4432I.O. BAPT. BENED.
licet quanta ſumma eſt maioris cum proueniente.
Cuius ſpeculationis cauſa, maior numerus ſignificetur .a.i. et minor linea .a.o. ex
quo ex præſupoſito .o.i. vnitas erit. Sit autem proueniens ex diuiſione .a.i. per .a.o.
a.e: quod .e.a. directè coniungatur ipſi .a.i. et productum .a.i. in .a.e. ſit .u.i. Probabo
numerum ſuperficialem .u.i. æqualem eſſe lineari .i.a.e. quare meminiſſe oportet,
decimotertio theoremate probatum fuiſſe, quod ſi numerus diuiſibilis per pro-
ueniens diuidatur, proueniens futurus ſit numerus diuidens, quare .a.o. erit pro-
ueniens ex diuiſione .a.i. per .a.e. & ex deſinitione diuiſionis ita ſe habebit .e.a. ad .
a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componondo ita .e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a. quare .a.i. erit me-
dia pportionalis inter .e.i. et .a.o. ſed .a.i. non modò diuiſa nunc cogitatur ab .e.a. ex
quo ſit proueniens .a.o. ſed etiam per eandem .e.a. multiplicata, ex quo produ-
ctum oriatur .u.i. Itaque; ex .25. theobema-
te .a.i. media eſt proportionalis inter .u.
60[Figure 60]
i. et .a.o.
Quare. ex .11. quinti. eadem erit
proportio .u.i. ad .a.i. ſicut .e.i. ad eandem .
a.i. Igitur ex .9. prædicti numerus .u.i.
æqualis erit numero .e.i. quod erat propoſitum.
quo ex præſupoſito .o.i. vnitas erit. Sit autem proueniens ex diuiſione .a.i. per .a.o.
a.e: quod .e.a. directè coniungatur ipſi .a.i. et productum .a.i. in .a.e. ſit .u.i. Probabo
numerum ſuperficialem .u.i. æqualem eſſe lineari .i.a.e. quare meminiſſe oportet,
decimotertio theoremate probatum fuiſſe, quod ſi numerus diuiſibilis per pro-
ueniens diuidatur, proueniens futurus ſit numerus diuidens, quare .a.o. erit pro-
ueniens ex diuiſione .a.i. per .a.e. & ex deſinitione diuiſionis ita ſe habebit .e.a. ad .
a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componondo ita .e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a. quare .a.i. erit me-
dia pportionalis inter .e.i. et .a.o. ſed .a.i. non modò diuiſa nunc cogitatur ab .e.a. ex
quo ſit proueniens .a.o. ſed etiam per eandem .e.a. multiplicata, ex quo produ-
ctum oriatur .u.i. Itaque; ex .25. theobema-
te .a.i. media eſt proportionalis inter .u.
proportio .u.i. ad .a.i. ſicut .e.i. ad eandem .
a.i. Igitur ex .9. prædicti numerus .u.i.
æqualis erit numero .e.i. quod erat propoſitum.
THEOREMA XLIX.
IDipſtim etiam alia ratione conſiderari poteſt.
Linea .u.a. ſecetur in puncto .t. ita vt .a.t. æqualis ſit vnitati .o.i. & media paral
lela .t.n. terminetur productum .t.i. quod conſtabit æquali numero, quamuis ſuperfi-
ciali, numero .a.i. tametſi lineari. Tumparallela ducatur à puncto .o. ipſi .a.u. termi
neturque; productum .o.u. ex quo bina producta dabuntur .u.o. et .t.i. inter ſe æqualia
ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi cum ita ſe habeat .a.i. ad .a.u. ſicut .a.o. ad .a.t. ſed .a.i. ad .
a.o. permutando ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .a.t. & ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſepti-
mi ſic ſe habet .u.i. ad .u.o. ſicut .a.i. ad .a.
61[Figure 61]
o. hoc eſt .u.i. ad .t.i. ope .11. quinti.
Iam
ex definitione diuiſionis ita ſe habet .a.e.
ad .a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componendo .
e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a. Itaque ex præ-
dicta .11. ſic ſe habebit .e.i. ad .i.a. ſicut .u.
i. ad .t.i. ſed .t.i. numero conſtat æquali .a.
i. quare ex .9. quinti numerus .u.i. numero .e.i. æqualis erit.
lela .t.n. terminetur productum .t.i. quod conſtabit æquali numero, quamuis ſuperfi-
ciali, numero .a.i. tametſi lineari. Tumparallela ducatur à puncto .o. ipſi .a.u. termi
neturque; productum .o.u. ex quo bina producta dabuntur .u.o. et .t.i. inter ſe æqualia
ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi cum ita ſe habeat .a.i. ad .a.u. ſicut .a.o. ad .a.t. ſed .a.i. ad .
a.o. permutando ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .a.t. & ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſepti-
mi ſic ſe habet .u.i. ad .u.o. ſicut .a.i. ad .a.
ex definitione diuiſionis ita ſe habet .a.e.
ad .a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componendo .
e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a. Itaque ex præ-
dicta .11. ſic ſe habebit .e.i. ad .i.a. ſicut .u.
i. ad .t.i. ſed .t.i. numero conſtat æquali .a.
i. quare ex .9. quinti numerus .u.i. numero .e.i. æqualis erit.
THEOREMA L.
CVR diuidentes numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes, vt productum
vnius in alteram cum i pſarum differentia in ſummam collectum, æquale ſit
alicui alteri numero maiori primo. Rectè primum ex ſecundo detrahunt, reſiduum
verò conſeruant, tum ex primo ſemper binarium deſumunt, dimidiumque; conſer-
uant, alterum verò dimidium in ſeipſo multiplicant, & ex quadrato numerum con
ſeruatum eruunt, reſiduique; radicem ex dimidio conſeruato, quod vltimum reſi-
duum propoſiti numeri quæſita pars minor eſt.
vnius in alteram cum i pſarum differentia in ſummam collectum, æquale ſit
alicui alteri numero maiori primo. Rectè primum ex ſecundo detrahunt, reſiduum
verò conſeruant, tum ex primo ſemper binarium deſumunt, dimidiumque; conſer-
uant, alterum verò dimidium in ſeipſo multiplicant, & ex quadrato numerum con
ſeruatum eruunt, reſiduique; radicem ex dimidio conſeruato, quod vltimum reſi-
duum propoſiti numeri quæſita pars minor eſt.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus .20. ita diuidendus, vt productum vnius partis
in alteram, cum partium differentia collectum in ſummam, æquale ſit propoſito
in alteram, cum partium differentia collectum in ſummam, æquale ſit propoſito