45 nalem intermediam: et per conſequens iam nõ ha
bet ſubquadruplam rationalem. Patet hec con-
ſequentia / quia ex oppoſito ſequitur oppoſituꝫ / vt
patet ex decima diffinitione quinti elementorum
euclidis. Iam probo priorem conſequentiam vi-
delicet / ſi inter terminos date proportionis non
fuerit numerus qui ſit medium proportionabile:
non reperiuntur ibi .5. numeri cõtinuo proportio
nabiles. Que probatur ſic: q2 ex oppoſito conſe-
quentis ſequitur oppoſitum ãtecedentis: q2 ſi ſūt
ibi quin numeri continuo ꝓportionabiles iam
ibi tertius numerus eſt medio loco ꝓportionabi-
lis: quia primi ad ipſum eſt ea proportio que ē ip
ſius ad quintum / vt conſtat: quia ex equalibus cõ-
ponuntur ille ꝓportiones adequate. Et ſic proba
bis alias partes. 11correĺm. ¶ Ex hac concluſione ſequitur /
ſi inter terminos alicuius proportionis fuerit nu
merus qui ſit medium proportionabile ipſa ha-
bet ſubduplam rationalem et ſi ipſius numeri me
dii proportio ad aliud extremuꝫ minus date pro-
portionis haberit numerum qui ſit medium pro-
portionabile: tunc tota proportio habet ſubqua
druplam rationalem: et ſi iteruꝫ illius numeri me
dii proportio ad minus extremum date ꝓportio-
nis habuerit numerum qui ſit medium ꝓportio-
nabile: iam data proportio habebit ſuboctuplaꝫ
rationalem / et ſic in infinitum. Patet hoc correla
rium ex concluſione et eius ꝓbatione: auxilianti-
bus correlariis ſexte concluſionis ſecūdi capitis
bet ſubquadruplam rationalem. Patet hec con-
ſequentia / quia ex oppoſito ſequitur oppoſituꝫ / vt
patet ex decima diffinitione quinti elementorum
euclidis. Iam probo priorem conſequentiam vi-
delicet / ſi inter terminos date proportionis non
fuerit numerus qui ſit medium proportionabile:
non reperiuntur ibi .5. numeri cõtinuo proportio
nabiles. Que probatur ſic: q2 ex oppoſito conſe-
quentis ſequitur oppoſitum ãtecedentis: q2 ſi ſūt
ibi quin numeri continuo ꝓportionabiles iam
ibi tertius numerus eſt medio loco ꝓportionabi-
lis: quia primi ad ipſum eſt ea proportio que ē ip
ſius ad quintum / vt conſtat: quia ex equalibus cõ-
ponuntur ille ꝓportiones adequate. Et ſic proba
bis alias partes. 11correĺm. ¶ Ex hac concluſione ſequitur /
ſi inter terminos alicuius proportionis fuerit nu
merus qui ſit medium proportionabile ipſa ha-
bet ſubduplam rationalem et ſi ipſius numeri me
dii proportio ad aliud extremuꝫ minus date pro-
portionis haberit numerum qui ſit medium pro-
portionabile: tunc tota proportio habet ſubqua
druplam rationalem: et ſi iteruꝫ illius numeri me
dii proportio ad minus extremum date ꝓportio-
nis habuerit numerum qui ſit medium ꝓportio-
nabile: iam data proportio habebit ſuboctuplaꝫ
rationalem / et ſic in infinitum. Patet hoc correla
rium ex concluſione et eius ꝓbatione: auxilianti-
bus correlariis ſexte concluſionis ſecūdi capitis
Decima concluſio notanda.
