459157LIBER QVARTVS.
ramidis, quæ eſt i m:
& linea communis huic ſuperficiei & circulo, (in quo eſt centrũ uiſus punctũ
a, & axis coni, qui eſt b d) ſit linea e h: eritq́; linea e h perpendicula-
ris ſuper axem b d: & producatur linea e h extra pyramidem, donec
509[Figure 509]a g e c f h g r i d m concurrat cum linea b a, producta ultra punctum b: cócurret autem
ք 14 th. 1 huius: ideo, quia angulus a b d eſt obtuſus ex hypotheſi, &
angulus d b h eſt acutus per 32 p 1, & linea e h eſt perpendicularis ſu-
per axem b d. Sit ergo concurſus punctus g: & â puncto g producan-
tur duæ lineę g f & g r circulũ e h cõtingentes per 17 p 3: contingãtq́;
circulũ in duobus punctis f & r: & ab ijs punctis per 101 th. 1 huius ꝓ-
ducantur lineæ longitudinis ad uerticem coni punctũ b, quę ſint f b
& r b: ſuperficies ergo illæ, in quibus ſunt lineæ g f & f b, & lineæ g r
& r b cõtingunt pyramidem, & in utraq; iſtarum ſuperficierum erit
uertex pyramidis punctus b, & punctus g, in quo concurrit linea a b
cum linea e h: ergo linea a b g per 1 p 11 & 19 th. 1 huius eſt in utraq; il-
larum ſuperficierum: ergo utraq; ſuperficies tran ſit per punctũ a cen
trum uiſus. Et quoniam per 58 th. 1 huius duæ lineæ g f & g r inclu-
dunt minorem partem circuli: quoniam arcus circuli interiacẽs pun
cta contingentię duarum linearum ab eodem puncto productarum,
eſt minor ſemicirculo: tunc patet quòd illæ duę ſuperficies includũt
minorem partẽ ſuperficiei conicę quàm ſit medietas: reſiduũ ergo il
lius ſuperficiei eſt maius medietate: hoc autẽ uidetur à uiſu taliter,
ut proponitur, collocato. Pars ergo ſuperficiei conicæ maior medietate taliter uidetur. Ethoc eſt
propoſitum. Ambobus uero uiſibus adhuc uidetur magis.
a, & axis coni, qui eſt b d) ſit linea e h: eritq́; linea e h perpendicula-
ris ſuper axem b d: & producatur linea e h extra pyramidem, donec
509[Figure 509]a g e c f h g r i d m concurrat cum linea b a, producta ultra punctum b: cócurret autem
ք 14 th. 1 huius: ideo, quia angulus a b d eſt obtuſus ex hypotheſi, &
angulus d b h eſt acutus per 32 p 1, & linea e h eſt perpendicularis ſu-
per axem b d. Sit ergo concurſus punctus g: & â puncto g producan-
tur duæ lineę g f & g r circulũ e h cõtingentes per 17 p 3: contingãtq́;
circulũ in duobus punctis f & r: & ab ijs punctis per 101 th. 1 huius ꝓ-
ducantur lineæ longitudinis ad uerticem coni punctũ b, quę ſint f b
& r b: ſuperficies ergo illæ, in quibus ſunt lineæ g f & f b, & lineæ g r
& r b cõtingunt pyramidem, & in utraq; iſtarum ſuperficierum erit
uertex pyramidis punctus b, & punctus g, in quo concurrit linea a b
cum linea e h: ergo linea a b g per 1 p 11 & 19 th. 1 huius eſt in utraq; il-
larum ſuperficierum: ergo utraq; ſuperficies tran ſit per punctũ a cen
trum uiſus. Et quoniam per 58 th. 1 huius duæ lineæ g f & g r inclu-
dunt minorem partem circuli: quoniam arcus circuli interiacẽs pun
cta contingentię duarum linearum ab eodem puncto productarum,
eſt minor ſemicirculo: tunc patet quòd illæ duę ſuperficies includũt
minorem partẽ ſuperficiei conicę quàm ſit medietas: reſiduũ ergo il
lius ſuperficiei eſt maius medietate: hoc autẽ uidetur à uiſu taliter,
ut proponitur, collocato. Pars ergo ſuperficiei conicæ maior medietate taliter uidetur. Ethoc eſt
propoſitum. Ambobus uero uiſibus adhuc uidetur magis.
