446144VITELLONIS OPTICAEillorum:
& omnis angulus illi propinquior eſt minor remotiore.
Quia uerò ab angulo trigoni g z a
487[Figure 487]d s z p g k e d h b r deſcendit linea z e ad medium baſis, quæ eſt a g, per-
pendiculariter, & ab angulo trigonih z p deſcẽdit ea-
dem linea z e obliquè ad medium baſis h p: eſtq́ linea
z e minor medietate utriuſq; illarum baſium æqualiũ,
ut patet ex hypotheſi: palàm per 50 th. 1 huius, quoniã
angulus g z a eſt minor angulo h z p: item per 51 th. 1
huius angulus h z p eſt minor angulo d z b. Similiter
quoq; de quibuſcunq; diametris medijs demonſtran-
dum. Patet ergo per 20 huius, quoniam omnium illa-
rum diametrorum a guidetur minima, & d b maxima,
& mediæ medio modo ſe habentes, ſecundum quod
plus approximant hinc & inde. Duæ quoq; diametri
æqualiter diſtantes ab extremis, uidentur ęquales per
54 huius. Patet ergo propoſitum. Sed & ſuppoſitis ijs,
quæ per 39 th. 1 huius declarata ſunt, poteſt reliquum
aliter demonſtrari: Aſſumatur, ut in præmiſſa, linea k l
æqualis diametro g d: & diuidatur in duo æqualia in
puncto m: & producatur à puncto m perpendiculari-
ter linea m o æqualis lineæ e z: erit ergo linea m o ex hypotheſi minor ſemidiametro g e, & minor
488[Figure 488]o x k q m l linea k m: & ducãtur lineę k o & l o. Trigono quoq;
k o l circumſcribatur circuli portio per 5 p 4, quę ſit
k o l: eſt autem illa portio minor ſemicirculo: quia
linea m o eſt minor ſemidiametro: eritq́ per 4 & 8
pιangulus k o l æqualis angulo g z a. Sititem per
23 p 1 angulo p e z æqualis angulus k m x: & ſit linea
x m æqualis lineæ e z: ductisq́ lineis k x & l x, cir-
cumſcribatur trigono k x l portio circuli k x l: &
erit modo præmiſſo angulus k x l æqualis angulo h
z p. Item ſit angulus k m q æqualis angulo a e z: & ſit linea m q æqualis e z: ductisq́ lineis k q & l q,
ut prius, deſcribatur portio circuli k q l: & êrit angulus k q l æqualis angulo d z b. Et quia ut in præ-
miſſa patuit, erit angulus k o l minor angulo k x l, & angulus k x l minor angulo k q l: erit angulus g
z a minorangulo h z p, & angulus h z p minor angulo d z b. Apparebit ergo diameter d b maior
quàm diameter h p, & h p maior quàm g d. Diameter uerò h p & e i æqualiter condiſtans (quæ s r)
à diametro g a, æquales apparebunt per 54 huius. Et hoc eſt propoſitum.
487[Figure 487]d s z p g k e d h b r deſcendit linea z e ad medium baſis, quæ eſt a g, per-
pendiculariter, & ab angulo trigonih z p deſcẽdit ea-
dem linea z e obliquè ad medium baſis h p: eſtq́ linea
z e minor medietate utriuſq; illarum baſium æqualiũ,
ut patet ex hypotheſi: palàm per 50 th. 1 huius, quoniã
angulus g z a eſt minor angulo h z p: item per 51 th. 1
huius angulus h z p eſt minor angulo d z b. Similiter
quoq; de quibuſcunq; diametris medijs demonſtran-
dum. Patet ergo per 20 huius, quoniam omnium illa-
rum diametrorum a guidetur minima, & d b maxima,
& mediæ medio modo ſe habentes, ſecundum quod
plus approximant hinc & inde. Duæ quoq; diametri
æqualiter diſtantes ab extremis, uidentur ęquales per
54 huius. Patet ergo propoſitum. Sed & ſuppoſitis ijs,
quæ per 39 th. 1 huius declarata ſunt, poteſt reliquum
aliter demonſtrari: Aſſumatur, ut in præmiſſa, linea k l
æqualis diametro g d: & diuidatur in duo æqualia in
puncto m: & producatur à puncto m perpendiculari-
ter linea m o æqualis lineæ e z: erit ergo linea m o ex hypotheſi minor ſemidiametro g e, & minor
488[Figure 488]o x k q m l linea k m: & ducãtur lineę k o & l o. Trigono quoq;
k o l circumſcribatur circuli portio per 5 p 4, quę ſit
k o l: eſt autem illa portio minor ſemicirculo: quia
linea m o eſt minor ſemidiametro: eritq́ per 4 & 8
pιangulus k o l æqualis angulo g z a. Sititem per
23 p 1 angulo p e z æqualis angulus k m x: & ſit linea
x m æqualis lineæ e z: ductisq́ lineis k x & l x, cir-
cumſcribatur trigono k x l portio circuli k x l: &
erit modo præmiſſo angulus k x l æqualis angulo h
z p. Item ſit angulus k m q æqualis angulo a e z: & ſit linea m q æqualis e z: ductisq́ lineis k q & l q,
ut prius, deſcribatur portio circuli k q l: & êrit angulus k q l æqualis angulo d z b. Et quia ut in præ-
miſſa patuit, erit angulus k o l minor angulo k x l, & angulus k x l minor angulo k q l: erit angulus g
z a minorangulo h z p, & angulus h z p minor angulo d z b. Apparebit ergo diameter d b maior
quàm diameter h p, & h p maior quàm g d. Diameter uerò h p & e i æqualiter condiſtans (quæ s r)
à diametro g a, æquales apparebunt per 54 huius. Et hoc eſt propoſitum.
