419407
arcus BC, compoſita ex proportione ſinus arcus EF, ad ſinum arcus DE, &
ex
proportione ſinus totius quadrantis AD, ad ſinum arcus AB. Eſt autem, (cum CF,
ſit complementum arcus BC.) vt ſinus arcus CF, ad ſinum arcus CB, ita ſinus to-
1118. Sinu@. tus ad tangentem arcus BC: Item, (cum DE, ſit cowplementum arcus EF.) vt ſi-
nus arcus DE, ad ſinum arcus EF, ita ſinus totus ad tangentem arcus EF; & con-
uertendo, vt ſinus arcus EF, ad ſinum arcus De, ita tangens arcus EF, ad ſinum
totum. Igitur & proportio ſinus totius ad tangentem arcus BC, compoſita erit ex
proportione tangentis arcus EF, ad ſinũ totum, & ex proportione ſinus totius qua-
drantis AD, ad ſinum arcus AB. Cum ergo proportio tangentis arcus EF, ad ſi-
num arcus AB, componatur quoque ex proportione tangentis arcus EF, ad ſinum
totum, & ex proportione ſinus totius ad ſinum arcus AB; quòd ſinus totus ſit me-
dius inter illam tangentem, & hunc ſinum: erit, vt ſinus totus ad tangentem arcus
BC, ita tangens arcus EF, ad ſinum arcus AB. Quod eſt propoſitum.
proportione ſinus totius quadrantis AD, ad ſinum arcus AB. Eſt autem, (cum CF,
ſit complementum arcus BC.) vt ſinus arcus CF, ad ſinum arcus CB, ita ſinus to-
1118. Sinu@. tus ad tangentem arcus BC: Item, (cum DE, ſit cowplementum arcus EF.) vt ſi-
nus arcus DE, ad ſinum arcus EF, ita ſinus totus ad tangentem arcus EF; & con-
uertendo, vt ſinus arcus EF, ad ſinum arcus De, ita tangens arcus EF, ad ſinum
totum. Igitur & proportio ſinus totius ad tangentem arcus BC, compoſita erit ex
proportione tangentis arcus EF, ad ſinũ totum, & ex proportione ſinus totius qua-
drantis AD, ad ſinum arcus AB. Cum ergo proportio tangentis arcus EF, ad ſi-
num arcus AB, componatur quoque ex proportione tangentis arcus EF, ad ſinum
totum, & ex proportione ſinus totius ad ſinum arcus AB; quòd ſinus totus ſit me-
dius inter illam tangentem, & hunc ſinum: erit, vt ſinus totus ad tangentem arcus
BC, ita tangens arcus EF, ad ſinum arcus AB. Quod eſt propoſitum.
VIII.
SI in ſphæræ ſuperficie duo maximi circuli ad angulos non rectos
ſe mutuo ſecent, & à duobus punctis in vno aſſumptis ad alterum cir-
culum duo arcus perpendiculares ducantur: Erit, vt ſinus arcus inter
punctum ſectionis, & alterutrum punctorum ſumptorum ad ſecan-
tem complementi arcus per reliquum punctum aſſumptum ducti, ita
ſinus arcus inter punctum ſectionis, & reliquum hoc punctum ſum-
ptum ad ſecantem complementi arcus per alterum illud punctum aſ-
ſumptum ducti.
ſe mutuo ſecent, & à duobus punctis in vno aſſumptis ad alterum cir-
culum duo arcus perpendiculares ducantur: Erit, vt ſinus arcus inter
punctum ſectionis, & alterutrum punctorum ſumptorum ad ſecan-
tem complementi arcus per reliquum punctum aſſumptum ducti, ita
ſinus arcus inter punctum ſectionis, & reliquum hoc punctum ſum-
ptum ad ſecantem complementi arcus per alterum illud punctum aſ-
ſumptum ducti.
IN proxima figura ſecent ſeſe duo maximi circuli AD, AE, in A, ad angulosno@
rectos, & ex punctis C, E, ad AD, arcus perpendiculares ducantur CB, ED, pro-
ducanturq́; , donec coeant in F. Erunt BF, DF, quadrantes, ac propterea CF, EF,
2225. huius. complementa arcuum BC, De. Dico ita eſſe ſinũ
arcus AE, ad ſecantem arcus CF, vt eſt ſinus ar-
cus AC, ad ſecantem arcus EF. Quoniam enim à
268[Figure 268]
puncto D, duo arcus educuntur Da, DF, à quo-
rum terminis A, F, duo alij ad ipſos reflectuntur
AE, FB, ſe interſecantes in C; erit proportio ſi-
nus arcus AE, ad ſinum arcus AC, compoſita ex
33Theorema
5. huius
ſcholij. proportione ſinus arcus De, ad ſinum totum qua-
drantis DF, & ex proportione ſinus totius qua-
4418. Sinuũ. drantis BF, ad ſinum arcus BC. Eſt autem, vt
ſinus arcus De, ad ſinum totum quadrantis DF,
ita ſinus totus ad ſecantem arcus EF; propterea
quòd ſinus totus medio loco proportionalis eſt in-
5518. Sinuú. ter ſinum rectum arcus De, & ſecantem arcus EF, qui complementum eſt arcus De:
Eademq́; ratione ita eſt ſecans arcus CF, ad ſinum totum, vt ſinus totus quadrantis
BF, ad ſinum arcus BC; quòd ſinus totus medio quoque loco ſit proportionalis inter
ſecantem arcus CF, qui complementum eſt arcus BC, & ſinum rectum arcus BC.
Igitur proportio ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, componetur quoque ex pro-
portione ſecantis arcus CF, ad ſinum totum, & exproportione ſinus totius ad
rectos, & ex punctis C, E, ad AD, arcus perpendiculares ducantur CB, ED, pro-
ducanturq́; , donec coeant in F. Erunt BF, DF, quadrantes, ac propterea CF, EF,
2225. huius. complementa arcuum BC, De. Dico ita eſſe ſinũ
arcus AE, ad ſecantem arcus CF, vt eſt ſinus ar-
cus AC, ad ſecantem arcus EF. Quoniam enim à
rum terminis A, F, duo alij ad ipſos reflectuntur
AE, FB, ſe interſecantes in C; erit proportio ſi-
nus arcus AE, ad ſinum arcus AC, compoſita ex
33Theorema
5. huius
ſcholij. proportione ſinus arcus De, ad ſinum totum qua-
drantis DF, & ex proportione ſinus totius qua-
4418. Sinuũ. drantis BF, ad ſinum arcus BC. Eſt autem, vt
ſinus arcus De, ad ſinum totum quadrantis DF,
ita ſinus totus ad ſecantem arcus EF; propterea
quòd ſinus totus medio loco proportionalis eſt in-
5518. Sinuú. ter ſinum rectum arcus De, & ſecantem arcus EF, qui complementum eſt arcus De:
Eademq́; ratione ita eſt ſecans arcus CF, ad ſinum totum, vt ſinus totus quadrantis
BF, ad ſinum arcus BC; quòd ſinus totus medio quoque loco ſit proportionalis inter
ſecantem arcus CF, qui complementum eſt arcus BC, & ſinum rectum arcus BC.
Igitur proportio ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, componetur quoque ex pro-
portione ſecantis arcus CF, ad ſinum totum, & exproportione ſinus totius ad