91. Cum linea longitudinis coni producta ultra uerticem cum centro uiſus concurrerit, nihil
uiſum totius ſuperficiei conicæ latebit: niſi linea longitudinis illa ſola. Alhazen 38 n 4.
uiſum totius ſuperficiei conicæ latebit: niſi linea longitudinis illa ſola. Alhazen 38 n 4.
Sit pyramis, cuius uertex ſit punctũ b:
& linea longitudinis ſitq́;
centrum uiſus punctũ a:
& linea c b producta ultra punctũ b concurrat cũ cẽtro uiſus puncto a. Dico, quòd non latebit ui-
ſum totius huius ſuperficiei conicæ pars aliqua, præter quandã lineam intellectualẽ, quæ eſt ipſa li
nealongitudinis b c. Omnis enim ſuperficies, in qua eſt linea à centro uiſus ad aliquem punctum
axis ducta, ſecabit pyramidẽ, excepta tantũ illa ſuperficie, in qua eſt linea a b c: hæc enim contingit
pyramidem ſecundum lineam b c per 95 th. 1 huius. Et quoniam illud, quod ſub ſuperficie contin-
gente pyramidem & tranſeunte centrum uiſus continetur, occurrit uiſui per 17 th. 3 huius: ſormæ
enim omnium punctorũ ſuperficiei illius conicæ in ſuperficie uiſus de-
pinguntur: palàm ergo quoniã tota ſuperficies conica uidetur, excepta
510[Figure 510]a b h c ſola linea intellectuali, quæ eſt b c. Dato enim quocunq; puncto ſuperfi-
ciei pyramidalis extra lineam b c: dico, quòd illud uidebitur. Sit enim il-
lud punctũ h: & ducatur ad ipſum à centro uiſus a linea a h: & ab illo eo-
dẽ per 101 th. 1 huius ducatur linea longitudinis, quæ ſit h b: fietq́; trian-
gulus h b a, qui neceſſariò eritin aliqua ſuperficie pyramidẽ ſecãte, per
tranſeunte centrũ uiſus a: ex lineis aũt illius ſuperficiei non cadunt, niſi
duæ in ſuperficiẽ conicã pyramidis, ſcilicet linea lõgitudinis b h, & linea
oppoſita lineæ b h in alia parte pyramidis: quoniã, ut patet ք 90 th. 1 hu-
ius, planę ſuperficiei ſecantis conũ trans axem & ſuperficiei conicæ cõ-
munis ſection eſt trigonũ duabus lineis longitudinis pyramidis & diame
tro baſis contentũ: linea uerò a h ſecat lineam b h in pũcto h, & linea c b
ſecat eandem b h in puncto b per 91 th. 1 huius: lineæ ergo a h nulla linea
cõcurret à uertice pyramidis niſi in puncto a: nec enim ad aliquod pun-
ctũ mediũ lineę a h à uertice b ductæ lineę incident: nõ occultabitur er-
go pũctus h ab alìquo alio pũcto, quò minus perueniat ad centrũ uiſus
a. Occurrit ergo punctus h uiſui, cũ inter ipſum & uiſum nõ accidat ſoli-
dicorporis interpoſitio. Eadẽ quoq; eſt probatio de quolibet alio dato
puncto ſuperficiei pyramidis: in linea uerò b c, quę perpendicularis eſt
ſuper ſuperficiẽ uiſus per 72 th. 1 huius, folũ tantũ punctũ poſsibile eſt uideri, ut oſtẽſum eſt in 4 hu
ius: omnia uerò alia puncta lineæ b c neceſſariò occultãtur. Patet ergo propoſitũ. Patet itaq; ex ijs,
quoniã in hoc ſitu nulla ſuperficierũ pyramidũ contingẽtiũ peruenit ad cẽtrũ uiſus, pręter illã, quę
in linea b c longitudinis centrũ uiſus tranſeuntis pyramidẽ cõtingit: & oẽs ſuperficies aliæ conum
contingentes ſecant lineam productã à centro ad ipſam pyramidẽ inter uerticẽ coni & cẽtrũ uiſus.
