409397
THEOR. 37. PROPOS. 39.
ANGVLI ſphærici eandem habẽt rationem,
quam eorum arcus.
quam eorum arcus.
SINT duo anguli ſphærici BAC, EDF, quorum arcus BC, EF.
Dico
ita eſſe angulum A, ad angulum D, vt eſt arcus BC, ad arcum EF. Erunt
11Defin. 6.
huius. enim A, D, poli arcuum BC, EF; & arcus AB, AC, DE, DF, quadrantes.
Productis igitur arcu-
258[Figure 258]
bus BC, EF, ſuman-
tur quotcunque arcus
BG, GH, arcui BC,
& quotcũq; arcus FI,
IK, KL, arcui EF,
æquales; ac per puncta
G, H, I, K, L, & po-
los A, D, arcus circu-
2220.1 Theod. lorum maximorũ du-
cantur AG, AH, DI,
DK, DL, qui omnes
quadrãtes erunt, nem-
pe quadrantibus AB,
3328. tertij. AC, DE, DF, æquales, propterea quòd & rectæ ſubtenſæ AG, AH, DI,
DK, DL, rectis ſubtenſis AB, AC, DE, DF, æquales ſunt, ex defin. poli.
Erunt ergo omnes anguli ad A, inter ſe æquales; atque adeò quam multiplex
4418. huius. eſt arcus CH, arcus BC, tam multiplex erit aggregatum omnium angulorũ
ad A, anguli BAC: Eademque ratione tam multiplex erit aggregatum om-
nium angulorum ad D, anguli EDF, quam multiplex eſt arcus EL, arcus
EF. Quoniam verò ſi arcus CH, arcui EL, æqualis fuerit, etiam angulus
HAC, angulo EDL, æqualis eſt; ſi autem arcus CH, maior ſuerit arcu EL,
5518. huius. etiam angulus HAC, angulo EDL, maior eſt; & ſi minor, minor; deficient
propterea vnà arcus CH, & angulus HAC, æquè multiplicia primæ magni-
6612. huius. tudinis BC, & tertiæ BAC, ab arcu EL, & angulo EDL, æque multiplici-
bus ſecundę magnitudinis EF, & quartæ EDF; vel vnà æqualia erunt, vel
vnà excedent. Quare quę proportio eſt arcus BC, primæ magnitudinis ad
77Defin. 6.
quinti. arcum EF, ſecundam magnitudinem, ea erit anguli BAC, tertiæ magnitu-
dinis ad angulum EDF, quartam magnitudinem. Itaque anguli ſphærici
eandem habent rationem, quam eorum arcus. Quod erat demouſtrandum.
ita eſſe angulum A, ad angulum D, vt eſt arcus BC, ad arcum EF. Erunt
11Defin. 6.
huius. enim A, D, poli arcuum BC, EF; & arcus AB, AC, DE, DF, quadrantes.
Productis igitur arcu-
tur quotcunque arcus
BG, GH, arcui BC,
& quotcũq; arcus FI,
IK, KL, arcui EF,
æquales; ac per puncta
G, H, I, K, L, & po-
los A, D, arcus circu-
2220.1 Theod. lorum maximorũ du-
cantur AG, AH, DI,
DK, DL, qui omnes
quadrãtes erunt, nem-
pe quadrantibus AB,
3328. tertij. AC, DE, DF, æquales, propterea quòd & rectæ ſubtenſæ AG, AH, DI,
DK, DL, rectis ſubtenſis AB, AC, DE, DF, æquales ſunt, ex defin. poli.
Erunt ergo omnes anguli ad A, inter ſe æquales; atque adeò quam multiplex
4418. huius. eſt arcus CH, arcus BC, tam multiplex erit aggregatum omnium angulorũ
ad A, anguli BAC: Eademque ratione tam multiplex erit aggregatum om-
nium angulorum ad D, anguli EDF, quam multiplex eſt arcus EL, arcus
EF. Quoniam verò ſi arcus CH, arcui EL, æqualis fuerit, etiam angulus
HAC, angulo EDL, æqualis eſt; ſi autem arcus CH, maior ſuerit arcu EL,
5518. huius. etiam angulus HAC, angulo EDL, maior eſt; & ſi minor, minor; deficient
propterea vnà arcus CH, & angulus HAC, æquè multiplicia primæ magni-
6612. huius. tudinis BC, & tertiæ BAC, ab arcu EL, & angulo EDL, æque multiplici-
bus ſecundę magnitudinis EF, & quartæ EDF; vel vnà æqualia erunt, vel
vnà excedent. Quare quę proportio eſt arcus BC, primæ magnitudinis ad
77Defin. 6.
quinti. arcum EF, ſecundam magnitudinem, ea erit anguli BAC, tertiæ magnitu-
dinis ad angulum EDF, quartam magnitudinem. Itaque anguli ſphærici
eandem habent rationem, quam eorum arcus. Quod erat demouſtrandum.
COROLLARIVM.
EX hoc ſequitur, @ta eſſe angulum ſphæricum quemcumque ad quatuor angulos rectos
ſphæricos, vt eſt arcus illius anguli ad totam circunferentiam circuli maximi; & contra.
Cum enim ſit angulus ſphæricus quicunque ad angulum rectum ſphæricum, vt arcus il-
8839. huius. lius anguli ad quadrantem, nimirum ad arcum anguli recti, erit quoque idem angulus ad
quadruplum anguli recti nempe ad quatuor rectos, vt idem arcus illius anguli ad quadru-
99Schol. 4.
quinti. plum quadrantis, hoc eſt, ad totam circun ferentiam; & contra.
ſphæricos, vt eſt arcus illius anguli ad totam circunferentiam circuli maximi; & contra.
Cum enim ſit angulus ſphæricus quicunque ad angulum rectum ſphæricum, vt arcus il-
8839. huius. lius anguli ad quadrantem, nimirum ad arcum anguli recti, erit quoque idem angulus ad
quadruplum anguli recti nempe ad quatuor rectos, vt idem arcus illius anguli ad quadru-
99Schol. 4.
quinti. plum quadrantis, hoc eſt, ad totam circun ferentiam; & contra.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib