395383
25. huius.
IN triangulo ſphærico ABC, ſint primum ſingula latera quadrante ma-
iora. Dico tres angulos A, B, C, eſſe obtuſos. Aut enim triangulum æquila-
terum eſt, aut Iſoſceles, aut Scalenum.
iora. Dico tres angulos A, B, C, eſſe obtuſos. Aut enim triangulum æquila-
terum eſt, aut Iſoſceles, aut Scalenum.
SI æquilaterum, perſpicuum eſt, tres angulos eſſe obtuſos.
11Corollar. 25. huius.
SI vero eſt Iſoſceles, habens duo latera AB,
234[Figure 234]2225. huius.
AC, æqualia, erunt duo anguli B, C, ad baſim ob-
3320. 1. Theod. tuſi. Sint quadrantes BD, BE, & per puncta
D, E, arcus circuli maximi ducatur ED, conue-
nienscum arcu CA, protracto in F. Quoniam igi-
tur BD, BE, quadrantes ſunt, & angulus B, oſten
4426. huius ſus eſt obtuſus, erit DE, arcus quadrante maior,
5525. huius.& anguli BDE, BED, recti: Ponitur autem &
arcus AC, quadrante maior. Igitur arcus DE,
AC, ſimul ſemicirculo maiores ſunt; ac propte-
rea arcus FD, FA, ſimul minores ſemicirculo, cum
arcus FE, FC, integro circulo ſimul ſint mino-
res; cum vterque arcus minor ſit ſemicirculo. An-
662. huius. gulus igitur FDB, maior eſt angulo FAD: Eſt autem angulus FDB, rectus;
7714. huius. quòd anguli FDB, BDE, duobus rectis æquales ſint, & BDE, rectus oſten-
885 huius. ſus. Ergo FAD, acutus eſt; ac proinde, cum FAD, DAC, æquales ſint duo-
995. huius. bus rectis, angulus BAC, obtuſus erit: oſtenſi ſunt autem & anguli B, C,
obtuſi. Omnes ergo tres anguli A, B, C, obtuſi ſunt.
3320. 1. Theod. tuſi. Sint quadrantes BD, BE, & per puncta
D, E, arcus circuli maximi ducatur ED, conue-
nienscum arcu CA, protracto in F. Quoniam igi-
tur BD, BE, quadrantes ſunt, & angulus B, oſten
4426. huius ſus eſt obtuſus, erit DE, arcus quadrante maior,
5525. huius.& anguli BDE, BED, recti: Ponitur autem &
arcus AC, quadrante maior. Igitur arcus DE,
AC, ſimul ſemicirculo maiores ſunt; ac propte-
rea arcus FD, FA, ſimul minores ſemicirculo, cum
arcus FE, FC, integro circulo ſimul ſint mino-
res; cum vterque arcus minor ſit ſemicirculo. An-
662. huius. gulus igitur FDB, maior eſt angulo FAD: Eſt autem angulus FDB, rectus;
7714. huius. quòd anguli FDB, BDE, duobus rectis æquales ſint, & BDE, rectus oſten-
885 huius. ſus. Ergo FAD, acutus eſt; ac proinde, cum FAD, DAC, æquales ſint duo-
995. huius. bus rectis, angulus BAC, obtuſus erit: oſtenſi ſunt autem & anguli B, C,
obtuſi. Omnes ergo tres anguli A, B, C, obtuſi ſunt.
SI denique triangulum ABC, eſt Scalenum, ſit latus AC, latere AB,
maius, & abſcindatur arcus AD, arcui AB, æqualis; eritq́ue adhuc arcus AD,
quadrante maior, quòd & arcus AB, cui æqualis eſt, maior ponatur quadran
10101. huius. te. Si igitur per puncta B, D, ducatur arcus BD, circuli maximi, erit vterq;
111120. 1 Theod. angulus ADB, ABD, obtuſus. Multo ergo ma-
121225. huius.
