401389
quadrans CG, &
arcus CB, producatur vſque ad H, vt &
CH, quadrans ſit,
deſcribaturq́ue per puncta G, H, arcus circuli maximi GH, ſecans arcum AB,
1120.1 Theod. in I; erit vterque angulus G, H, rectus. Cum ergo & angulus A, ponatur re-
2225. huius. ctus, erunt in triangulo AGI, duo anguli A, G, recti. Quare vterque arcus
AI, GI, quadrans eſt; atq́ue adeo arcus AB, quadrante maior. quod eſt con-
3325. huius. tra hypotheſim.
deſcribaturq́ue per puncta G, H, arcus circuli maximi GH, ſecans arcum AB,
1120.1 Theod. in I; erit vterque angulus G, H, rectus. Cum ergo & angulus A, ponatur re-
2225. huius. ctus, erunt in triangulo AGI, duo anguli A, G, recti. Quare vterque arcus
AI, GI, quadrans eſt; atq́ue adeo arcus AB, quadrante maior. quod eſt con-
3325. huius. tra hypotheſim.
POSSVMVS tamen aliter demonſtrare, angulum A, non poſſe eſſe
rectum, licet non abſcindatur quadrans CG, & c. Si enim angulus A, rectus
4426. huius. concedatur, erit arcus DE, quadrans. Cum ergo & EA, quadrans ſit, erit
5525. huius. vterque angulus A, D, rectus; & E, polus arcus AC, propterea quòd vter-
que arcus DE, AE, per polum arcus AD, tranſit, ob angulos rectos A,
6613. 1. Theod. D. Eodem modo D, polus erit arcus AB. Quoniam igitur punctum F, eſt
intra peripheriam circuli AB, & præter eius polum, duciturq́ue arcus FE,
per polum circuli AB, nempe per D, erit arcus FB, maior arcu FE. Ea-
dem ratione arcus FC, maior erit arcu FD, cum FD, ducatur per E, polum
circuli AC. Totus igiturarcus BC, quadrante DE, maior erit. quod eſt
77Schol. 21.
2. Theod. abſurdum, cum minor quadrante ponatur. Nullus ergo angulorum A, B,
C, rectus eſt. Quamobrem, In quolibet triangulo ſphærico, & c. Quod de-
monſtrandum erat.
rectum, licet non abſcindatur quadrans CG, & c. Si enim angulus A, rectus
4426. huius. concedatur, erit arcus DE, quadrans. Cum ergo & EA, quadrans ſit, erit
5525. huius. vterque angulus A, D, rectus; & E, polus arcus AC, propterea quòd vter-
que arcus DE, AE, per polum arcus AD, tranſit, ob angulos rectos A,
6613. 1. Theod. D. Eodem modo D, polus erit arcus AB. Quoniam igitur punctum F, eſt
intra peripheriam circuli AB, & præter eius polum, duciturq́ue arcus FE,
per polum circuli AB, nempe per D, erit arcus FB, maior arcu FE. Ea-
dem ratione arcus FC, maior erit arcu FD, cum FD, ducatur per E, polum
circuli AC. Totus igiturarcus BC, quadrante DE, maior erit. quod eſt
77Schol. 21.
2. Theod. abſurdum, cum minor quadrante ponatur. Nullus ergo angulorum A, B,
C, rectus eſt. Quamobrem, In quolibet triangulo ſphærico, & c. Quod de-
monſtrandum erat.
THEOR. 29. PROPOS. 31.
CVIVSCVNQVE trianguli ſphærici tres
anguli duobus quidem rectis ſunt maiores, ſex ve-
rò rectis minores.
anguli duobus quidem rectis ſunt maiores, ſex ve-
rò rectis minores.
SIT triangulum ſphæricum ABC.
Dico tres angulos A, B, C, maiores
quidem eſſe duobus rectis, minores verò ſex rectis. Si enim omnes tres angu-
lirecti ſint, vel obtuſi; vel duo tantũ recti, vel obtuſi; vel vnus tantum rectus,
& reliquorum alter obtuſus, perſpicuum eſt, omnes tres duobus eſſe rectis
maiores. In quolibet autem triangulo hæc erit demonſtratio. Producto late-
re BC, ad D, erit angulus ACD, vel æqualis, vel mi-
247[Figure 247]
nor, vel maior angulo B.
Sit primum æqualis.
Erunt
igitur arcus AB, AC, ſimul ſemicirculo æquales; atq;
8815. huius. adeò duo anguli ABC, ACB, duobus rectis æquales.
9916. huius. Tres ergo anguli A, B, C, duobus rectis maiores erũt.
Sit deinde angulus ACD, minor angulo B. Erunt
igitur arcus AB, AC, ſimul maiores ſemicirculo; ac
101015. huius. propterea duo anguli ABC, ACB, duobus rectis ma-
iores. Multo ergo magis tres anguli A, B, C, duobus
rectis maiores erũt. Sit denique angulus ACD, maior
angulo B, & fiat angulus DCE, angulo B, æqualis, occurratq́ue arcus CE,
111110. huius. arcui BA, producto in E: & tandem arcus CA, protrahatur ad F. Erunt igi-
tur arcus EB, EC, ſimul æquales ſemicirculo; ac propterea arcus EA, EC,
121215. huius. ſimul ſemicirculo minores. Angulus igitur EAF, hoc eſt, angulus
quidem eſſe duobus rectis, minores verò ſex rectis. Si enim omnes tres angu-
lirecti ſint, vel obtuſi; vel duo tantũ recti, vel obtuſi; vel vnus tantum rectus,
& reliquorum alter obtuſus, perſpicuum eſt, omnes tres duobus eſſe rectis
maiores. In quolibet autem triangulo hæc erit demonſtratio. Producto late-
re BC, ad D, erit angulus ACD, vel æqualis, vel mi-
igitur arcus AB, AC, ſimul ſemicirculo æquales; atq;
8815. huius. adeò duo anguli ABC, ACB, duobus rectis æquales.
9916. huius. Tres ergo anguli A, B, C, duobus rectis maiores erũt.
Sit deinde angulus ACD, minor angulo B. Erunt
igitur arcus AB, AC, ſimul maiores ſemicirculo; ac
101015. huius. propterea duo anguli ABC, ACB, duobus rectis ma-
iores. Multo ergo magis tres anguli A, B, C, duobus
rectis maiores erũt. Sit denique angulus ACD, maior
angulo B, & fiat angulus DCE, angulo B, æqualis, occurratq́ue arcus CE,
111110. huius. arcui BA, producto in E: & tandem arcus CA, protrahatur ad F. Erunt igi-
tur arcus EB, EC, ſimul æquales ſemicirculo; ac propterea arcus EA, EC,
121215. huius. ſimul ſemicirculo minores. Angulus igitur EAF, hoc eſt, angulus