1dam harum, quod proportio primæ ad quartam producitur ex pro
portione primæ ad ſecundam, ſecundę ad tertiam, & tertię ad quar
tam: ergo non ex ſolis proportionibus primæ ad ſecundam, & ter
tiæ ad quartam, & ſimiliter ex prima harum proportio primę ad ſe
cundam, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti
primæ in ſecundam ad productum tertiæ in quartam. Et in multi
plicatione proportio, quæ ſolet eſſe inter producta illa, & eſt quaſi
duplicata eſt inter ipſas quantitates. Sint igitur quantitates a b c d,
& ſit b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, eritque propor
32[Figure 32]
tio a ad d producta ex proportioni
bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan
tur igitur ex proportionibus a ad b, c
ad d. proportio c ad f, erit igitur pro
portio e ad f, ſi multiplicetur per pro
portionem b ad c eadem quæ prius, &
portione primæ ad ſecundam, ſecundę ad tertiam, & tertię ad quar
tam: ergo non ex ſolis proportionibus primæ ad ſecundam, & ter
tiæ ad quartam, & ſimiliter ex prima harum proportio primę ad ſe
cundam, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti
primæ in ſecundam ad productum tertiæ in quartam. Et in multi
plicatione proportio, quæ ſolet eſſe inter producta illa, & eſt quaſi
duplicata eſt inter ipſas quantitates. Sint igitur quantitates a b c d,
& ſit b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, eritque propor
32[Figure 32]tio a ad d producta ex proportioni
bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan
tur igitur ex proportionibus a ad b, c
ad d. proportio c ad f, erit igitur pro
portio e ad f, ſi multiplicetur per pro
portionem b ad c eadem quæ prius, &
producta iam eſt eadem ei, quæ eſt a
ad d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad
b, c ad d per primam propoſitionem. Quod uerò diximus de pri
ma & quarta ſi ſint æquales, manifeſtum eſt, quòd res redit ad idem
ſolum tranſmutato ordine, ut tertia, & quarta præmittantur primę,
& ſecundæ. Hæc igitur propoſitio nihil aliud innuit, quàm quod
in hoc caſu productio, quæ ſolet fieri ex tribus proportionibus fiat
ex duabus tantum.
Per 16. Pet.
Propoſitio uigeſima prima.
Cùm decuſſatim ducta fuerit prima in quartam, & ſecunda in ter
tiam; productumque primæ in quartam diuiſum fuerit per produ
ctum ſecundæ in tertiam erit proportio primæ ad ſecundam diui
ſa per proportionem tertiæ ad quartam. Et ſimiliter interpoſita
omiologa.
tiam; productumque primæ in quartam diuiſum fuerit per produ
ctum ſecundæ in tertiam erit proportio primæ ad ſecundam diui
ſa per proportionem tertiæ ad quartam. Et ſimiliter interpoſita
omiologa.
Cor^{m}.
33[Figure 33]
Primum exponamus ſecundam partem, ſit
proportio a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit
ergo per ſecundam harum proportio ad b pro
ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diuiſa proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a ad e, & hic eſt ſecundus modus. Primus autem modus ducatur a
in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g eſſe prouen
tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in a, & ſimiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in
proportio a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit
ergo per ſecundam harum proportio ad b pro
ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diuiſa proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a ad e, & hic eſt ſecundus modus. Primus autem modus ducatur a
in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g eſſe prouen
tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in a, & ſimiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in