Propo
ſita quauis proportione rationali an habeat ſub
duplam rationalem inueſtigare. vt propoſita du
pla aut tripla volo īueſtigare et ſcire ex predictis
an habeat ſubduplã rationalem. Sit propoſita
proportio rationalis f. inter a. numerū maiorem
et b. numerum minoreꝫ. et volo inueſtigare vtrum
f. ꝓportio habeat ſubduplã rationalem: tunc du-
cam maiorem numerum in minorem / hoc eſt multi
plicabo a. per b. et ſi numerus inde ꝓueniens fue-
rit quadratus: dico / habet ſubduplam rationa
lem. ſin minus non habet ſubduplam rationalem
Probatur prima pars videlicet / ſi numerus qui
fit ex ductu ipſius a. in b. ſit quadratus: tunc ha-
bet ſubduplam rationalem. quia ſit talis numerꝰ
eſt quadratus: tunc inter a. et b. eſt medius nume-
rus proportionabilis / vt patet ex quarto correla
rio ſexte concluſionis ſecundi capitis huius par-
tis: et ſi ſit numerus qui ſit medium ꝓportionabi
le inter a. et b. / ſequitur / illa proportio habet ſub
duplam rationalem. Patet conſequentia ex cor-
relario precedentis. Iam probatur ſecunda pars /
quia ſi numerus qui fit ex ductu a. in b. non ſit qua
dratus: iam inter a. et b. non eſt numerus qui ē me
dio loco proportionabilis / vt patet ex ſecundo cor
relario ſexte concluſionis ſecundi capitis huius:
et ſi non eſt numerus qui eſt medio loco proportio
nabilis inter a. et b. iam ille non habet ſubduplaꝫ
rationalem / vt patet ex concluſione nona huius.
ſita quauis proportione rationali an habeat ſub
duplam rationalem inueſtigare. vt propoſita du
pla aut tripla volo īueſtigare et ſcire ex predictis
an habeat ſubduplã rationalem. Sit propoſita
proportio rationalis f. inter a. numerū maiorem
et b. numerum minoreꝫ. et volo inueſtigare vtrum
f. ꝓportio habeat ſubduplã rationalem: tunc du-
cam maiorem numerum in minorem / hoc eſt multi
plicabo a. per b. et ſi numerus inde ꝓueniens fue-
rit quadratus: dico / habet ſubduplam rationa
lem. ſin minus non habet ſubduplam rationalem
Probatur prima pars videlicet / ſi numerus qui
fit ex ductu ipſius a. in b. ſit quadratus: tunc ha-
bet ſubduplam rationalem. quia ſit talis numerꝰ
eſt quadratus: tunc inter a. et b. eſt medius nume-
rus proportionabilis / vt patet ex quarto correla
rio ſexte concluſionis ſecundi capitis huius par-
tis: et ſi ſit numerus qui ſit medium ꝓportionabi
le inter a. et b. / ſequitur / illa proportio habet ſub
duplam rationalem. Patet conſequentia ex cor-
relario precedentis. Iam probatur ſecunda pars /
quia ſi numerus qui fit ex ductu a. in b. non ſit qua
dratus: iam inter a. et b. non eſt numerus qui ē me
dio loco proportionabilis / vt patet ex ſecundo cor
relario ſexte concluſionis ſecundi capitis huius:
et ſi non eſt numerus qui eſt medio loco proportio
nabilis inter a. et b. iam ille non habet ſubduplaꝫ
rationalem / vt patet ex concluſione nona huius.
Patet igitur concluſio. 22correĺm.
¶ Ex hac ſequitur / du-
pla non habet ſubduplam rationalem, nec tripla
nec octupla, nec aliqua ſuperparticularis. Pro-
batur / quoniam ducendo quatuor per duo reſul-
tat numerus octonarius qui non eſt quadratus / vt
conſtat: et ducendo .6. per duo: reſultat numerus
duodenarius qui etiam non eſt quadratus: et du
cendo .16. per duo conſurgit numerus .32. qui non
eſt quadratus vt apparet intelligenti. Item ducē
do .3: per duo producuntur .6. qui non ſunt nume-
rus quadratus: et ſic probabis de qualibet alia ꝓ
portione ſuperparticulari. 332. correĺ. ¶ Sequitur ſecundo /
propoſita qua volueris ꝓportione rationali. ī
ueſtigare poterimus vtrum habeat ſubquadru-
plam rationalē ſuboctuplaꝫ, ſubſexdecuplam, et