235[Figure 235]
gis obtuſus erit angulus ABC.
Sint quadrantes
BE, BF, & per puncta E, F, ducatur arcus EF,
131320. 1 Theod. circuli maximi, coiens cum arcu CA, producto in
G. Quoniã igitur BE, BF, quadrantes ſunt, erunt
anguli ad E, & F, recti; & cum angulus EBF, oſten
141425. huius. ſus ſit obtuſus, erit arcus EF, quadrante maior:
151526. huius. Ponitur autem & arcus AC, quadrante maior.
Igitur arcus EF, AC, ſimul ſemicirculo ſunt ma-
iores; & idcirco multo magis FG, CG, maiores
erũt ſemicirculo. Angulus ergo BFG, quem oſten
dimus eſſe rectum, min or eſt angulo BCG; ac pro-
161614. huius. pterea angulus C, obtuſus erit. Et quoniam arcus
FG, CG, ſimul integro ſunt circulo minores;
quòd vterque ſemicirculo min or ſit; & EF, AC,
17172. huius. ſimul ſemicirculo maiores; eruntarcus GE, GA, ſimul ſemicirculo mino-
res; ac proinde angulus GEB, maior erit angulo GAB. Cum ergo angu-
181814. huius. lus GEB, rectus ſit, quòd duo anguli ad E, duobus ſint rectis æquales, & an-
19195. huius. gulus BEF, oſtenſus ſit rectus; erit angulus GAB, acutus. Quapropter cum
GAB, BAC, ęquales ſint duobus rectis, erit BAC, obtuſus. Suntautem duo
20205. huius. etiam anguli ABC, & C, oſtenſi obtuſi. Tres ergo anguli A, B, C, trianguli
ABC, obtuſi ſunt. Quod eſt propoſitum.
maius, & abſcindatur arcus AD, arcui AB, æqualis; eritq́ue adhuc arcus AD,
quadrante maior, quòd & arcus AB, cui æqualis eſt, maior ponatur quadran
10101. huius. te. Si igitur per puncta B, D, ducatur arcus BD, circuli maximi, erit vterq;
111120. 1 Theod. angulus ADB, ABD, obtuſus. Multo ergo ma-
121225. huius.
BE, BF, & per puncta E, F, ducatur arcus EF,
131320. 1 Theod. circuli maximi, coiens cum arcu CA, producto in
G. Quoniã igitur BE, BF, quadrantes ſunt, erunt
anguli ad E, & F, recti; & cum angulus EBF, oſten
141425. huius. ſus ſit obtuſus, erit arcus EF, quadrante maior:
151526. huius. Ponitur autem & arcus AC, quadrante maior.
Igitur arcus EF, AC, ſimul ſemicirculo ſunt ma-
iores; & idcirco multo magis FG, CG, maiores
erũt ſemicirculo. Angulus ergo BFG, quem oſten
dimus eſſe rectum, min or eſt angulo BCG; ac pro-
161614. huius. pterea angulus C, obtuſus erit. Et quoniam arcus
FG, CG, ſimul integro ſunt circulo minores;
quòd vterque ſemicirculo min or ſit; & EF, AC,
17172. huius. ſimul ſemicirculo maiores; eruntarcus GE, GA, ſimul ſemicirculo mino-
res; ac proinde angulus GEB, maior erit angulo GAB. Cum ergo angu-
181814. huius. lus GEB, rectus ſit, quòd duo anguli ad E, duobus ſint rectis æquales, & an-
19195. huius. gulus BEF, oſtenſus ſit rectus; erit angulus GAB, acutus. Quapropter cum
GAB, BAC, ęquales ſint duobus rectis, erit BAC, obtuſus. Suntautem duo
20205. huius. etiam anguli ABC, & C, oſtenſi obtuſi. Tres ergo anguli A, B, C, trianguli
ABC, obtuſi ſunt. Quod eſt propoſitum.