4230IO. BAPT. BENED.
rimus, ſi ſumma vnius dictorum prouenientium cum vnitate dat primum numerum,
quid ipſa eadem vnitas dabit? ex quo propoſitum oriatur.
quid ipſa eadem vnitas dabit? ex quo propoſitum oriatur.
Exempli gratia, proponuntur tres numeri, primus .20. ſecundus .34. tertius .8.
Iam quærimus diuidere primum .20. in duas partes quæ mutuò diuiſæ prębeant duo
prouenientia, quorum ſumma tanta ſit vt per eam diuiſo .34. proueniat numerus
æqualis tertio numero .8. Quod vt præſtemus iubet regula ſecundum .34. per tertium .
8. diuidi, vnde proueniet .4. cum vna quarta parte, quod proueniens erit ſumma pro
uenientium ex diuiſione duarum partium quæſitarum, quæ ſi diſtinguere volueri-
mus, præcedentis theorematis methodum ſequemur, vnitate ſuperficiali pro ſecun
do numero propoſito ſumpta, ac ſi diceremus, diuidatur .4. cum vna quarta parte
in duas eiuſmodi partes, vt productum vnius in alteram ſit vnitas ſuperficialis, cer-
tè fractis integris cum quarta parte coniungendis, darentur vnitatis decemſeptem
quartæ lineares, verum cum neceſſe ſit, ex præcedenti theoremate, dimidium in
ſeipſum multiplicare, eſſetque; dimidium .8. quartarum partium cum octaua, com-
modius totum conſtituetur .34. octauarum, quarum dimidium, nempe decemſep-
tem octauæ, in ſeipſum multiplicatum erunt .289. ſexageſimæ quartæ vnius integri
ſuperficialis, quandoquidem integrum ſuperficiale, cuius vnitas linearis in .8. partes
diuiditur eſt .64. vt ex primo theoremate huius libri depræhendi poteſt. Nunc vni-
tate hac ſuperficiali, nempe .64. ex .289. detracta, ſupererit .225. cuius radix qua-
drata, ſcilicet .15. coniuncta dimidio dictorum prouenientium, nempe .17. dabit
maius proueniens .32. detractaque; ex altero dimidio, dabit proueniens minus .2. hoc
eſt pro maiore proueniente .32. octauas, & pro minore duas, quatuor ſcilicet inte-
gros pro maiore, & quartam partem vnius integri pro minore. Nunc ſi ex regula
de tribus dixerimus, ſi .4. iuncta vni, nempe .5. dant .20. primum numerum, quid
dabunt .4. integra (proueniens inquam maius) dabunt certè .16. partem maiorem.
Tum ſi dixerimus, ſi quarta pars coniuncta vnitati dat .20: quid dabit quarta illa
pars (hoc eſt proueniens minus) dabit profectò quatuor ſcilicet minorem partem, quod
ab antiquis certè ignoratum fuit, qui, inuentis prouenientibus quieuerunt, ne-
ſcientes ijs vti ad inueniendas duas primi numeri partes.
Iam quærimus diuidere primum .20. in duas partes quæ mutuò diuiſæ prębeant duo
prouenientia, quorum ſumma tanta ſit vt per eam diuiſo .34. proueniat numerus
æqualis tertio numero .8. Quod vt præſtemus iubet regula ſecundum .34. per tertium .
8. diuidi, vnde proueniet .4. cum vna quarta parte, quod proueniens erit ſumma pro
uenientium ex diuiſione duarum partium quæſitarum, quæ ſi diſtinguere volueri-
mus, præcedentis theorematis methodum ſequemur, vnitate ſuperficiali pro ſecun
do numero propoſito ſumpta, ac ſi diceremus, diuidatur .4. cum vna quarta parte
in duas eiuſmodi partes, vt productum vnius in alteram ſit vnitas ſuperficialis, cer-
tè fractis integris cum quarta parte coniungendis, darentur vnitatis decemſeptem
quartæ lineares, verum cum neceſſe ſit, ex præcedenti theoremate, dimidium in
ſeipſum multiplicare, eſſetque; dimidium .8. quartarum partium cum octaua, com-
modius totum conſtituetur .34. octauarum, quarum dimidium, nempe decemſep-
tem octauæ, in ſeipſum multiplicatum erunt .289. ſexageſimæ quartæ vnius integri
ſuperficialis, quandoquidem integrum ſuperficiale, cuius vnitas linearis in .8. partes
diuiditur eſt .64. vt ex primo theoremate huius libri depræhendi poteſt. Nunc vni-
tate hac ſuperficiali, nempe .64. ex .289. detracta, ſupererit .225. cuius radix qua-
drata, ſcilicet .15. coniuncta dimidio dictorum prouenientium, nempe .17. dabit
maius proueniens .32. detractaque; ex altero dimidio, dabit proueniens minus .2. hoc
eſt pro maiore proueniente .32. octauas, & pro minore duas, quatuor ſcilicet inte-
gros pro maiore, & quartam partem vnius integri pro minore. Nunc ſi ex regula
de tribus dixerimus, ſi .4. iuncta vni, nempe .5. dant .20. primum numerum, quid
dabunt .4. integra (proueniens inquam maius) dabunt certè .16. partem maiorem.
