423411
gulus D, rectus ſit;
eſt, vt ſinus arcus AD, ad ſinum anguli ACD, ita ſinus
arcus AC, ad ſinum anguli ADC: & permutando, vt ſinus arcus AD, ad ſi-
num arcus AC, ita ſinus anguli ACD, ad ſinum anguli ADC, hoc eſt, ad
ſinum anguli ADB, cum anguli ad D, ſint recti. Ex æqualitate ergo, & per-
turbata proportione, erit, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus an-
guli ACD, ad ſinum anguli B; vt in appoſita formula apparet. Igitur & per-
mutando erit, vt ſinus arcus AB, in triangulo ABC, ad ſinum anguli ACB,
in eodem triangulo ABC, ita ſinus arcus AC, eiuſdem
trianguli ABC, ad ſinum anguli B, in eodem triangulo ABC.
11 arcus AC, ad ſinum anguli ADC: & permutando, vt ſinus arcus AD, ad ſi-
num arcus AC, ita ſinus anguli ACD, ad ſinum anguli ADC, hoc eſt, ad
ſinum anguli ADB, cum anguli ad D, ſint recti. Ex æqualitate ergo, & per-
turbata proportione, erit, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus an-
guli ACD, ad ſinum anguli B; vt in appoſita formula apparet. Igitur & per-
mutando erit, vt ſinus arcus AB, in triangulo ABC, ad ſinum anguli ACB,
in eodem triangulo ABC, ita ſinus arcus AC, eiuſdem
trianguli ABC, ad ſinum anguli B, in eodem triangulo ABC.
arcus # anguli
AB. # ACD.
AD. # ADB.
AC. # B.
CADAT deinde arcus per A, &
polum circuli BC,
ductus in arcum BC, productum ad E, eritq́; angulus E, re-
2215. 1. Theod. ctus. Quoniam igitur in triangulo ABE, angulus E, rectus
eſt; erit, vt demonſtratum eſt, vt ſinus arcus AB, ad ſinum
anguli E, ita ſinus arcus AE, ad ſinum anguli B: & permu-
tando, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AE, ita ſinus anguli E, ad ſinum
anguli B. Sed eadem ratione, cum in triangulo ACE, angulus E, rectus ſit,
eſt, vt ſinus arcus AE, ad ſinum anguli ACE, ita ſinus arcus AC, ad ſi-
num anguli E: & permutando, vt ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, ita
ſinus anguli ACE, ad ſinum anguli E. Igitur ex æqualitate, & perturbata
proportione, erit vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AC,
ita ſinus anguli ACE, hoc eſt, anguli ACB, (cum idem ſit
33
arcus # anguli
AB. # ACE.
AE. # E.
AC. # B.
ſinus vtriuſq; anguli ad C, quòd eorum arcus ſemicirculum
conſtituant, vt conſtat ex coroll. propoſ. 5. huius tracta-
tus. Perſpicuum autem eſt ex ijs, quæ in tractatione ſinuum
diximus, duos arcus ſemicirculum conficientes, eundem ha-
bere ſinum.) ad ſinum anguli B; vt in appoſita ſormula ap-
paret. Igitur & permutando erit, vt ſinus arcus AB, in triangulo ABC,
ad ſinum anguli ACB, eiuſdem trianguli ABC, ita ſinus arcus AC, in
eodem triangulo ABC, ad ſinum anguli B, eiuſdem trianguli ABC. Quod
ſi ex B, ad arcum AC, ducatur alius arcus perpendicularis, qui vel intra trian
gulum cadet, vel in arcum productum, oſtendemus eodem modo, ita eſſe ſinũ
arcus AB, ad ſinum anguli ACB, vt eſt ſinus arcus BC, ad ſinum anguli
BAC. Itaque in omni triangulo ſphærico, ſinus cuiuſlibet arcus, & c. Quod
erat oſtendendum.
ductus in arcum BC, productum ad E, eritq́; angulus E, re-
2215. 1. Theod. ctus. Quoniam igitur in triangulo ABE, angulus E, rectus
eſt; erit, vt demonſtratum eſt, vt ſinus arcus AB, ad ſinum
anguli E, ita ſinus arcus AE, ad ſinum anguli B: & permu-
tando, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AE, ita ſinus anguli E, ad ſinum
anguli B. Sed eadem ratione, cum in triangulo ACE, angulus E, rectus ſit,
eſt, vt ſinus arcus AE, ad ſinum anguli ACE, ita ſinus arcus AC, ad ſi-
num anguli E: & permutando, vt ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, ita
ſinus anguli ACE, ad ſinum anguli E. Igitur ex æqualitate, & perturbata
proportione, erit vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AC,
ita ſinus anguli ACE, hoc eſt, anguli ACB, (cum idem ſit
33
arcus # anguli
AB. # ACE.
AE. # E.
AC. # B.
ſinus vtriuſq; anguli ad C, quòd eorum arcus ſemicirculum
conſtituant, vt conſtat ex coroll. propoſ. 5. huius tracta-
tus. Perſpicuum autem eſt ex ijs, quæ in tractatione ſinuum
diximus, duos arcus ſemicirculum conficientes, eundem ha-
bere ſinum.) ad ſinum anguli B; vt in appoſita ſormula ap-
paret. Igitur & permutando erit, vt ſinus arcus AB, in triangulo ABC,
ad ſinum anguli ACB, eiuſdem trianguli ABC, ita ſinus arcus AC, in
eodem triangulo ABC, ad ſinum anguli B, eiuſdem trianguli ABC. Quod
ſi ex B, ad arcum AC, ducatur alius arcus perpendicularis, qui vel intra trian
gulum cadet, vel in arcum productum, oſtendemus eodem modo, ita eſſe ſinũ
arcus AB, ad ſinum anguli ACB, vt eſt ſinus arcus BC, ad ſinum anguli
BAC. Itaque in omni triangulo ſphærico, ſinus cuiuſlibet arcus, & c. Quod
erat oſtendendum.
COROLLARIVM.
HINC perſpicuum eſt, in omni triangulo ſphærico rectangulo, vt eſt ſinus arcus rectum
angulum ſubtendentis ad ſinum totum, nempe ad ſinum anguli recti, quem ſubtendit, ita
eſſe ſinum cuiuſ@@bet reliquorum arcuum ad ſinum anguli, quem ſubtendit. Quod idcir.
co dixerim, quia plerique ſcriptores hoc corollarium, tanquàm propoſitionem ab hac no-
ftra propoſitione 41. diuerſam, demonſtrant: ſed placuit nobis propoſitionem hanc magis
vniuerſalem reddere, prout nimirum complectitur & triangulum ſphæricum rectangulum,
& non rectangulum.
angulum ſubtendentis ad ſinum totum, nempe ad ſinum anguli recti, quem ſubtendit, ita
eſſe ſinum cuiuſ@@bet reliquorum arcuum ad ſinum anguli, quem ſubtendit. Quod idcir.
co dixerim, quia plerique ſcriptores hoc corollarium, tanquàm propoſitionem ab hac no-
ftra propoſitione 41. diuerſam, demonſtrant: ſed placuit nobis propoſitionem hanc magis
vniuerſalem reddere, prout nimirum complectitur & triangulum ſphæricum rectangulum,
& non rectangulum.
SCHOLIVM.
IN hac, &
ſequentibus propoſitionibus adducemus problemata, quibus ſphæri-
corum triangulorum rectangulorum calculus perficitur, quæq́; ex ipſis propoſitioni-
bus eliciuntur, Quanquam autem nonnunquam in problemate aliquo plura
corum triangulorum rectangulorum calculus perficitur, quæq́; ex ipſis propoſitioni-
bus eliciuntur, Quanquam autem nonnunquam in problemate aliquo plura