1108τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων καὶ εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ παρα-
τιθεμένου τυμπάνου.
τιθεμένου τυμπάνου.
Ἔστω τύμπανον τὸ Α, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων
ἔστω ὁ Β ἀριθμὸς [μονάδων ξ#], καὶ παρακείσθω τῷ Α
τὸ Γ τύμπανον, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων ἔστω ὁ Δ
ἀριθμὸς [μονάδων μ#]· δεῖ δὴ τοῦ Γ τὴν διάμετρον εὑρεῖν.
ἔστω ὁ Β ἀριθμὸς [μονάδων ξ#], καὶ παρακείσθω τῷ Α
τὸ Γ τύμπανον, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων ἔστω ὁ Δ
ἀριθμὸς [μονάδων μ#]· δεῖ δὴ τοῦ Γ τὴν διάμετρον εὑρεῖν.
Ἐπεὶ οὖν ὁ Β ἀριθμὸς πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Α,
ὁ δὲ Δ πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Γ [καὶ ἔστιν τὸ μὲν
πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α ἡ περίμετρος αὐτοῦ, τὸ δὲ πλῆ-
θος τῶν ὀδόντων τοῦ Γ ἡ περίμετρος αὐτοῦ], ἔστιν ἄρα ὡς
ὁ Β ἀριθμὸς πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ Α πρὸς
τὴν περίμετρον τοῦ Γ. ὡς δὲ ἡ περίμετρος πρὸς τὴν πε-
ρίμετρον, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον. λόγος
δὲ τοῦ Β ἀριθμοῦ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν δοθείς [ἔστιν γὰρ
ὁ τῶν ξ# πρὸς τὰ μ#]· λόγος ἄρα καὶ τῆς διαμέτρου τοῦ Α
πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Γ δοθείς [ὁ τῶν ξ# πρὸς τὰ μ#].
καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ διάμετρος τοῦ Α· δοθεῖσα ἄρα καὶ
ἡ διάμετρος τοῦ Γ [δεῖ γὰρ ποιεῖν ὡς τὸν ξ# ἀριθμὸν πρὸς
τὸν μ#, οὕτως τὴν διάμετρον τοῦ Α πρὸς ἄλλην τινά, καὶ
ὁ περὶ διάμετρον ἐκείνην γραφόμενος κύκλος ἴσος ἔσται τῷ
ζητουμένῳ τυμπάνῳ].
ὁ δὲ Δ πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Γ [καὶ ἔστιν τὸ μὲν
πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α ἡ περίμετρος αὐτοῦ, τὸ δὲ πλῆ-
θος τῶν ὀδόντων τοῦ Γ ἡ περίμετρος αὐτοῦ], ἔστιν ἄρα ὡς
ὁ Β ἀριθμὸς πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ Α πρὸς
τὴν περίμετρον τοῦ Γ. ὡς δὲ ἡ περίμετρος πρὸς τὴν πε-
ρίμετρον, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον. λόγος
δὲ τοῦ Β ἀριθμοῦ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν δοθείς [ἔστιν γὰρ
ὁ τῶν ξ# πρὸς τὰ μ#]· λόγος ἄρα καὶ τῆς διαμέτρου τοῦ Α
πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Γ δοθείς [ὁ τῶν ξ# πρὸς τὰ μ#].
καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ διάμετρος τοῦ Α· δοθεῖσα ἄρα καὶ
ἡ διάμετρος τοῦ Γ [δεῖ γὰρ ποιεῖν ὡς τὸν ξ# ἀριθμὸν πρὸς
τὸν μ#, οὕτως τὴν διάμετρον τοῦ Α πρὸς ἄλλην τινά, καὶ
ὁ περὶ διάμετρον ἐκείνην γραφόμενος κύκλος ἴσος ἔσται τῷ
ζητουμένῳ τυμπάνῳ].
Ὀργανικῶς δὲ οὕτως· ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ τε-
τμημένη εἰς ἴσα, ἴσα τὸ πλῆθος τοῖς ὀδοῦσι τοῦ Α τυμ-
πάνου [τουτέστιν ξ#], καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀχθεῖσα κείσθω
διαμέτρῳ τοῦ Α τυμπάνου ἴση ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ
ΕΗ, καὶ [οἵων ἡ ΕΖ ξ#, τοιούτων μ#] ἀπειλήφθω ἡ ΕΘ
τοῦ πλήθους τῶν ὀδόντων τοῦ Γ γινομένη, καὶ διὰ τοῦ Θ
παράλληλος τῇ ΖΗ ἤχθω ἡ ΘΚ· καὶ ἔσται ἄρα ἡ ΘΚ ἴση
τῇ διαμέτρῳ τοῦ Γ τυμπάνου [1φανερὰ γὰρ ἡ ἀπόδειξισ]1.
τμημένη εἰς ἴσα, ἴσα τὸ πλῆθος τοῖς ὀδοῦσι τοῦ Α τυμ-
πάνου [τουτέστιν ξ#], καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀχθεῖσα κείσθω
διαμέτρῳ τοῦ Α τυμπάνου ἴση ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ
ΕΗ, καὶ [οἵων ἡ ΕΖ ξ#, τοιούτων μ#] ἀπειλήφθω ἡ ΕΘ
τοῦ πλήθους τῶν ὀδόντων τοῦ Γ γινομένη, καὶ διὰ τοῦ Θ
παράλληλος τῇ ΖΗ ἤχθω ἡ ΘΚ· καὶ ἔσται ἄρα ἡ ΘΚ ἴση
τῇ διαμέτρῳ τοῦ Γ τυμπάνου [1φανερὰ γὰρ ἡ ἀπόδειξισ]1.
κη#. Πῶς δὲ κατασκευάζεται κοχλίας τὴν ἕλικα ἁρμο-
στὴν ἔχων τοῖς λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ δοθέντος τυμπάνου, φα-
νερὸν οὕτως ἔσται.
στὴν ἔχων τοῖς λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ δοθέντος τυμπάνου, φα-
νερὸν οὕτως ἔσται.