& linea c b producta ultra punctũ b concurrat cũ cẽtro uiſus puncto a. Dico, quòd non latebit ui-
ſum totius huius ſuperficiei conicæ pars aliqua, præter quandã lineam intellectualẽ, quæ eſt ipſa li
nealongitudinis b c. Omnis enim ſuperficies, in qua eſt linea à centro uiſus ad aliquem punctum
axis ducta, ſecabit pyramidẽ, excepta tantũ illa ſuperficie, in qua eſt linea a b c: hæc enim contingit
pyramidem ſecundum lineam b c per 95 th. 1 huius. Et quoniam illud, quod ſub ſuperficie contin-
gente pyramidem & tranſeunte centrum uiſus continetur, occurrit uiſui per 17 th. 3 huius: ſormæ
enim omnium punctorũ ſuperficiei illius conicæ in ſuperficie uiſus de-
pinguntur: palàm ergo quoniã tota ſuperficies conica uidetur, excepta
510[Figure 510]a b h c ſola linea intellectuali, quæ eſt b c. Dato enim quocunq; puncto ſuperfi-
ciei pyramidalis extra lineam b c: dico, quòd illud uidebitur. Sit enim il-
lud punctũ h: & ducatur ad ipſum à centro uiſus a linea a h: & ab illo eo-
dẽ per 101 th. 1 huius ducatur linea longitudinis, quæ ſit h b: fietq́; trian-
gulus h b a, qui neceſſariò eritin aliqua ſuperficie pyramidẽ ſecãte, per
tranſeunte centrũ uiſus a: ex lineis aũt illius ſuperficiei non cadunt, niſi
duæ in ſuperficiẽ conicã pyramidis, ſcilicet linea lõgitudinis b h, & linea
oppoſita lineæ b h in alia parte pyramidis: quoniã, ut patet ք 90 th. 1 hu-
ius, planę ſuperficiei ſecantis conũ trans axem & ſuperficiei conicæ cõ-
munis ſection eſt trigonũ duabus lineis longitudinis pyramidis & diame
tro baſis contentũ: linea uerò a h ſecat lineam b h in pũcto h, & linea c b
ſecat eandem b h in puncto b per 91 th. 1 huius: lineæ ergo a h nulla linea
cõcurret à uertice pyramidis niſi in puncto a: nec enim ad aliquod pun-
ctũ mediũ lineę a h à uertice b ductæ lineę incident: nõ occultabitur er-
go pũctus h ab alìquo alio pũcto, quò minus perueniat ad centrũ uiſus
a. Occurrit ergo punctus h uiſui, cũ inter ipſum & uiſum nõ accidat ſoli-
dicorporis interpoſitio. Eadẽ quoq; eſt probatio de quolibet alio dato
puncto ſuperficiei pyramidis: in linea uerò b c, quę perpendicularis eſt
ſuper ſuperficiẽ uiſus per 72 th. 1 huius, folũ tantũ punctũ poſsibile eſt uideri, ut oſtẽſum eſt in 4 hu
ius: omnia uerò alia puncta lineæ b c neceſſariò occultãtur. Patet ergo propoſitũ. Patet itaq; ex ijs,
quoniã in hoc ſitu nulla ſuperficierũ pyramidũ contingẽtiũ peruenit ad cẽtrũ uiſus, pręter illã, quę
in linea b c longitudinis centrũ uiſus tranſeuntis pyramidẽ cõtingit: & oẽs ſuperficies aliæ conum
contingentes ſecant lineam productã à centro ad ipſam pyramidẽ inter uerticẽ coni & cẽtrũ uiſus.
92. Axe pyramidis cum centro uiſus uerſus uerticem concurrente: tota conica ſuperficies
uno oculo uidetur. Alhazen 39 n 4.
uno oculo uidetur. Alhazen 39 n 4.
Eſto data pyramis, cuius axis b c:
uertex quoq;
punctus b:
& ſit uiſus centrũ pũctũ a:
ſitq́;
, ut axis
b c ꝓductus currat in punctũ a. Dico, quòd in hoc ſitu oculi tota conica ſuperficies pyramidis oc-
currit uni uiſui: nullus enim punctus ſuperficiei conicæ totins pyramidis uiſui occultatur. Dato e-
nim quocũq; puncto, ſit ille l: & ducatur ad ipſum à cẽtro uiſus a linea a l: & ab ipſo pũcto l ducatur
b c ꝓductus currat in punctũ a. Dico, quòd in hoc ſitu oculi tota conica ſuperficies pyramidis oc-
currit uni uiſui: nullus enim punctus ſuperficiei conicæ totins pyramidis uiſui occultatur. Dato e-
nim quocũq; puncto, ſit ille l: & ducatur ad ipſum à cẽtro uiſus a linea a l: & ab ipſo pũcto l ducatur