57. Centro uiſus exiſtente in linea erecta ſuper ſuperficiem quadrati in pũcto interſectionis
duorũ diagoniorũ: latera quadrati æqualia apparent, & diametri æquales. Euclides 59 th. opt.
duorũ diagoniorũ: latera quadrati æqualia apparent, & diametri æquales. Euclides 59 th. opt.
Sittetragonus a b g d:
& protrahátur in ipſo diagonij a g, b d:
& earum interſectio ſit e:
erigatur
e z ſuper ſuperficiem tetragoni per 12 p 11: ponatur̀q́ oculus in aliquo
489[Figure 489]z a b e g d puncto lineæ e z, ut in z: & ducátur lineæ z a, z b, z d, z g. Quia itaq; per
40 th. 1 huius medietates diagoniorum inter ſe ſunt æquales, ut d e &
g e, & linea e z eſt communis duobus trigonis d z e & g z e, & anguli
circa e ſunt recti per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ: erit
per 4 p 1 baſis z g æ qualis baſi z d, & angulus e z g ęqualis angulo e z d:
uidebitur ita q; linea d e æ qualis line æ g e per 20 huius. Et ſimiliter per
eadem, quia angulus a z e eſt ęqualis angulo b z e, uidebitur ergo linea
a e æ qualis line æ b e: tota quoq; linea d b apparebit æ qualis toti lineæ
a g. Et quoniá linea g z eſt æ qualis lineæ b z, & linea a z æqualis lineæ
d z, & linea a b eſt æ qualis ipſi g d: quoniam ſuntlatera eiuſdem qua-
drati, & ſic tria latera unius trigoni ſunt æ qualia tribus lateribus alte-
rius: ergo per 8 p 1 anguli æ qualibus lateribus contenti ſunt æ quales:
omnia itaq; latera ipſius quadrati hoc modo æ qualia apparebunt. Et
hoc eſt propoſitum: quoniam in omni puncto lineæ e z eadem eſt de-
monſtratio, concludendo ſem per per 20 huius.
e z ſuper ſuperficiem tetragoni per 12 p 11: ponatur̀q́ oculus in aliquo
489[Figure 489]z a b e g d puncto lineæ e z, ut in z: & ducátur lineæ z a, z b, z d, z g. Quia itaq; per
40 th. 1 huius medietates diagoniorum inter ſe ſunt æquales, ut d e &
g e, & linea e z eſt communis duobus trigonis d z e & g z e, & anguli
circa e ſunt recti per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ: erit
per 4 p 1 baſis z g æ qualis baſi z d, & angulus e z g ęqualis angulo e z d:
uidebitur ita q; linea d e æ qualis line æ g e per 20 huius. Et ſimiliter per
eadem, quia angulus a z e eſt ęqualis angulo b z e, uidebitur ergo linea
a e æ qualis line æ b e: tota quoq; linea d b apparebit æ qualis toti lineæ
a g. Et quoniá linea g z eſt æ qualis lineæ b z, & linea a z æqualis lineæ
d z, & linea a b eſt æ qualis ipſi g d: quoniam ſuntlatera eiuſdem qua-
drati, & ſic tria latera unius trigoni ſunt æ qualia tribus lateribus alte-
rius: ergo per 8 p 1 anguli æ qualibus lateribus contenti ſunt æ quales:
omnia itaq; latera ipſius quadrati hoc modo æ qualia apparebunt. Et
hoc eſt propoſitum: quoniam in omni puncto lineæ e z eadem eſt de-
monſtratio, concludendo ſem per per 20 huius.
58. Sirect a linea maior uel minor medietate diagonij quadrati,
à medio puncto centro uiſus incidens, obliquata ſuper eius ſuperfi-
ciem, æquales angulos contineat cum diuerſis medietatibus diago-
niorum: diagonij illius quadrati apparebunt æquales.
à medio puncto centro uiſus incidens, obliquata ſuper eius ſuperfi-
ciem, æquales angulos contineat cum diuerſis medietatibus diago-
niorum: diagonij illius quadrati apparebunt æquales.
Sit quadratum a b c d:
cuius medius punctus inueniatur per 40 th.
1 huius, quod ſit e:
& ducãtur
diagonija e b & c e d: ſitq́; cẽtrum uiſus f: & linea fe ſit maior quàm linea e a medietate diagonij, uel
minor illa: ſit quoq; linea f e obliquata ſuper ſuperficiem quadrati, ſit tamen angulus f e a æqualis
angulo f e c. Dico, quòd adhuc diagonij ipſius quadrati ęquales apparebunt. Circa pũctuιn enim e
deſcribatur circulus ad quantitatem ſemidiametri e a: palàm ergo (cum omnes medietates diago-
diagonija e b & c e d: ſitq́; cẽtrum uiſus f: & linea fe ſit maior quàm linea e a medietate diagonij, uel
minor illa: ſit quoq; linea f e obliquata ſuper ſuperficiem quadrati, ſit tamen angulus f e a æqualis
angulo f e c. Dico, quòd adhuc diagonij ipſius quadrati ęquales apparebunt. Circa pũctuιn enim e
deſcribatur circulus ad quantitatem ſemidiametri e a: palàm ergo (cum omnes medietates diago-