459439LIBER V.
circumferentiæ circuli, MSE, erunt ad omnes circumferentias fi-
guræ ſpirali, AIE, recta, AE, & circumferentia, MSE, concluſæ,
& per conuerſionem rationis triangulum, ORQ, vel, OZR, ad fi-
guram, OGR, erit vt omnes circumferentiæ circuli, MSE, ad om-
nes circumferentias ſpatij helici, AIE, ideſt vt circulus ad ſpatium,
AIE, (quia curua, AIE, eſt talis conditionis, qualem poſtulat Prop.
111. l. 4. 6. vt elicitur ex Prop. 7. huius) cum verò ſemiparabola, OGRZ,
ſit ſexquitertia trianguli, OZR, vnde diuidendo figura, OGR, ſit
tertia pars trianguli, OZR, ideò, & ſpatium helicum, AIE, tertia
pars erit circuli, MSE, quod demonſtrare oportebat.
guræ ſpirali, AIE, recta, AE, & circumferentia, MSE, concluſæ,
& per conuerſionem rationis triangulum, ORQ, vel, OZR, ad fi-
guram, OGR, erit vt omnes circumferentiæ circuli, MSE, ad om-
nes circumferentias ſpatij helici, AIE, ideſt vt circulus ad ſpatium,
AIE, (quia curua, AIE, eſt talis conditionis, qualem poſtulat Prop.
111. l. 4. 6. vt elicitur ex Prop. 7. huius) cum verò ſemiparabola, OGRZ,
ſit ſexquitertia trianguli, OZR, vnde diuidendo figura, OGR, ſit
tertia pars trianguli, OZR, ideò, & ſpatium helicum, AIE, tertia
pars erit circuli, MSE, quod demonſtrare oportebat.
SCHOLIVM.
_H_Vcuſq;
per methodum indiuiſibilium etiam in boc Libro libuit
procedere, vt innoteſceret nos poſſe, quæ Archimedes oſtendit
Lib. de Spiralibus, circa ſpatiorum menſuram, etiam tali artificio de-
monſtrare, etenim ſi quis hoc attentauerit circa ſequentes Propoſitio-
nes, idipſum obtineri poſſe facilè animaduertet, veruntamen hoc ar-
bitrio, ac iudicio Lectoris relinquendo, placuit etiam ſtylo veteri,
aliter tamen ab Archimede, eaſdem propoſitiones demonſtrare.
procedere, vt innoteſceret nos poſſe, quæ Archimedes oſtendit
Lib. de Spiralibus, circa ſpatiorum menſuram, etiam tali artificio de-
monſtrare, etenim ſi quis hoc attentauerit circa ſequentes Propoſitio-
nes, idipſum obtineri poſſe facilè animaduertet, veruntamen hoc ar-
bitrio, ac iudicio Lectoris relinquendo, placuit etiam ſtylo veteri,
aliter tamen ab Archimede, eaſdem propoſitiones demonſtrare.
Præfatæ Propoſ. alia demonſtratio.
SIt alia ſpiralis ex prima reuolutione orta, ASRMB, AB, verò
initium reuolutionis, & centro, A, interuallo, AB, ſit primus
circulus deſcriptus, ECDB, deinde exponatur triangulus, FHG,
rectum habens angulum ad, G, cuius latus, FG, ſit æquale ipſi, A
B, & HG, circumferentiæ, ECDB, erit ergo triangulus, FHG, æ-
qualis circulo, ECDB, intelligatur deinde in eiuſdem trianguli
22z. huius. plano tranſire parabolam, HLF, cuius vertex ſit, F, & , HG, pa-
3320. l. 4. rallela eiuſdem axi, ad quemipſa, GF, ſit ordinatim applicata, quę
tanget ſectionem in puncto, F. Dico igitur, FLHG, trilineum
4417. Primi
Conic. æquari ſpatio reſiduo, dempto à circulo, ECDB, ſpatio helico ſub
ſpirali, ASRMB, & , AB, ſi enim non eſt illi æquale, erit eodem,
55Defi. 3.
huius. vel maius, vel minus, ſit primò maius quantitate ſpatij, quod vo-
cetur, Ω, rurſus diuidatur, HG, bifariam in, Π, & iungantur, FΠ,
& ſic ipſæ, AΠ, ΠG, diuidantur bifariam in, P, Γ, & iungantur,
PF, ΓF, ſicque ſemper fiat donec deuentum ſit, vt ad triangulum,
FΓG, quod ſit minus ſpatio, Ω, deueniemus autem, nam à ma-
gnitudine propoſita, & his, quæ relinquuntur, ſemper aufertur
661. Decimè
Elem. dimidium, ſecent autem iungentes, F, cum diuiſionum punctis
initium reuolutionis, & centro, A, interuallo, AB, ſit primus
circulus deſcriptus, ECDB, deinde exponatur triangulus, FHG,
rectum habens angulum ad, G, cuius latus, FG, ſit æquale ipſi, A
B, & HG, circumferentiæ, ECDB, erit ergo triangulus, FHG, æ-
qualis circulo, ECDB, intelligatur deinde in eiuſdem trianguli
22z. huius. plano tranſire parabolam, HLF, cuius vertex ſit, F, & , HG, pa-
3320. l. 4. rallela eiuſdem axi, ad quemipſa, GF, ſit ordinatim applicata, quę
tanget ſectionem in puncto, F. Dico igitur, FLHG, trilineum
4417. Primi
Conic. æquari ſpatio reſiduo, dempto à circulo, ECDB, ſpatio helico ſub
ſpirali, ASRMB, & , AB, ſi enim non eſt illi æquale, erit eodem,
55Defi. 3.
huius. vel maius, vel minus, ſit primò maius quantitate ſpatij, quod vo-
cetur, Ω, rurſus diuidatur, HG, bifariam in, Π, & iungantur, FΠ,
& ſic ipſæ, AΠ, ΠG, diuidantur bifariam in, P, Γ, & iungantur,
PF, ΓF, ſicque ſemper fiat donec deuentum ſit, vt ad triangulum,
FΓG, quod ſit minus ſpatio, Ω, deueniemus autem, nam à ma-
gnitudine propoſita, & his, quæ relinquuntur, ſemper aufertur
661. Decimè
Elem. dimidium, ſecent autem iungentes, F, cum diuiſionum punctis