam nimirum
in illis axis mundi F μ, per punctum F, in plano horologij horizontalis tranſiens occurrit Verti-
8850 cali illi circulo per rectam A B, ducto, ſupra rectam A B, in his uero infra rectam A B, poſtquam
iam plano inclinato occurrit, ut perſpicuum eſt, ſi plana inclinata, planum horologij horizonta-
lis, dictus Verticalis, & axis mundi F μ, in proprijs poſitionibus cõcipiantur. Rurſus ſi triangu-
lum rectangulum ψ d ω, circa rectam ψ d, ſurſum uerſus moueatur, donec rectum ſit ad planũ
inclinatum, erit per defin. 4. lib. 11. Eucl. recta A ψ, in plano inclinato exiſtens, rectoſq́ue angu-
los faciens cum ψ d, communi ſectione trianguli ψ d ω, & plani inclinati, perpendicularis ad
triangulum ψ d ω, atque adeo per defin. 3. eiuſdem libri, & ad rectam ψ ω. Quia uero utraque
recta ψ ω, ψ d, perpendicularis eſt ad rectam A ψ, erit per defin. 6. eiuſdem libri, ω ψ d, angu-
lus inclinationis plani propoſiti ad planum per rectas A ψ, ψ ω, ductũ, cum A ψ, ſit communis
ſectio propoſiti plani, & eius, quod per rectas A ψ, ψ ω, ducitur. Cum ergo angulus ω ψ d,