466454
SCHOLIVM. II.
CATERVM ex hac propoſ.
58.
colligemus ſequens theorema ad calculum trian
gulorum ſphæricorum non rectangulorum perutile, videlicet.
gulorum ſphæricorum non rectangulorum perutile, videlicet.
IN omni triangulo ſphærico, cuius duo arcus ſint inæquales:
ſi-
nus totus ad quantitatem, quæ ſinui toti, & duobus ſinubus arcuum
inæqualium quarto loco proportionalis eſt, eandem proportionem
habet, quam ſinus verſus anguli ſub dictis arcubus comprehenſi ad
differentiam inter ſinum verſum reliqui tertij arcus, & ſinum ver-
ſum arcus, quo duo inæquales arcus inter ſe differunt.
nus totus ad quantitatem, quæ ſinui toti, & duobus ſinubus arcuum
inæqualium quarto loco proportionalis eſt, eandem proportionem
habet, quam ſinus verſus anguli ſub dictis arcubus comprehenſi ad
differentiam inter ſinum verſum reliqui tertij arcus, & ſinum ver-
ſum arcus, quo duo inæquales arcus inter ſe differunt.
IN triangulo ſphærico ABC, proxime antecedenti
334[Figure 334]
ſit arcus AB, maior arcu AC, &
ex polo A, ad interual
lum AC, deſcribatur arcus circuli CD, vt arcus AC,
AD, per defin. poli, ſint æquales, atque adeo arcus BD,
exceſſus ſit, ſeu differentia arcuum AB, AC. Fiat iam,
vt ſinus totus ad ſinum arcus AB, ita ſinus arcus AC, ad
aliud, quod quantitas quarta proportionalis vocetur,
vt hic vides:
11
Sinus \ṫotus. # ſinus arcus \\ AB. # ſinus arcus \\ AC. # quantitas quarta \ṗroportionalis.
Dico ita eſſe ſinum totum ad quantitatem quartam ſinui toti, & duobus ſinubus ar-
cuum inæqualium proportionalem, vt eſt ſinus verſus anguli A, ad differentiam inter
ſinum verſum arcus BC, & ſinum verſum arcus BD, quo inter ſe arcus AB, Ac,
differunt. Quoiniam enim proportio ſinus totius ad quantitatem illam quartam pro-
portionalem componitur (poſito ſinu arcus AB, medio) ex proportione ſinus totius ad
ſinum arcus AB, & ex proportione ſinus arcus AB, ad quantitatem quartam pro-
portionalem: Et proportio quadrati ſinus totius ad rectangulum ſub ſinubus rectis ar-
cuum AB, AC, componitur ex eiſdem proportionibus, nempe ex proportione ſinus to
tius ad ſinum arcus AB, & ex proportione ſinus totius ad ſinum arcus AC, quæ ea-
2223. ſexti. dem eſt, quæ proportio ſinus arcus AB, ad quantitatem quartam proportionalem:
(Nam cum ſit, vt ſinus totus ad ſinum arcus AB, ita ſinus arcus AC, ad quantita-
tem quartam proportionalem; erit permutando, vt ſinus totus ad ſinum arcus AC,
ita ſinus arcus AB, ad quantitatem quartam proportionalem.) erit, vt ſinus totus
ad quantitatem quartam proportionalem, ita quadratum ſinus totius ad rectangu-
lum ſub ſinubus arcuum AB, AC, contentum. Cum ergo ſit, vt quadratum ſinus to-
tius ad rectangulum ſub ſinubus arcuum AB, AC, ita ſinus verſus anguli A, ad dif-
3338. huius. ferentiam ſinuum verſorum arcuum BC, BD; erit quoque, vt ſinus totus ad quan-
titatem quartam proportionalem, ita ſinus verſus anguli A, ad differentiam inter ſi-
nus verſos arcuum BC, BD. quod eſt propoſitum,
lum AC, deſcribatur arcus circuli CD, vt arcus AC,
AD, per defin. poli, ſint æquales, atque adeo arcus BD,
exceſſus ſit, ſeu differentia arcuum AB, AC. Fiat iam,
vt ſinus totus ad ſinum arcus AB, ita ſinus arcus AC, ad
aliud, quod quantitas quarta proportionalis vocetur,
vt hic vides:
11
Sinus \ṫotus. # ſinus arcus \\ AB. # ſinus arcus \\ AC. # quantitas quarta \ṗroportionalis.
Dico ita eſſe ſinum totum ad quantitatem quartam ſinui toti, & duobus ſinubus ar-
cuum inæqualium proportionalem, vt eſt ſinus verſus anguli A, ad differentiam inter
ſinum verſum arcus BC, & ſinum verſum arcus BD, quo inter ſe arcus AB, Ac,
differunt. Quoiniam enim proportio ſinus totius ad quantitatem illam quartam pro-
portionalem componitur (poſito ſinu arcus AB, medio) ex proportione ſinus totius ad
ſinum arcus AB, & ex proportione ſinus arcus AB, ad quantitatem quartam pro-
portionalem: Et proportio quadrati ſinus totius ad rectangulum ſub ſinubus rectis ar-
cuum AB, AC, componitur ex eiſdem proportionibus, nempe ex proportione ſinus to
tius ad ſinum arcus AB, & ex proportione ſinus totius ad ſinum arcus AC, quæ ea-
2223. ſexti. dem eſt, quæ proportio ſinus arcus AB, ad quantitatem quartam proportionalem:
(Nam cum ſit, vt ſinus totus ad ſinum arcus AB, ita ſinus arcus AC, ad quantita-
tem quartam proportionalem; erit permutando, vt ſinus totus ad ſinum arcus AC,
ita ſinus arcus AB, ad quantitatem quartam proportionalem.) erit, vt ſinus totus
ad quantitatem quartam proportionalem, ita quadratum ſinus totius ad rectangu-
lum ſub ſinubus arcuum AB, AC, contentum. Cum ergo ſit, vt quadratum ſinus to-
tius ad rectangulum ſub ſinubus arcuum AB, AC, ita ſinus verſus anguli A, ad dif-
3338. huius. ferentiam ſinuum verſorum arcuum BC, BD; erit quoque, vt ſinus totus ad quan-
titatem quartam proportionalem, ita ſinus verſus anguli A, ad differentiam inter ſi-
nus verſos arcuum BC, BD. quod eſt propoſitum,
THEOR. 57. PROPOS. 59.
SI duo triangula ſphærica duos angulos duo-
bus angulis æquales habeant, vtrumque vtrique:
bus angulis æquales habeant, vtrumque vtrique: