422410
vterque angulus E, G, rectus erit.
Quia igitur duo maximi circuli BD, BC,
ſe mutuo in ſphæra ſecant in B, ſumptaq́ue ſunt in BD, duo puncta A, D, à
quibus ad BC, ducti ſunt duo arcus AC, DF, perpendiculares, erit vt ſinus
arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus arcus BD, ad ſin um arcus DF: & per-
1140. huius. mutando, vt ſinus arcus AB, trianguli ABC, ad ſinum quadrantis BD, hoc
eſt, ad ſinum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita ſinus arcus
AC, eiuſdem trianguli ABC, ad ſinum arcus DF, hoc eſt, ad ſinum anguli
B, in eodem triangulo ABC. Eademq; ratione erit, vt ſinus arcus AB, trian
guli ABC, ad ſinum quadrantis AE, hoc eſt, ad ſinum totum anguli recti C,
in eodem triangulo ABC, ita finus arcus BC, eiuſdem trianguli ABC, ad
finum arcus EG, hoc eſt, ad ſinum anguli A, in eodem triangulo ABC. Quod
eſt propoſitum.
ſe mutuo in ſphæra ſecant in B, ſumptaq́ue ſunt in BD, duo puncta A, D, à
quibus ad BC, ducti ſunt duo arcus AC, DF, perpendiculares, erit vt ſinus
arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus arcus BD, ad ſin um arcus DF: & per-
1140. huius. mutando, vt ſinus arcus AB, trianguli ABC, ad ſinum quadrantis BD, hoc
eſt, ad ſinum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita ſinus arcus
AC, eiuſdem trianguli ABC, ad ſinum arcus DF, hoc eſt, ad ſinum anguli
B, in eodem triangulo ABC. Eademq; ratione erit, vt ſinus arcus AB, trian
guli ABC, ad ſinum quadrantis AE, hoc eſt, ad ſinum totum anguli recti C,
in eodem triangulo ABC, ita finus arcus BC, eiuſdem trianguli ABC, ad
finum arcus EG, hoc eſt, ad ſinum anguli A, in eodem triangulo ABC. Quod
eſt propoſitum.
SI denique alter angulorum A, B, recto maior eſt, &
alter minor;
ſit B, ma-
ior, & A, minor. Erit igitur arcus AB, quadrante maior: Item arcus AC,
2237. huius.3334. huius. quadrante etiam maior, at verò BC, minor
quadrante. Abſcindantur ergo quadrantes
273[Figure 273]
BD, AE, &
AG, productoq́ue arcu BC, fiat
4420. 1 Theod. quadrans BF; & per puncta D, F, ducatur ar-
cus DF, circuli maximi, necnon per E, G,
arcus circuli maximi EG; eritq́ue rurſus B,
polus arcus DF, & A, polus arcus EG. Igi-
5526. huius. tur DF, EG, arcus erunt angulorum B, A;
necnon tam quadrans BD, quam AE, arcus
anguli C, recti, ex defin. 6. Item propter qua-
drantes AE, AG, vterque angulus E, G, re-
6625. huius. ctus erit. Quoniam igitur duo circuli maxi-
mi BA, BF, in ſphæra ſe mutuo ſecant in B,
ſumptaq́ue ſunt in BA, duo puncta A, D, à
quibus ad BF, ducti ſunt duo arcus perpendiculares AC, DF; erit, vt ſinus
arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus arcus BD, ad ſinum arcus DF: &
7740. huius. permutando, vt ſinus arcus AB, trianguli ABC, ad ſinum quadrantis BD,
hoc eſt, ad ſinum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita ſinus
arcus AC, trianguli eiuſdem ABC, ad ſinum arcus DF, hoc eſt, ad ſinum an-
guli B, in triangulo eodem ABC. Eodemq́ue modo erit, vt ſinus arcus AB,
trianguli ABC, ad ſinum quadrantis AE, hoc eſt, ad ſinum totum recti an-
guli C, in eodẽ triangulo ABC, ita ſinus arcus BC, eiuſdem trianguli ABC,
ad ſinum arcus EG, hoc eſt, ad ſinum anguli A, eiuſdem trianguli ABC,
Quod eſt propoſitum.
ior, & A, minor. Erit igitur arcus AB, quadrante maior: Item arcus AC,
2237. huius.3334. huius. quadrante etiam maior, at verò BC, minor
quadrante. Abſcindantur ergo quadrantes
4420. 1 Theod. quadrans BF; & per puncta D, F, ducatur ar-
cus DF, circuli maximi, necnon per E, G,
arcus circuli maximi EG; eritq́ue rurſus B,
polus arcus DF, & A, polus arcus EG. Igi-
5526. huius. tur DF, EG, arcus erunt angulorum B, A;
necnon tam quadrans BD, quam AE, arcus
anguli C, recti, ex defin. 6. Item propter qua-
drantes AE, AG, vterque angulus E, G, re-
6625. huius. ctus erit. Quoniam igitur duo circuli maxi-
mi BA, BF, in ſphæra ſe mutuo ſecant in B,
ſumptaq́ue ſunt in BA, duo puncta A, D, à
quibus ad BF, ducti ſunt duo arcus perpendiculares AC, DF; erit, vt ſinus
arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus arcus BD, ad ſinum arcus DF: &
7740. huius. permutando, vt ſinus arcus AB, trianguli ABC, ad ſinum quadrantis BD,
hoc eſt, ad ſinum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita ſinus
arcus AC, trianguli eiuſdem ABC, ad ſinum arcus DF, hoc eſt, ad ſinum an-
guli B, in triangulo eodem ABC. Eodemq́ue modo erit, vt ſinus arcus AB,
trianguli ABC, ad ſinum quadrantis AE, hoc eſt, ad ſinum totum recti an-
guli C, in eodẽ triangulo ABC, ita ſinus arcus BC, eiuſdem trianguli ABC,
ad ſinum arcus EG, hoc eſt, ad ſinum anguli A, eiuſdem trianguli ABC,
Quod eſt propoſitum.
QVARTO ac vltimo nullus angulorum A, B, C, rectus ſit.
Per pun-
274[Figure 274]
ctum A, &
polum circuli BC, ducatur arcus circu-
8820. 1 Theod. li maximi AD, cadatq́ue primum in latus BC, in-
9925. 1. Theod. tra triangulum; eruntq́; anguli ad D, recti. Quoniam
igitur in triangulo ABD, angulus D, rectus eſt; erit,
vt iam demonſtratum eſt, vt ſinus arcus AB, ad ſi-
num anguli ADB, ita ſinus arcus AD, ad ſinum an-
guli B: & permutando, vt ſinus arcus AB, ad ſinum
arcus AD, ita ſinus anguli ADB, ad ſinum anguli
B. Sed eodem modo, cum in triangulo ADC,
8820. 1 Theod. li maximi AD, cadatq́ue primum in latus BC, in-
9925. 1. Theod. tra triangulum; eruntq́; anguli ad D, recti. Quoniam
igitur in triangulo ABD, angulus D, rectus eſt; erit,
vt iam demonſtratum eſt, vt ſinus arcus AB, ad ſi-
num anguli ADB, ita ſinus arcus AD, ad ſinum an-
guli B: & permutando, vt ſinus arcus AB, ad ſinum
arcus AD, ita ſinus anguli ADB, ad ſinum anguli
B. Sed eodem modo, cum in triangulo ADC,