ſic in infinitum procedendo per numeros pariter
pares. vt propoſita proportione ſexdecupla: vo-
lo inueſtigare: vtrum habeat ſubquadruplam ra
tionalem, ſuboctuplam, ſubſexdecuplam, et ſic in
infinitum. Ad quod inueſtigandum ſiue ſciendum
ſit f. ꝓportio inter a. maiorem numerum et b. mi-
norem: tunc aut inter a. et b. eſt numerus qui ſit me
dium ꝓportionabile aut non. ſi nõ: iam ſequitur /
non habet ſubquadruplam rationalē nec ſub-
octuplam etc. / vt patet ex nona concluuſione: ſi ſic
ſignetur ille et ſit h. / et tunc videndum eſt an nume
rus / qui fit ex ductu h. in b. ſit quadratus: et ſi ſic iã
talis ꝓportio f. que eſt inter a. et b. habet ſubqua-
druplam: ſi vero talis numerus non ſit quadratꝰ
dico / talis proportio non habet ſubquadruplã
rationalem. Primum iſtorum probatur. quia ſi
talis numerus qui fit ex ductu h. in b. ſit quadra-
tus: iam inter h. et b. eſt numerus medio loco pro-
portionabilis qui ſit k. / vt patet ex quarto correla
rio preallegato ſexte concluſionis ſecundi capitis
huius: et ex conſequenti iam ꝓportio h. ad b. que
eſt ſubdupla ad ꝓportionem f. habet ſubduplam
proportionem rationalem / vt patet ex correlario
none concluſionis: et ſi habet ſubduplam iam pro
portio f. habet ſubquadruplam: quia omne ſub-
duplum ſubdupli eſt ſubquadruplum dupli / vt pa
tet ex ſecundo correlario quarte concluſionis q̈r-
ti capitis huius / quod erat oſtendendum. Iam pro
batur ſecundum: quia ſi numerus qui fit ex ductu
h. in b. non ſit quadratus iam proportio que eſt ī-
ter h. et b. non habet numerū medio loco ꝓportio
nabilem / vt patet ex ſecundo correlario ſexte con-
cluſionis preallegate: et ſi non habet mediū nume
rū ꝓportionabilem iã non habet ſubduplã ratio
nalem: et ſic eius medietas non eſt proportio rõa-
lis et eius medietas eſt ſubquadruplum ꝓportio
nis f. que eſt a. ad b. / vt cõſtat: igitur proportio ſub
quadrupla ad f. non eſt rationalis / quod fuit oſtē-
dendum. Alie particule correlarii ſimilem demon
ſtrationem ſortiuntur. Si eni3 non inueniatur ra
tionalis ſubquadrupla: nec ſuboctuplã rõnalem
inuenies. Si vero ſubquadrupla reperta fuerit ra
tionalis: conſidera an ex ductu vnius extremita-
lis ſubquadrupli in alterum reſultat numerꝰ qua
dratus: et ſi ſic concludas datam ꝓportionem ha
bere ſuboctuplam rationalē: quia ſua quarta ha
bet ſubduplam rationalem. ſin minus concludas
eam non habere talem ſuboctuplam rationalem.
Et ſic in aliis operaberis. 443. correl. ¶ Sequitur tertio / ſi
gnata quauis ꝓportione rationali: inueſtigare et
ſcire poterimus an habeat ſexquialteram ratio-
nalem, ſexquiquartaꝫ, ſexquioctauam, ſexquiſex
decimã, ſexquitrigeſimã ſecundam, ſexquitrigeſi
mã quartã, et ſic in infinituꝫ: ꝓcedendo per ſpecies
ꝓportionis ſuperparticularis denominatas a ꝑ
tibus aliquotis que partes aliquote a nūeris pa-
riter paribus denominantur. vt ꝓpoſita ꝓportio
ne quadrupla: volo inueſtigare et ſcire an ip̄a ha
beat ſexquialteram rationalem: tūc videbo an ha
beat medietatem rationalem per doctrinam deci
me concluſionis huius: et tunc ſi habeat medieta-
tem rationalem: manifeſtum eſt habet ſexquial<lb/>teram rationalem: quia non oportet ad dandam
ſexquialteram ipſius quadruple aliud quam ad-
dere ipſi quadruple ſuã medietatem puta duplã:
pla non habet ſubduplam rationalem, nec tripla
nec octupla, nec aliqua ſuperparticularis. Pro-
batur / quoniam ducendo quatuor per duo reſul-
tat numerus octonarius qui non eſt quadratus / vt
conſtat: et ducendo .6. per duo: reſultat numerus
duodenarius qui etiam non eſt quadratus: et du
cendo .16. per duo conſurgit numerus .32. qui non
