1dam harum, quod proportio primæ ad quartam producitur ex pro
portione primæ ad ſecundam, ſecundę ad tertiam, & tertię ad quar
tam: ergo non ex ſolis proportionibus primæ ad ſecundam, & ter
tiæ ad quartam, & ſimiliter ex prima harum proportio primę ad ſe
cundam, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti
primæ in ſecundam ad productum tertiæ in quartam. Et in multi
plicatione proportio, quæ ſolet eſſe inter producta illa, & eſt quaſi
duplicata eſt inter ipſas quantitates. Sint igitur quantitates a b c d,
& ſit b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, eritque propor
32[Figure 32]
tio a ad d producta ex proportioni
bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan
tur igitur ex proportionibus a ad b, c
ad d. proportio c ad f, erit igitur pro
portio e ad f, ſi multiplicetur per pro
portionem b ad c eadem quæ prius, &
portione primæ ad ſecundam, ſecundę ad tertiam, & tertię ad quar
tam: ergo non ex ſolis proportionibus primæ ad ſecundam, & ter
tiæ ad quartam, & ſimiliter ex prima harum proportio primę ad ſe
cundam, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti
primæ in ſecundam ad productum tertiæ in quartam. Et in multi
plicatione proportio, quæ ſolet eſſe inter producta illa, & eſt quaſi
duplicata eſt inter ipſas quantitates. Sint igitur quantitates a b c d,
& ſit b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, eritque propor
![](https://digilib.mpiwg-berlin.mpg.de/digitallibrary/servlet/Scaler?fn=/permanent/archimedes/carda_propo_015_la_1570/figures/015.01.041.1.jpg&dw=200&dh=200)
tio a ad d producta ex proportioni
bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan
tur igitur ex proportionibus a ad b, c
ad d. proportio c ad f, erit igitur pro
portio e ad f, ſi multiplicetur per pro
portionem b ad c eadem quæ prius, &
producta iam eſt eadem ei, quæ eſt a
ad d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad
b, c ad d per primam propoſitionem. Quod uerò diximus de pri
ma & quarta ſi ſint æquales, manifeſtum eſt, quòd res redit ad idem
ſolum tranſmutato ordine, ut tertia, & quarta præmittantur primę,
& ſecundæ. Hæc igitur propoſitio nihil aliud innuit, quàm quod
in hoc caſu productio, quæ ſolet fieri ex tribus proportionibus fiat
ex duabus tantum.
Cùm decuſſatim ducta fuerit prima in quartam, & ſecunda in ter
tiam; productumque primæ in quartam diuiſum fuerit per produ
ctum ſecundæ in tertiam erit proportio primæ ad ſecundam diui
ſa per proportionem tertiæ ad quartam. Et ſimiliter interpoſita
omiologa.
tiam; productumque primæ in quartam diuiſum fuerit per produ
ctum ſecundæ in tertiam erit proportio primæ ad ſecundam diui
ſa per proportionem tertiæ ad quartam. Et ſimiliter interpoſita
omiologa.
![](https://digilib.mpiwg-berlin.mpg.de/digitallibrary/servlet/Scaler?fn=/permanent/archimedes/carda_propo_015_la_1570/figures/015.01.041.2.jpg&dw=200&dh=200)
Primum exponamus ſecundam partem, ſit
proportio a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit
ergo per ſecundam harum proportio ad b pro
ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diuiſa proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a ad e, & hic eſt ſecundus modus. Primus autem modus ducatur a
in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g eſſe prouen
tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in a, & ſimiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in
proportio a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit
ergo per ſecundam harum proportio ad b pro
ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diuiſa proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a ad e, & hic eſt ſecundus modus. Primus autem modus ducatur a
in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g eſſe prouen
tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in a, & ſimiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in