Tum ſi dixerimus, ſi quarta pars coniuncta vnitati dat .20: quid dabit quarta illa
pars (hoc eſt proueniens minus) dabit profectò quatuor ſcilicet minorem partem, quod
ab antiquis certè ignoratum fuit, qui, inuentis prouenientibus quieuerunt, ne-
ſcientes ijs vti ad inueniendas duas primi numeri partes.
Cuius ſpeculationis gratia, demus primum numerum ſignificari linea .e.u. cuius
partes .e.a. & a.u. ſint quæ quæruntur, alter verò numerus ſignificetur linea .b.
d. tertius linea .g.f. proueniens autem diuiſionis .e.a. per .a.u. ſit .n.t. diuiſionis autem .a.u.
per .a.e. ſit .t.o. ſumma erit .n.t.o. vnitas verò .n.i. et .o.i. Iam ſi numerus .f.g. tertiò
propoſitus ex diuiſione ſecundi per .o.t.n. proferri debet. Ex .13. theoremate patet,
quòd ſi .b.d. per .g.f. diuiſerimus, proferetur .o.t.n. qui cum fuerit inuentus, ſummam
eſſe oportet duorum prouenientium, ex diuiſione mutua duorum numerorum, nempe .
a.e. per .a.u. et .a.u. per .a.e. deinde manifeſtum eſt ex .24. aut .25. theoremate eorum
productum (multiplicatis prouenientibus adinuicem) vnitatem ſuperficialem futu
ram eſſe. Hactenus igitur, totum .o.n. ex doctrina præcedentis theorematis diui-
ditur in puncto .t. ita vt productum .o.t. in .t.n.
ſolam vnitatem ſuperficialem contineat, quo
58[Figure 58]
facto, ſi, vt antedictum eſt, cogitauerimus .n.
t. proueniens eſſe ex diuiſione .e.a. per .a.u. et .
t.o. proueniens ex diuiſione .a.u. per .a.e. pa-
tebit ex definitione diuiſionis, quod eadem
erit proportio .a.e. ad .n.t. quæ eſt .a.u. ad vni-
tatem .n.i. et .a.u. ad .o.t. eadem quæ eſt .e.a.
partes .e.a. & a.u. ſint quæ quæruntur, alter verò numerus ſignificetur linea .b.
d. tertius linea .g.f. proueniens autem diuiſionis .e.a. per .a.u. ſit .n.t. diuiſionis autem .a.u.
per .a.e. ſit .t.o. ſumma erit .n.t.o. vnitas verò .n.i. et .o.i. Iam ſi numerus .f.g. tertiò
propoſitus ex diuiſione ſecundi per .o.t.n. proferri debet. Ex .13. theoremate patet,
quòd ſi .b.d. per .g.f. diuiſerimus, proferetur .o.t.n. qui cum fuerit inuentus, ſummam
eſſe oportet duorum prouenientium, ex diuiſione mutua duorum numerorum, nempe .
a.e. per .a.u. et .a.u. per .a.e. deinde manifeſtum eſt ex .24. aut .25. theoremate eorum
productum (multiplicatis prouenientibus adinuicem) vnitatem ſuperficialem futu
ram eſſe. Hactenus igitur, totum .o.n. ex doctrina præcedentis theorematis diui-
ditur in puncto .t. ita vt productum .o.t. in .t.n.
ſolam vnitatem ſuperficialem contineat, quo
t. proueniens eſſe ex diuiſione .e.a. per .a.u. et .
t.o. proueniens ex diuiſione .a.u. per .a.e. pa-
tebit ex definitione diuiſionis, quod eadem
erit proportio .a.e. ad .n.t. quæ eſt .a.u. ad vni-
tatem .n.i. et .a.u. ad .o.t. eadem quæ eſt .e.a.