467455
crũt ſinus arcuum circa reliquum angulum vnius
ſinubus arcuum circa reliquum angulum alterius
proportionales, homologiq́; erunt ſinus arcuum
æquales angulos ſubtendentium. Et ſi vnus angu-
lus vnius vniangulo alterius ſit æqualis, ſinusq́; ar-
cuum circa alium angulum vnius ſinubus arcuum
circa alium angulum alterius proportionales, ita
vt ſinus arcuum æquales angulos ſubtendentium
ſint homologi: erunt & anguli arcubus reliquo-
rum ſinuum homologorum oppoſiti inter ſe æ-
quales, vel æquales duobus rectis.
ſinubus arcuum circa reliquum angulum alterius
proportionales, homologiq́; erunt ſinus arcuum
æquales angulos ſubtendentium. Et ſi vnus angu-
lus vnius vniangulo alterius ſit æqualis, ſinusq́; ar-
cuum circa alium angulum vnius ſinubus arcuum
circa alium angulum alterius proportionales, ita
vt ſinus arcuum æquales angulos ſubtendentium
ſint homologi: erunt & anguli arcubus reliquo-
rum ſinuum homologorum oppoſiti inter ſe æ-
quales, vel æquales duobus rectis.
SINT in duobus triangulis ſphæricis ABC, DEF, duo anguli inter ſe
æquales B, E, necnon duo C, F. Dico ita eſſe ſinum arcus AB, ad ſinum arcus
AC, vt eſt ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Quia enim eſt, vt ſinus arcus
AB, ad ſinum anguli C, ita ſinus arcus AC, ad ſinum
1141. huius. anguli B; erit permutando, vt ſinus arcus AB, ad ſi-
335[Figure 335]
num arcus AC, ita ſinus anguli C, ad ſinum anguli B,
hoc eſt, ita ſinus anguli F, ad ſinum anguli E, cum hi
anguli illis ponantur æquales. Item quia eſt, vt ſi-
nus arcus DE, ad ſinum anguli F, ita ſinus arcus DF,
2241. huius. ad ſinum anguli E; erit permutando, vt ſinus arcus
DE, ad ſinum arcus DF, ita ſinus anguli F, ad ſinum
anguli E. Oſtenſum autem eſt, ita etiam eſſe ſinum
arcus AB, ad ſinum arcus AC, vt eſt ſinus anguli F,
ad ſinum anguli E. Igitur erit, vt ſinus arcus AB, ad
ſinum arcus AC, ita ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Quod eſt propoſitũ.
æquales B, E, necnon duo C, F. Dico ita eſſe ſinum arcus AB, ad ſinum arcus
AC, vt eſt ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Quia enim eſt, vt ſinus arcus
AB, ad ſinum anguli C, ita ſinus arcus AC, ad ſinum
1141. huius. anguli B; erit permutando, vt ſinus arcus AB, ad ſi-
hoc eſt, ita ſinus anguli F, ad ſinum anguli E, cum hi
anguli illis ponantur æquales. Item quia eſt, vt ſi-
nus arcus DE, ad ſinum anguli F, ita ſinus arcus DF,
2241. huius. ad ſinum anguli E; erit permutando, vt ſinus arcus
DE, ad ſinum arcus DF, ita ſinus anguli F, ad ſinum
anguli E. Oſtenſum autem eſt, ita etiam eſſe ſinum
arcus AB, ad ſinum arcus AC, vt eſt ſinus anguli F,
ad ſinum anguli E. Igitur erit, vt ſinus arcus AB, ad
ſinum arcus AC, ita ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Quod eſt propoſitũ.
SED ſint iam anguli B, E, æquales, &
ita ſit ſinus arcus AB, ad ſinus ar-
cus AC, vt eſt ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Dico angulos quoq; C,
F, æquales eſſe, vel certe duobus rectis æquales. Oſtendemus enim, vt prius,
ita eſſe ſinum arcus AB, ad ſinum arcus AC, vt eſt ſinus anguli C, ad ſinum
3341. huius.
Et permu-
tando. anguli B. Item ita eſſe ſinum arcus DE, ad ſinum arcus DF, vt eſt ſinus angu-
li F, ad ſinum anguli E. Quare cum ponatur, vt ſinus arcus AB, ad ſinum ar-
cus AC, ita ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF; erit, vt ſinus anguli C, ad ſi-
num anguli B, ita ſinus anguli F, ad ſinum anguli E: Et conuertendo, vt ſinus
anguli B, ad ſinum anguli C, ita ſinus anguli E, ad ſinum anguli F. Cum ergo
ſinus æqualium angulorum B, E, æquales ſint, erunt & ſinus angulorum C,
4414. quinti. F, æquales; ac proinde vel anguli C, F, æquales erunt, vel duobus rectis æqua-
les. Quod eſt propoſitum. Itaque ſi duo triangula ſphærica duos angulos,
& c. Quod erat demonſtrandum.
cus AC, vt eſt ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Dico angulos quoq; C,
F, æquales eſſe, vel certe duobus rectis æquales. Oſtendemus enim, vt prius,
ita eſſe ſinum arcus AB, ad ſinum arcus AC, vt eſt ſinus anguli C, ad ſinum
3341. huius.
Et permu-
tando. anguli B. Item ita eſſe ſinum arcus DE, ad ſinum arcus DF, vt eſt ſinus angu-
li F, ad ſinum anguli E. Quare cum ponatur, vt ſinus arcus AB, ad ſinum ar-
cus AC, ita ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF; erit, vt ſinus anguli C, ad ſi-
num anguli B, ita ſinus anguli F, ad ſinum anguli E: Et conuertendo, vt ſinus
anguli B, ad ſinum anguli C, ita ſinus anguli E, ad ſinum anguli F. Cum ergo
ſinus æqualium angulorum B, E, æquales ſint, erunt & ſinus angulorum C,
4414. quinti. F, æquales; ac proinde vel anguli C, F, æquales erunt, vel duobus rectis æqua-
les. Quod eſt propoſitum. Itaque ſi duo triangula ſphærica duos angulos,
& c. Quod erat demonſtrandum.