47 nominatnr data ꝓportio multiplex: et ſi ſic iã in-
ter terminos eius computatis extremis reperiren
tur tot numeri continuo ꝓportionabiles quotus
eſt numerus a quo denominatur dicta proportio
multiplex: puta quoties a. cõtinet b. vno plus. igi
tur ex oppoſito: ſi non reperiantur tot numeri cõ-
putatis extremis iam a. non ſe habet in tali ꝓpor
tione multiplici ad b. ꝓportionem rationalem.
11nota.
ter terminos eius computatis extremis reperiren
tur tot numeri continuo ꝓportionabiles quotus
eſt numerus a quo denominatur dicta proportio
multiplex: puta quoties a. cõtinet b. vno plus. igi
tur ex oppoſito: ſi non reperiantur tot numeri cõ-
putatis extremis iam a. non ſe habet in tali ꝓpor
tione multiplici ad b. ꝓportionem rationalem.
¶ Utrum autē inter aliquos numeros date ꝓpor
tionis a. reperiantur tot numeri continuo ꝓpor-
tionabiles computatis extremis vno plus quotꝰ
eſt numerus a quo denominatur proportio multi
plex in qua ponitur a. ſe habere ad b. videndū eſt
vtrum inter primos numeros eius inueniant̄̄ tot
numeri continuo proportionabiles: et ſi ſic conclu
das / inter numeros ipſius a. reperiuntur tot nu
meri continuo ꝓportionabiles: et ſi non inuenian
tur tot inter primos numeros date ꝓportionis:
dicas / inter nullos numeros eius reperiunt̄̄ tot
numeri continuo ꝓportinoabiles computatis ex
tremis. Patet hec conſequentia / et deductio tota
ex octaua ꝓpoſitione octaui elementorum eucli-
dis in qua habetur / ſi inter duos numeros ceci-
derint aliqui numeri continuo ꝓportionabiles:
inter quoſcun duos in eadem ꝓportione ſe ha-
bentes cadent tot numeri continuo ꝓportionabi
les eadem ꝓportione qua ꝓportionautur alii. ex
qua immediate infertur / ſi inter duos numeros
ſe habentes in ꝓportio a. ceciderint aliqui nume-
ri continuo ꝓportionabiles ꝓportiõe que eſt vna
tertia: aut vna quarta: aut vna quinta: ipſius a. in
ter primos numeros ipſius a. tot numeri cadēt ꝓ
portionabiles eadeꝫ ꝓportione que ſit tertia aut
quarta: aut quinta ipſius a. / igitur ex oppoſito cõ
ſequentis ſi inter primos numeros a. proportio-
nis non reperiantur aliqui numeri continuo pro
portionabiles ꝓportione que eſt vna tertia: vna
quarta: quinta: ipſius a. et c. nec inter aliquos nūe
ros ipſius a. reperientur: quod fuit oſtendendum:
Et ſic patet concluſio. 221. correl. ¶ Ex quo ſequitur primo. /
ꝓportio dupla ad nullam ꝓportionem rationa-
lem ſe habet in ꝓportione dupla: aut tripla. aut
quadrupla: aut in aliqua alia multiplici: nec quin
tupla, nec ſextupla etc. Probatur / quia inter pri-
mos numeros ꝓportionis duple nullus numerus
reperitur (computamus enim vnitatem pro nume
ro). Item inter primos numeros proportionis
quintuple qui ſunt .5. et .1. non reperiuntur aliqui
numeri continuo ꝓportionabiles adequate com
putatis extremis / vt conſtat. Et ſic patet etiam de
ſextupla. Patet igitur correlarium. 332. correĺ. ¶ Sequitur
ſecundo / nulla ꝓportio ſuperparticularis ſe ha
bet in aliqua ꝓportione multiplici ad aliquam ꝓ
portionem rationalem. Patet / quia inter cuiuſli
bet ſuperparticularis primos terminos nullꝰ re-
peritur numerus: igitur. 443. correl. ¶ Sequitur tertio / pro
poſita quauis proportione rationali inueſtigare
poſſumus an habeat aliquam ꝓportionem ratio
nalem que ſe habeat ad ipſam in ꝓportione ſexq̇-
altera: ſexquitertia: ſexquiquarta etc. / vt ꝓpoſita
ꝓportione dupla: videre an ſit aliqua ꝓportio ra
tionalis que ſe habeat ad ipſam duplam in pro-
portione ſexquialtera, ſexquitertia, aut in aliqua
alia ſuperparticulari. Ad quod inueſtiganduꝫ et
ſciendum videndum eſt an inter primos numeros
ꝓportiouis duple aut cuiuſuis alterius rationa-
lis ſint tres numeri continuo ꝓportionabiles cõ-
putatis extremis: et ſi ſic: talis ꝓportio habet me
dietatem rationalem: et per conſequens ſexquial
teram rationalem ad ipſam. Addendo enī et me-
dietatem ſui conſtituetur ſexquialtera rationalis
ad ipſaꝫ. Et ſi inter primos numeros eius compu
tatis extremis inueniantur quatuor numeri conti
nuo ꝓportionabiles: ipſa habebit tertiam ratio
nalem et per conſequens ſexquitertiam rationa-
lem ad ſeipſam: et ſi reperiuntur .5. numeri conti-
nuo ꝓportionabiles computatis extremis ip̄a ha
bebit quartam rationalem: et per conſequens ſex
quiquartam rationalem / et ſic conſequenter. Et
ſic patet correlarium. 554. correl. ¶ Sequitur quarto / ꝓpo
ſita quauis ꝓportione rationali: inquirere et ſci-
re poterimus an habeat aliquam ſuprapartien-
tem, multiplicem ſuperparticulareꝫ, vel multipli
cem ſuprapartientem, rationales. vt ꝓpoſita pro
portione octupla īueſtigare poterimus et ſcire ex
