433421
rimus, vt vtraque in omnibus caſibus demonſtraretur:
ſatis tamen fuißet, ſi vtraq;
11tico rectan
gulo, cuius
omnes ar-
cus ſint qua
drante mi-
nores, locũ
etiã habet i
omni trian
gulo ſphæ-
rico rectan
gulo. in primo caſu, exiſtentibus nimirum omnibus arcubus quadrante minoribus, demon
ſtratione fuiſſet confirmata. Eo enim caſu demonſtrato, facile demonſtrationem om-
nibus alijs caſibus accommodabimus. Sit nam-
que triangulum ſphæricum quodcunq; rectan
287[Figure 287]
gulum ACD, habens angulum C, rectum.
Aut
igitur duo arcus AC, CD, circa angulum re-
ctum quadrãte ſunt minores, ac proinde & ter
tius arcus AD, quadrante quoque minor; aut
vnus quadrante maior, & alter minor; aut
2235. huius., denique ambo quadrante maiores: Nam de eo
ſolo ſphærico triangulo rectangulo agimus, in
quo nullus arcus eſt quadrãs. Sint primum duo
arcus AC, CD, circa angulum rectum quadrante minores: quo poſito, erit vterque
3334. huius. angulus D, A, acutus, proptereaque triangulo ACD, demonſtratio vtriuſque pro-
poſitionis conueniet, quo ad primum caſum.
11tico rectan
gulo, cuius
omnes ar-
cus ſint qua
drante mi-
nores, locũ
etiã habet i
omni trian
gulo ſphæ-
rico rectan
gulo. in primo caſu, exiſtentibus nimirum omnibus arcubus quadrante minoribus, demon
ſtratione fuiſſet confirmata. Eo enim caſu demonſtrato, facile demonſtrationem om-
nibus alijs caſibus accommodabimus. Sit nam-
que triangulum ſphæricum quodcunq; rectan
igitur duo arcus AC, CD, circa angulum re-
ctum quadrãte ſunt minores, ac proinde & ter
tius arcus AD, quadrante quoque minor; aut
vnus quadrante maior, & alter minor; aut
2235. huius., denique ambo quadrante maiores: Nam de eo
ſolo ſphærico triangulo rectangulo agimus, in
quo nullus arcus eſt quadrãs. Sint primum duo
arcus AC, CD, circa angulum rectum quadrante minores: quo poſito, erit vterque
3334. huius. angulus D, A, acutus, proptereaque triangulo ACD, demonſtratio vtriuſque pro-
poſitionis conueniet, quo ad primum caſum.
SIT deinde arcus DC, quadrante maior, &
CA, minor.
Productis arcubus DC,
DA, donec coeant in B; erunt DAb, DCB, ſemicirculi; atque adeo CB, qua-
4411. 1 Theod. drante minor. Sunt ergo in triangulo ACB, duo arcus AC, CB, circa angulum re-
ctum C, quadrante minores. Quare, vt proxime oſtendimus, ei vtriuſque propoſi-
tionis demonſtratio, quo ad primum caſum, conueniet. Cum ergo ijdem ſinus tam re-
cti, quam complementorum, ſint arcuum, & angulorum trianguli ACB, qui arcuum,
& angulorum trianguli AcD; (Nam, vt in ſinubus diximus, arcus CD, CB, eun-
dem ſinum habent tam rectum, quam complementi, necnon & arcus AD, AB. Item
tam recti anguli ad C, eundem ſinum habent, nempe totum, quam anguli obliqui ad
A, cum duobus rectis ſint æquales. Denique & anguli D, B, eundem ſinum habent,
555. huius. cum ſint inter ſe æquales: Arcus autem Ac, vtrique triangulo communis eſt.) li-
6613. primi. quido conſtat, quicquid de ſinubus arcuum, angulorumq́; trianguli ACB, fuerit
oſtenſum, idem in ſinubus arcuum, & angulorum trianguli ACD, locum habere.
