457445
altero arcuum AB, AC, coincidet, quòd neuter angulorum B, C, ponatur
rectus. Cadit ergo intra triangulum.
rectus. Cadit ergo intra triangulum.
IAM vero ponatur in eodem triangulo ABC, angulus B, acutus, &
C,
obtuſus. Dico perpendicularem arcum ex A, ad arcum BC, demiſſum extra
triangulum cadere, cuiuſmodi eſt arcus AE. Nam ſi intra dicatur cadere, ca-
dat, ſi fi fieri poteſt, arcus AD, ad BC, perpendicularis intra triangulum. Ita-
que quia in triangulo ACD, angulum rectum habente D, angulus C, obtu-
ſus eſt, erit arcus AD, maior quadrante. Rurſus cum in triangulo ABD, re-
1134. huius. ctum habente angulum D, angulus B, acutus eſt, erit arcus AD, quadrante
2234. huius. minor: Sed & quadrante oſtenſus eſt maior; quod eſt abſurdum. Arcus ergo
perpendicularis non cadit intra triangulum; ſed neque cum altero arcuum
AB, AC, coincidit, cum neuter angulorum B, C, rectus ponatur. Cadit ergo
extra triangulum. Quapropter, ſi in triangulo ſphærico ſupra vnum arcum
duo anguli acuti, & c. Quod erat demonſtrandum.
obtuſus. Dico perpendicularem arcum ex A, ad arcum BC, demiſſum extra
triangulum cadere, cuiuſmodi eſt arcus AE. Nam ſi intra dicatur cadere, ca-
dat, ſi fi fieri poteſt, arcus AD, ad BC, perpendicularis intra triangulum. Ita-
que quia in triangulo ACD, angulum rectum habente D, angulus C, obtu-
ſus eſt, erit arcus AD, maior quadrante. Rurſus cum in triangulo ABD, re-
1134. huius. ctum habente angulum D, angulus B, acutus eſt, erit arcus AD, quadrante
2234. huius. minor: Sed & quadrante oſtenſus eſt maior; quod eſt abſurdum. Arcus ergo
perpendicularis non cadit intra triangulum; ſed neque cum altero arcuum
AB, AC, coincidit, cum neuter angulorum B, C, rectus ponatur. Cadit ergo
extra triangulum. Quapropter, ſi in triangulo ſphærico ſupra vnum arcum
duo anguli acuti, & c. Quod erat demonſtrandum.
THEOR. 56. PROPOS. 58.
IN omni triangulo ſphærico, cuius duo arcus
ſint inæquales; quadratum ſinus totius ad rectan-
gulum ſub ſinubus rectis duorum arcuum inęqua
lium contentum, eandem proportionem habet,
quam ſinus verſus anguli à dictis arcubus compre-
henſi ad differentiam duorum ſinuum verſorum,
quorum vnus differentiæ eorundem arcuum de-
betur, alter vero tertio arcui, qui prædicto angulo
oppoſitus eſt, reſpondet.
ſint inæquales; quadratum ſinus totius ad rectan-
gulum ſub ſinubus rectis duorum arcuum inęqua
lium contentum, eandem proportionem habet,
quam ſinus verſus anguli à dictis arcubus compre-
henſi ad differentiam duorum ſinuum verſorum,
quorum vnus differentiæ eorundem arcuum de-
betur, alter vero tertio arcui, qui prædicto angulo
oppoſitus eſt, reſpondet.
IN triangulo ſphærico ABC, ſint duo arcus AB, AC, inęquales, ille
minor, & hic maior. Dico ita eſſe quadratum ſinus totius ad rectangulum ſub
ſinubus rectis arcuum AB, AC, contentum, vt eſt ſinus verſus anguli A, ad
differentiam inter ſinum verſum arcus, quo arcus AB, AC, inter ſe differunt,
& ſinum verſum arcus BC. Cu-
317[Figure 317]
ius rei demonſtrationem, vt cla-
rior fiat, & generalior, in quin-
decim caſus diuidemus.
minor, & hic maior. Dico ita eſſe quadratum ſinus totius ad rectangulum ſub
ſinubus rectis arcuum AB, AC, contentum, vt eſt ſinus verſus anguli A, ad
differentiam inter ſinum verſum arcus, quo arcus AB, AC, inter ſe differunt,
& ſinum verſum arcus BC. Cu-
rior fiat, & generalior, in quin-
decim caſus diuidemus.
1.
SINT omnes tres arcus
quadrante minores. Complea-
331. caſus. tur minoris arcus AB, circulus
ABDGH, productisq́; arcu-
bus AC, BC, fiant quadrantes
AL, BM; & polis A, B, inter-
uallis autem quadrantum AL,
BM, circuli maximi deſcribantur DLEF, GMEH: Et eiſdem polis,
quadrante minores. Complea-
331. caſus. tur minoris arcus AB, circulus
ABDGH, productisq́; arcu-
bus AC, BC, fiant quadrantes
AL, BM; & polis A, B, inter-
uallis autem quadrantum AL,
BM, circuli maximi deſcribantur DLEF, GMEH: Et eiſdem polis,