eſt quadratus vt apparet intelligenti. Item ducē
do .3: per duo producuntur .6. qui non ſunt nume-
rus quadratus: et ſic probabis de qualibet alia ꝓ
portione ſuperparticulari. 332. correĺ. ¶ Sequitur ſecundo /
propoſita qua volueris ꝓportione rationali. ī
ueſtigare poterimus vtrum habeat ſubquadru-
plam rationalē ſuboctuplaꝫ, ſubſexdecuplam, et
ſic in infinitum procedendo per numeros pariter
pares. vt propoſita proportione ſexdecupla: vo-
lo inueſtigare: vtrum habeat ſubquadruplam ra
tionalem, ſuboctuplam, ſubſexdecuplam, et ſic in
infinitum. Ad quod inueſtigandum ſiue ſciendum
ſit f. ꝓportio inter a. maiorem numerum et b. mi-
norem: tunc aut inter a. et b. eſt numerus qui ſit me
dium ꝓportionabile aut non. ſi nõ: iam ſequitur /
non habet ſubquadruplam rationalē nec ſub-
octuplam etc. / vt patet ex nona concluuſione: ſi ſic
ſignetur ille et ſit h. / et tunc videndum eſt an nume
rus / qui fit ex ductu h. in b. ſit quadratus: et ſi ſic iã
talis ꝓportio f. que eſt inter a. et b. habet ſubqua-
druplam: ſi vero talis numerus non ſit quadratꝰ
dico / talis proportio non habet ſubquadruplã
rationalem. Primum iſtorum probatur. quia ſi
talis numerus qui fit ex ductu h. in b. ſit quadra-
tus: iam inter h. et b. eſt numerus medio loco pro-
portionabilis qui ſit k. / vt patet ex quarto correla
rio preallegato ſexte concluſionis ſecundi capitis
huius: et ex conſequenti iam ꝓportio h. ad b. que
eſt ſubdupla ad ꝓportionem f. habet ſubduplam
proportionem rationalem / vt patet ex correlario
none concluſionis: et ſi habet ſubduplam iam pro
portio f. habet ſubquadruplam: quia omne ſub-
duplum ſubdupli eſt ſubquadruplum dupli / vt pa
tet ex ſecundo correlario quarte concluſionis q̈r-
ti capitis huius / quod erat oſtendendum. Iam pro
batur ſecundum: quia ſi numerus qui fit ex ductu
h. in b. non ſit quadratus iam proportio que eſt ī-
ter h. et b. non habet numerū medio loco ꝓportio
nabilem / vt patet ex ſecundo correlario ſexte con-
cluſionis preallegate: et ſi non habet mediū nume
rū ꝓportionabilem iã non habet ſubduplã ratio
nalem: et ſic eius medietas non eſt proportio rõa-
lis et eius medietas eſt ſubquadruplum ꝓportio
nis f. que eſt a. ad b. / vt cõſtat: igitur proportio ſub
quadrupla ad f. non eſt rationalis / quod fuit oſtē-
dendum. Alie particule correlarii ſimilem demon
ſtrationem ſortiuntur. Si eni3 non inueniatur ra
tionalis ſubquadrupla: nec ſuboctuplã rõnalem
inuenies. Si vero ſubquadrupla reperta fuerit ra
tionalis: conſidera an ex ductu vnius extremita-
lis ſubquadrupli in alterum reſultat numerꝰ qua
dratus: et ſi ſic concludas datam ꝓportionem ha
bere ſuboctuplam rationalē: quia ſua quarta ha
bet ſubduplam rationalem. ſin minus concludas
eam non habere talem ſuboctuplam rationalem.
Et ſic in aliis operaberis. 443. correl. ¶ Sequitur tertio / ſi
gnata quauis ꝓportione rationali: inueſtigare et
ſcire poterimus an habeat ſexquialteram ratio-
nalem, ſexquiquartaꝫ, ſexquioctauam, ſexquiſex
decimã, ſexquitrigeſimã ſecundam, ſexquitrigeſi
mã quartã, et ſic in infinituꝫ: ꝓcedendo per ſpecies
ꝓportionis ſuperparticularis denominatas a ꝑ
tibus aliquotis que partes aliquote a nūeris pa-
riter paribus denominantur. vt ꝓpoſita ꝓportio
ne quadrupla: volo inueſtigare et ſcire an ip̄a ha
beat ſexquialteram rationalem: tūc videbo an ha
beat medietatem rationalem per doctrinam deci
me concluſionis huius: et tunc ſi habeat medieta-
tem rationalem: manifeſtum eſt habet ſexquial<lb/>teram rationalem: quia non oportet ad dandam
ſexquialteram ipſius quadruple aliud quam ad-
dere ipſi quadruple ſuã medietatem puta duplã: