397335DE MATHÉMATIQUE. Liv. X.
Démonstration.
Ayant circonſcrit un cercle autour de ce triangle, on voit
que l’angle A ayant pour meſure la moitié de l’arc B D C, la
ligne B C ſera la corde d’un arc double de celui qui meſure
l’angle A: par conſéquent la moitié de la ligne B C ſera le
ſinus de l’angle A; & par la même raiſon le ſinus de l’angle
B ſera la moitié de la ligne A C, comme le ſinus de l’angle C
eſt à la moitié du côté A B; ainſi l’on aura {B C/2}: B C: : {A C/2}: A C,
ou bien {A C/2} : A C : : {A B/2} : A B. C. Q. F. D.
que l’angle A ayant pour meſure la moitié de l’arc B D C, la
ligne B C ſera la corde d’un arc double de celui qui meſure
l’angle A: par conſéquent la moitié de la ligne B C ſera le
ſinus de l’angle A; & par la même raiſon le ſinus de l’angle
B ſera la moitié de la ligne A C, comme le ſinus de l’angle C
eſt à la moitié du côté A B; ainſi l’on aura {B C/2}: B C: : {A C/2}: A C,
ou bien {A C/2} : A C : : {A B/2} : A B. C. Q. F. D.
PROPOSITION VII.
Theoreme.
720.
Dans un triangle obtus-angle, le ſinus de l’angle obtus
11Figure 184. eſt le même que celui de ſon ſupplément.
11Figure 184. eſt le même que celui de ſon ſupplément.
Ayant abaiſſé la perpendiculaire C D ſur la baſe prolongée
B D, & décrit les arcs F E & H G avec une même ouverture
de compas A F & B H, l’on abaiſſera les perpendiculaires F I
& H L. Cela poſé, comme A F eſt égal à B H, l’un & l’autre
ſera nommé a; A C, b; C D, c; F I, d; H L, e; C B, f; &
nous ferons voir que F I (d) : C B (f): : H L (e): A C (b).
B D, & décrit les arcs F E & H G avec une même ouverture
de compas A F & B H, l’on abaiſſera les perpendiculaires F I
& H L. Cela poſé, comme A F eſt égal à B H, l’un & l’autre
ſera nommé a; A C, b; C D, c; F I, d; H L, e; C B, f; &
nous ferons voir que F I (d) : C B (f): : H L (e): A C (b).
Demonstration.
Les triangles C A D &
F A I étant ſemblables, l’on aura
C D (c): C A (b): : F I (d): A F (a). Et comme les triangles
C B D & H B L ſont auſſi ſemblables, l’on aura encore C D (c):
H L (e): : C B (f): H B (a), d’où l’on tire ces deux équations
a c=b d, & a c=e f, dont les premiers membres étant égaux,
l’on aura par conſéquent b d=e f, d’où l’on tire F I (d):
C B (f): : H L (e): A C (b), qui fait voir que le ſinus H L
du ſupplément de l’angle A B C a même raiſon au côté A C,
que le ſinus F I au côté B C; & que par conſéquent le ſinus
d’un angle obtus eſt toujours celui de ſon ſupplément.
C. Q. F. D.
C D (c): C A (b): : F I (d): A F (a). Et comme les triangles
C B D & H B L ſont auſſi ſemblables, l’on aura encore C D (c):
H L (e): : C B (f): H B (a), d’où l’on tire ces deux équations
a c=b d, & a c=e f, dont les premiers membres étant égaux,
l’on aura par conſéquent b d=e f, d’où l’on tire F I (d):
C B (f): : H L (e): A C (b), qui fait voir que le ſinus H L
du ſupplément de l’angle A B C a même raiſon au côté A C,
que le ſinus F I au côté B C; & que par conſéquent le ſinus
d’un angle obtus eſt toujours celui de ſon ſupplément.
C. Q. F. D.
Ces deux théorêmes nous fourniſſent le moyen de connoître
les angles & les côtés de la plûpart des triangles qui ne ſont
pas rectangles, comme on le va voir dans les problêmes
ſuivans.
les angles & les côtés de la plûpart des triangles qui ne ſont
pas rectangles, comme on le va voir dans les problêmes
ſuivans.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib