396384
SINT iam in eodem triangulo ABC, duo arcus AB, AC, quadrante
quidem maiores, at BC, quadrans. Autigitur arcus AB, AC, æquales ſunt,
aut inæquales. Si æquales, erunt duo anguli B, C, obtuſi. Sit quadrans BD,
236[Figure 236]1125. huius.&
per puncta C, D, arcus CD, maximi circuli du-
2220. 1 Theod. catur conueniens cum arcu CA, protracto in E.
Quia igitur arcus BC, BD, quadrantes ſunt, erũt
anguli D, & BCD, recti; & arcus CD, propter
3325. huius angulum B, quem obtuſum eſſe oſtendimus, qua-
drante maior: Ponitur autem & arcus AC, qua-
4426. huius. drante maior. Igitur arcus CD, CA, ſimul ma-
iores ſunt ſemicirculo; ac propterea, cum arcus
CDE, CAE, circulum conficiant, (quòd vter-
que ſemicirculus ſit.) erunt arcus ED, EA, ſemi-
5511. 1. Theod circulo minores. Quare angulus EDB, qui rectus
eſt, (quòd duo anguli ad D, æquales ſint duobus
665. huius. rectis, & angulus BDC, oſtenſus ſit rectus.) maior
erit angulo EAD; atque adeo EAD, acutus erit.
7714. huius. Cum ergo anguli EAD, DAC, duobus rectis ſint
885. huius. æquales, erit BAC, obtuſus. Sunt etiam anguli B, C, demonſtrati obtuſi.
Tres igitur anguli A, B, C, trianguli ABC, obtuſi ſunt.
quidem maiores, at BC, quadrans. Autigitur arcus AB, AC, æquales ſunt,
aut inæquales. Si æquales, erunt duo anguli B, C, obtuſi. Sit quadrans BD,
2220. 1 Theod. catur conueniens cum arcu CA, protracto in E.
Quia igitur arcus BC, BD, quadrantes ſunt, erũt
anguli D, & BCD, recti; & arcus CD, propter
3325. huius angulum B, quem obtuſum eſſe oſtendimus, qua-
drante maior: Ponitur autem & arcus AC, qua-
4426. huius. drante maior. Igitur arcus CD, CA, ſimul ma-
iores ſunt ſemicirculo; ac propterea, cum arcus
CDE, CAE, circulum conficiant, (quòd vter-
que ſemicirculus ſit.) erunt arcus ED, EA, ſemi-
5511. 1. Theod circulo minores. Quare angulus EDB, qui rectus
eſt, (quòd duo anguli ad D, æquales ſint duobus
665. huius. rectis, & angulus BDC, oſtenſus ſit rectus.) maior
erit angulo EAD; atque adeo EAD, acutus erit.
7714. huius. Cum ergo anguli EAD, DAC, duobus rectis ſint
885. huius. æquales, erit BAC, obtuſus. Sunt etiam anguli B, C, demonſtrati obtuſi.
Tres igitur anguli A, B, C, trianguli ABC, obtuſi ſunt.
SI verò AB, AC, latera, quæ quadrante maiora ſunt, non ſunt æqualia,
ſit maius AC; & abſcindatur arcus AD, æqualis arcui AB; & per puncta B,
991. huius. D, tranſeat arcus BD, circuli maximi: eritq́ue adhuc arcus AD, maior qua-
237[Figure 237]101020. 1 Theod.
drante, cum ei æqualis AB, maior etiam ponatur-
Anguli igitur ADB, ABD, obtuſi ſunt. Multo
111125. huius. ergo magis obtuſus erit angulus ABC. Sit qua-
drans BE, & per puncta C, E, tranſeat arcus CE,
121220. 1 Theod. circuli maximi occurrens arcui CA, producto in
F. Quoniam igitur quadrantes ſunt BE, BC, &
angulus EBC, oſtẽſus eſt obtuſus, erit arcus EC,
131326. huius. maior quadrãte, ſed anguli E, & BCE, recti erunt.
141425. huius. Angulus ergo ACB, obtuſus erit. Et quoniam
arcus CE, oſtenſus eſt quadrante maior, & arcus
AC, maior etiam ponitur, quam quadrans; erunt
arcus CE, CA, ſimul ſemicirculo maiores. Cũ ergo
arcus CEF, CAF, integro circulo æquales ſint,
151521. 1. Theod. quòd vterque ſit ſemicirculus, erũt arcus FE, FA,
ſimul ſemicirculo minores. Quamobrem angulus
FEB, quirectus eſt, (ſunt enim duo anguli ad E, duobus rectis æquales, &
16165. huius. angulus BEC, oſtenſus eſt rectus.) maior erit angulo FAE. Acutus ergo eſt
171714. huius. angulus FAE; ac propterea, cum duo anguli ad A, ſint æquales duobus rectis,
18185. huius. angulus BAc, obtuſus erit. Sunt autem etiam oſtenſi obtuſi anguli ABC,
ACB. Tres igitur anguli in triangulo ABC, obtuſi ſunt. In omni ergo trian
gulo ſphærico, cuius omnes arcus, & c. Quod erat demonſtrandum.
ſit maius AC; & abſcindatur arcus AD, æqualis arcui AB; & per puncta B,
991. huius. D, tranſeat arcus BD, circuli maximi: eritq́ue adhuc arcus AD, maior qua-
Anguli igitur ADB, ABD, obtuſi ſunt. Multo
111125. huius. ergo magis obtuſus erit angulus ABC. Sit qua-
drans BE, & per puncta C, E, tranſeat arcus CE,
121220. 1 Theod. circuli maximi occurrens arcui CA, producto in
F. Quoniam igitur quadrantes ſunt BE, BC, &
angulus EBC, oſtẽſus eſt obtuſus, erit arcus EC,
131326. huius. maior quadrãte, ſed anguli E, & BCE, recti erunt.
141425. huius. Angulus ergo ACB, obtuſus erit. Et quoniam
arcus CE, oſtenſus eſt quadrante maior, & arcus
AC, maior etiam ponitur, quam quadrans; erunt
arcus CE, CA, ſimul ſemicirculo maiores. Cũ ergo
arcus CEF, CAF, integro circulo æquales ſint,
151521. 1. Theod. quòd vterque ſit ſemicirculus, erũt arcus FE, FA,
ſimul ſemicirculo minores. Quamobrem angulus
FEB, quirectus eſt, (ſunt enim duo anguli ad E, duobus rectis æquales, &
16165. huius. angulus BEC, oſtenſus eſt rectus.) maior erit angulo FAE. Acutus ergo eſt
171714. huius. angulus FAE; ac propterea, cum duo anguli ad A, ſint æquales duobus rectis,
18185. huius. angulus BAc, obtuſus erit. Sunt autem etiam oſtenſi obtuſi anguli ABC,
ACB. Tres igitur anguli in triangulo ABC, obtuſi ſunt. In omni ergo trian
gulo ſphærico, cuius omnes arcus, & c. Quod erat demonſtrandum.
SCHOLIVM.
_HAEC_ propoſitio non conuertitur.
Non enim omne triangulum ſphæricum, cu-
ius omnes anguli ſunt obtuſi, neceſſario habet omnes arcus quadrante maiores,
ius omnes anguli ſunt obtuſi, neceſſario habet omnes arcus quadrante maiores,