DA, donec coeant in B; erunt DAb, DCB, ſemicirculi; atque adeo CB, qua-
4411. 1 Theod. drante minor. Sunt ergo in triangulo ACB, duo arcus AC, CB, circa angulum re-
ctum C, quadrante minores. Quare, vt proxime oſtendimus, ei vtriuſque propoſi-
tionis demonſtratio, quo ad primum caſum, conueniet. Cum ergo ijdem ſinus tam re-
cti, quam complementorum, ſint arcuum, & angulorum trianguli ACB, qui arcuum,
& angulorum trianguli AcD; (Nam, vt in ſinubus diximus, arcus CD, CB, eun-
dem ſinum habent tam rectum, quam complementi, necnon & arcus AD, AB. Item
tam recti anguli ad C, eundem ſinum habent, nempe totum, quam anguli obliqui ad
A, cum duobus rectis ſint æquales. Denique & anguli D, B, eundem ſinum habent,
555. huius. cum ſint inter ſe æquales: Arcus autem Ac, vtrique triangulo communis eſt.) li-
6613. primi. quido conſtat, quicquid de ſinubus arcuum, angulorumq́; trianguli ACB, fuerit
oſtenſum, idem in ſinubus arcuum, & angulorum trianguli ACD, locum habere.
POSTREMO ſint duo arcus DC, CA, quadrante maiores:
quo poſito, erit
arcus CB, minor quadrante. Habet igitur triangulum ACB, arcum AC, circa
angulum rectum C, quadrante maiorem, & Cb, minorem. Quare ei, vt proxime
eſt demonſtratum, vtraque propoſitio conueniet. Cum ergo ijdem ſinus tam recti,
quam complementorum, ſint arcuum, & angulorum trianguli ACB, qui arcuum,
& angulorum trianguli ACD, vt paulo ante diximus, liquet eaſdem propoſitiones
triangulo quoque ACD, conuenire. Perſpicuum ergo eſt, quicquid de ſinubus arcuum,
angulorumq́; trianguli ſphærici rectanguli, cuius duo arcus circa angulum rectum
quadrante ſint minores, demonſtratum fuerit, locum etiam habere in quocunq; alio
triangulo ſphærico rectangulo.
arcus CB, minor quadrante. Habet igitur triangulum ACB, arcum AC, circa
angulum rectum C, quadrante maiorem, & Cb, minorem. Quare ei, vt proxime
eſt demonſtratum, vtraque propoſitio conueniet. Cum ergo ijdem ſinus tam recti,
quam complementorum, ſint arcuum, & angulorum trianguli ACB, qui arcuum,
& angulorum trianguli ACD, vt paulo ante diximus, liquet eaſdem propoſitiones
triangulo quoque ACD, conuenire. Perſpicuum ergo eſt, quicquid de ſinubus arcuum,
angulorumq́; trianguli ſphærici rectanguli, cuius duo arcus circa angulum rectum
quadrante ſint minores, demonſtratum fuerit, locum etiam habere in quocunq; alio
triangulo ſphærico rectangulo.
IDEM prorſus dicendum eſt de tertio caſu propoſ.
41.
Satis enim fuiſſet illum
demonſtraſſe in triangulo rectangulo, cuius omnes arcus ſunt quadrante minores,
quale est triangulum ſecundæ figuræ propoſ. 41 dictæ; cum eius trianguli demon-
ſtratio omnibus alijs conueniat, vt ex demonſtratis in hoc ſcholio eſt manifeſtum.
demonſtraſſe in triangulo rectangulo, cuius omnes arcus ſunt quadrante minores,
quale est triangulum ſecundæ figuræ propoſ. 41 dictæ; cum eius trianguli demon-
ſtratio omnibus alijs conueniat, vt ex demonſtratis in hoc ſcholio eſt manifeſtum.
EX his, quæ proximis tribus propoſitionibus demonſtrauimus, abſolutus iam per
ſinus eſt calculus triangulorum ſphæricorum rectangulorum: quareiam non rectan
gulorum calculus ſequi deberet. Sed quia per lineas tangentes, ac ſecantes breuius
plerunque triangulorum rectangulorum calculus, quam per ſinus, expeditur,
ſinus eſt calculus triangulorum ſphæricorum rectangulorum: quareiam non rectan
gulorum calculus ſequi deberet. Sed quia per lineas tangentes, ac ſecantes breuius
plerunque triangulorum rectangulorum calculus, quam per ſinus, expeditur,