4111MATHEMATICA. LIB. I. CAP. IV.
cunda infinite exigua eſt reſpectu primæ, demonſtramus enim angulum quemcun-
quein ſecunda ſuperari ab angulo quocunque, id eſt, utcumque exiguo, in prima.
quein ſecunda ſuperari ab angulo quocunque, id eſt, utcumque exiguo, in prima.
Sit c tertia proportionalis ipſis a &
b, utcunque ſumtis;
ergo ac = bb.
Multiplicando per c æquationem ax = yy, habemus acx = yyc, id eſt bbx = yyc.
in ſecunda curva bbx valet z3; ergo z3 = yyc, ſi abſciſſa x fuerit eademiu
utraque curva.
Multiplicando per c æquationem ax = yy, habemus acx = yyc, id eſt bbx = yyc.
in ſecunda curva bbx valet z3; ergo z3 = yyc, ſi abſciſſa x fuerit eademiu
utraque curva.
Ex æquatione hac deducimus z, c:
:yy, z2:
unde patet yy ſuperari à zz, id
eſt, y minorem eſſe z, quamdiu hæc ac ſuperatur, unde ſequitur curvam ſe-
cundam dum ex A profluit, antequam z valeat c, inter tangentem & curvam
primam dari quod univerſaliter obtineri hac demonſtratione conſtat.
eſt, y minorem eſſe z, quamdiu hæc ac ſuperatur, unde ſequitur curvam ſe-
cundam dum ex A profluit, antequam z valeat c, inter tangentem & curvam
primam dari quod univerſaliter obtineri hac demonſtratione conſtat.
Ponamus nunc tertiam dari curvam AI, cujus axis etiam eſt AD, &
cujus æ-
1142. quatio, manentibus iiſdem abſciſſis x, ſit dx = u4; u eſt ordinata quæ-
cunque; & d linea determinata; hanc ſi augeamus, mutamus curvam & mi-
nuimus angulum quem curva cum tangente AF efficit; formaturque hiſce
curvis tertia claſſis angulorum, qui in infinitum minui poſſunt, & in qua
nullus datur angulus, qui non ſuperetur ab angulo quocunque in ſecunda.
1142. quatio, manentibus iiſdem abſciſſis x, ſit dx = u4; u eſt ordinata quæ-
cunque; & d linea determinata; hanc ſi augeamus, mutamus curvam & mi-
nuimus angulum quem curva cum tangente AF efficit; formaturque hiſce
curvis tertia claſſis angulorum, qui in infinitum minui poſſunt, & in qua
nullus datur angulus, qui non ſuperetur ab angulo quocunque in ſecunda.
Datis b &
d quibuſcunque, ſit bb ad dd;
ut dad quartam quam dicamus e;
erit
ergo bbe = d3, & æquatio curvæ bbx = z3 mutabitur in hanc bbex = d3 x
= z3 e; ideoque z3 e = u4, ſi agatur de iiſdem abſciſſis in utraque curva; id-
circo u, e: :z3, u3; ergo u ſuperat z, quamdiu e ſuperat u, & , exeundo ex A,
curva, cujus abſciſſæ ſunt u, tranſit inter AF & aliam curvam Q. D. E.
ergo bbe = d3, & æquatio curvæ bbx = z3 mutabitur in hanc bbex = d3 x
= z3 e; ideoque z3 e = u4, ſi agatur de iiſdem abſciſſis in utraque curva; id-
circo u, e: :z3, u3; ergo u ſuperat z, quamdiu e ſuperat u, & , exeundo ex A,
curva, cujus abſciſſæ ſunt u, tranſit inter AF & aliam curvam Q. D. E.
Curvæ, quarum æquatio eſt f4 x = t3 poſita f quantitate determinatâ in ſin-
gulis curvis, & t ordinata quæcunque, dabunt novam claſſem angulorum mino-
2243. rum omnibus memoratis, & eodem modo claſſes in infinitum formari poſſunt,
ſemperque omnes anguli in claſſe quacunque ſuperantur ab omnibus angulis in claſ-
ſe præcedenti, & ſuperant omnes angulos in claſſe ſequenti.
gulis curvis, & t ordinata quæcunque, dabunt novam claſſem angulorum mino-
2243. rum omnibus memoratis, & eodem modo claſſes in infinitum formari poſſunt,
ſemperque omnes anguli in claſſe quacunque ſuperantur ab omnibus angulis in claſ-
ſe præcedenti, & ſuperant omnes angulos in claſſe ſequenti.
Inter duas claſſes quaſcunque datur ſeries infinita claſſium;
quæ omnes eandem
3344. proprietatem babent, ut angulus quicunque unius ſit infinite parvus reſpectu angulo-
rum claſſis præcedentis, id eſt, ut ab omnibus ſuperetur, & infinite magnusre-
ſpectu claſſis ſequentis, cujus omnes angulos ſuperat.
3344. proprietatem babent, ut angulus quicunque unius ſit infinite parvus reſpectu angulo-
rum claſſis præcedentis, id eſt, ut ab omnibus ſuperetur, & infinite magnusre-
ſpectu claſſis ſequentis, cujus omnes angulos ſuperat.
Curvæ ax = yy &
bbx = z3 claſſes formant diverſas;
quia ordinatarum di-
menſio z3 id ſecunda unitate ſuperat dimenſionem y2 primæ curvæ; demon-
ſtrabimus autem claſſes differre, quantumvis parum hæ dimenſiones differant,
unde conſtabit propoſitum: quia inter hoſce numeros 2 & 3, & alios quoſ-
cunque, innumeridaripoſſunt, quiinter ſe differunt, quorum nulli, quantumvis
parum differentes, dari poſſunt, inter quos iterum non alii innumeri dari
poſſint.
menſio z3 id ſecunda unitate ſuperat dimenſionem y2 primæ curvæ; demon-
ſtrabimus autem claſſes differre, quantumvis parum hæ dimenſiones differant,
unde conſtabit propoſitum: quia inter hoſce numeros 2 & 3, & alios quoſ-
cunque, innumeridaripoſſunt, quiinter ſe differunt, quorum nulli, quantumvis
parum differentes, dari poſſunt, inter quos iterum non alii innumeri dari
poſſint.
Sit ax = yy &
g 1 {1/10} x = s 2 {1/10} id eſt, g {11/10} x = s {21/10};
ordinatas deſignat s, &
g
conſtantem lineam, quamdiu curva non mutatur. Fiat ut a ad g, ita g {1/10} ad
quartam quantitatem, quæ dicatur b {1/10}; ergo g{11/10} = ab{1/10}; multiplican-
do per b {1/10} æquationem ax = yy datur ab {1/10} x = g {11/10} x = y2 b {1/10} = s {21/10};
under deducimus s {1/10}, b {1/10}: : yy. ss. Idcirco in viciniis puncti A, ubi s
neceſſario minor eſt determinatâ b, erit etiam y minor s unde liquet quod de
angulis dictum.
conſtantem lineam, quamdiu curva non mutatur. Fiat ut a ad g, ita g {1/10} ad
quartam quantitatem, quæ dicatur b {1/10}; ergo g{11/10} = ab{1/10}; multiplican-
do per b {1/10} æquationem ax = yy datur ab {1/10} x = g {11/10} x = y2 b {1/10} = s {21/10};
under deducimus s {1/10}, b {1/10}: : yy. ss. Idcirco in viciniis puncti A, ubi s
neceſſario minor eſt determinatâ b, erit etiam y minor s unde liquet quod de
angulis dictum.