420408
tem arcus EF.
Cum ergo &
proportio ſecantis arcus CF, ad ſecantem arcus EF,
componatur ex proportione ſecantis arcus CF, ad ſinum totum, & ex proportione
ſinus totius ad ſecantem arcus EF; quòd ſinus totus ſit medius inter has ſecãtes: erit,
vt ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, ita ſecans arcus CF, ad ſecantem arcus EF;
& permutando, vt ſinus arcus AE, ad ſecantem arcus CF, ita ſinus arcus AC, ad
ſecantem arcus EF. Quod eſt propoſitum.
componatur ex proportione ſecantis arcus CF, ad ſinum totum, & ex proportione
ſinus totius ad ſecantem arcus EF; quòd ſinus totus ſit medius inter has ſecãtes: erit,
vt ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, ita ſecans arcus CF, ad ſecantem arcus EF;
& permutando, vt ſinus arcus AE, ad ſecantem arcus CF, ita ſinus arcus AC, ad
ſecantem arcus EF. Quod eſt propoſitum.
ALITER.
Quoniam eſt, vt ſinus arcus AE, ad ſinum arcus ED, ita ſinus ar-
1140. huius. cus AC, ad ſinum arcus CB; hoc eſt, permutando, vt ſinus arcus AE, ad ſinum ar-
cus AC, ita ſinus arcus ED, ad ſinum arcus CB: Eſt autemita ſecans arcus CF,
2222. Sinuũ. ad ſecantem arcus EF, vt ſinus ED, qui complementum eſt poſterioris arcus EF, ad
ſinum arcus CB, qui complementum eſt arcus prioris CF; erit quoque, vt ſinus ar-
cus AE, ad ſinum arcus AC, ita ſecans arcus CF, ad ſecantem arcus EF. Et per-
mutando, vt ſinus arcus AE, ad ſecantem arcus CF, ita ſinus arcus AC, ad ſecan-
tem arcus EF. Quod eſt propoſitum.
1140. huius. cus AC, ad ſinum arcus CB; hoc eſt, permutando, vt ſinus arcus AE, ad ſinum ar-
cus AC, ita ſinus arcus ED, ad ſinum arcus CB: Eſt autemita ſecans arcus CF,
2222. Sinuũ. ad ſecantem arcus EF, vt ſinus ED, qui complementum eſt poſterioris arcus EF, ad
ſinum arcus CB, qui complementum eſt arcus prioris CF; erit quoque, vt ſinus ar-
cus AE, ad ſinum arcus AC, ita ſecans arcus CF, ad ſecantem arcus EF. Et per-
mutando, vt ſinus arcus AE, ad ſecantem arcus CF, ita ſinus arcus AC, ad ſecan-
tem arcus EF. Quod eſt propoſitum.
EADEM hæc demonſtratio locum etiam habet, licet duo puncta aſſumpta ſint ad
diuerſas partes puncti ſectionis. Secent enim rurſum ſeſe duo circuli maximi EF, BA,
in D; & à punctis F, E, arcus EF, ducantur ad BA, arcus perpendiculares FA, EB.
Dicoita eſſe ſinum arcus ED, ad ſecantem complementi
arcus FA, vt est ſinus arcus DF, ad ſecantem comple-
269[Figure 269]
menti arcus EB.
Nam quoniam eſt, vt ſinus arcus ED,
3340. huius. ad ſinum arcus EB, ita ſinus arcus DF, ad ſinum arcus
FA; & permutando, vt ſinus arcus ED, ad ſinum arcus
DF, ita ſinus arcus EB, ad ſinum arcus FA; Vt autem
ſinus arcus EB, ad ſinum arcus FA, ita eſt ſecans com-
4422. Sinuũ. plementi arcus FA, ad ſecantem complementi arcus EB:
erit quoque, vt ſinus arcus ED, ad ſinum arcus DF, ita
ſecans complementi arcus FA, ad ſecantem complementi
arcus EB; & permutando, vt ſinus arcus ED, ad ſecantem complementi arcus FA,
ita ſinus arcus DF, ad ſecantem complementi arcus EB. Quod eſt propoſi@um.
diuerſas partes puncti ſectionis. Secent enim rurſum ſeſe duo circuli maximi EF, BA,
in D; & à punctis F, E, arcus EF, ducantur ad BA, arcus perpendiculares FA, EB.
Dicoita eſſe ſinum arcus ED, ad ſecantem complementi
arcus FA, vt est ſinus arcus DF, ad ſecantem comple-
3340. huius. ad ſinum arcus EB, ita ſinus arcus DF, ad ſinum arcus
FA; & permutando, vt ſinus arcus ED, ad ſinum arcus
DF, ita ſinus arcus EB, ad ſinum arcus FA; Vt autem
ſinus arcus EB, ad ſinum arcus FA, ita eſt ſecans com-
4422. Sinuũ. plementi arcus FA, ad ſecantem complementi arcus EB:
erit quoque, vt ſinus arcus ED, ad ſinum arcus DF, ita
ſecans complementi arcus FA, ad ſecantem complementi
arcus EB; & permutando, vt ſinus arcus ED, ad ſecantem complementi arcus FA,
ita ſinus arcus DF, ad ſecantem complementi arcus EB. Quod eſt propoſi@um.
REPETIVIMVS autem hic figuram quartam propoſ.
35.
licet arcuum BC,
CF, nulla fiat mentio, ne nouam figuram cogeremur extruere.
CF, nulla fiat mentio, ne nouam figuram cogeremur extruere.
THEOR. 39. PROPOS. 41.
IN omni triangulo ſphærico, ſinus cuiuſlibet
arcus ad ſinum anguli, quem ſubtendit, eandem
habet proportionem, quam ſinus vtriuſque reli-
quorum arcuum ad ſinũ anguli, quem ſubtendit.
arcus ad ſinum anguli, quem ſubtendit, eandem
habet proportionem, quam ſinus vtriuſque reli-
quorum arcuum ad ſinũ anguli, quem ſubtendit.
SIT triangulum ſphæricum quodcunque ABC.
Dico ita eſſe ſinum ar-
cus AB, ad ſinum anguli C, quem ſubtendit, vt eſt ſinus arcus AC, ad ſinum
auguli B, quem ſubtendit, & vt ſinus arcus BC, ad ſinum anguli A, quem
ſubtendit. Sint enim primum omnes tres anguli recti; eruntq́ue propterea
55Coroll. 25.
huius. omnes arcus quadrantes. Manifeſtum igitur eſt, vt eſt ſinus totus
cus AB, ad ſinum anguli C, quem ſubtendit, vt eſt ſinus arcus AC, ad ſinum
auguli B, quem ſubtendit, & vt ſinus arcus BC, ad ſinum anguli A, quem
ſubtendit. Sint enim primum omnes tres anguli recti; eruntq́ue propterea
55Coroll. 25.
huius. omnes arcus quadrantes. Manifeſtum igitur eſt, vt eſt ſinus totus