dictis an habeat ſuprabipartientem tertias ſu-
prapartientem quartas rationales etc. Ad quod
ſciendum et inueſtigandum: conſiderandum ē an
data proportio rationalis habeat illam partem
aliquotam rationalem: hoc eſt an aliqua propor
tio rationalis ſit tota pars aliquota eius quota
eſt illa a qua denominatur dicta proportio ſupra
partiens, ant multiplex ſuperparticularis, aut
multiplex ſuprapartiens: quod inueſtigari et ſciri
debet ex vndecima concluſione: et ſi repperias /
habet proportionem aliquam rationalem que ſit
talis pars aliquota eius: tunc manifeſtum ē / ha
bet proportionem rationalem que denominatur
a tali parte aliquota vel talibus partibus aliquo
tis (quod dico ꝓpter ſuprapartientes) ſi vero nõ:
tunc manifeſtum eſt illam proportionem rationa
lem propoſitam non habere proportionem ratio
nalem denominatam a tali parte aliquota vel ta
libus partibus. Probatur hoc demonſtratione
particulari que equiualebit vniuerſali. Data em̄
ꝓportione ſexdecupla volo inueſtigare et ſcire an
habeat proportionem ſupratripartientem quar-
tas ad quod inueſtigandum conſiderabo ex doc-
trina vndecime concluſionis an talis ꝓportio ſex
decupla habeat ſubquadruplam rationaleꝫ que
ſit vna quarta eius: et inuento ſic eo / inter ter
minos eius computatis extremis inueniuntur
quin numeri continuo ꝓportionabiles ꝓportio
ne dupla: aſſeuerabo conſtanter illam proportio
nem habere proportionem rationalem ſupertri-
partientem quartas: et multiplicem ſexquiquar-
tam et multiplicem ſupratripartientem quartas
rationales. Quod ſic monſtratur Nam ſi ſupra il
lam proportionem ſexdecuplam que eſt .16. ad .1.
addantur tres proportiones duple: tunc aggre-
gatum ex ſexdecupla et illis tribus duplis ſuꝑ ad
ditis qualis eſt proportio .128. ad .1. ſe habebit ad
proportionem ſexdecuplam in proportiõe ſupra-
tripartiente quartas. Continet enim ſexdecu-
plam et tres quartas eius. Item triplando illam
proportionem ſexdecuplam / et addendo vnam ſui
quartam habebis ꝓportionem triplam ſexquiq̈r
tam ad ſexdecuplam: et addendo ei duas quartas
habebis triplam ſexquialteram: et addendo ſuꝑ
illam triplatam .3. quartas habebis triplam ſu-
pratripartientem quartas rationalem ad ſexde-
cuplam. Omnia iſta patet ex diffinitionibus ſu-
prapartiētis, multiplicis ſuperparticularis. aut
multiplicis ſuprapartientis. hoc addito / cuili-
bet proportioni rationali addi poteſt queuis alia
rationalis: aggregato ex ipſis manente rationa
li proportione. Ex quibuſcnn enim rationalibꝰ
et quotcun: rationalis componitur: q2 alias in
tionis a. reperiantur tot numeri continuo ꝓpor-
tionabiles computatis extremis vno plus quotꝰ
eſt numerus a quo denominatur proportio multi
plex in qua ponitur a. ſe habere ad b. videndū eſt
vtrum inter primos numeros eius inueniant̄̄ tot
numeri continuo proportionabiles: et ſi ſic conclu
das / inter numeros ipſius a. reperiuntur tot nu
meri continuo ꝓportionabiles: et ſi non inuenian
tur tot inter primos numeros date ꝓportionis:
dicas / inter nullos numeros eius reperiunt̄̄ tot
numeri continuo ꝓportinoabiles computatis ex
tremis. Patet hec conſequentia / et deductio tota
ex octaua ꝓpoſitione octaui elementorum eucli-
dis in qua habetur / ſi inter duos numeros ceci-
derint aliqui numeri continuo ꝓportionabiles:
inter quoſcun duos in eadem ꝓportione ſe ha-
bentes cadent tot numeri continuo ꝓportionabi
les eadem ꝓportione qua ꝓportionautur alii. ex
qua immediate infertur / ſi inter duos numeros
ſe habentes in ꝓportio a. ceciderint aliqui nume-
ri continuo ꝓportionabiles ꝓportiõe que eſt vna
tertia: aut vna quarta: aut vna quinta: ipſius a. in
ter primos numeros ipſius a. tot numeri cadēt ꝓ
portionabiles eadeꝫ ꝓportione que ſit tertia aut
quarta: aut quinta ipſius a. / igitur ex oppoſito cõ
ſequentis ſi inter primos numeros a. proportio-
nis non reperiantur aliqui numeri continuo pro
portionabiles ꝓportione que eſt vna tertia: vna
quarta: quinta: ipſius a. et c. nec inter aliquos nūe
ros ipſius a. reperientur: quod fuit oſtendendum:
Et ſic patet concluſio. 221. correl. ¶ Ex quo ſequitur primo. /
ꝓportio dupla ad nullam ꝓportionem rationa-
lem ſe habet in ꝓportione dupla: aut tripla. aut
quadrupla: aut in aliqua alia multiplici: nec quin
tupla, nec ſextupla etc. Probatur / quia inter pri-
mos numeros ꝓportionis duple nullus numerus
reperitur (computamus enim vnitatem pro nume
ro). Item inter primos numeros proportionis
quintuple qui ſunt .5. et .1. non reperiuntur aliqui
numeri continuo ꝓportionabiles adequate com
putatis extremis / vt conſtat. Et ſic patet etiam de
ſextupla. Patet igitur correlarium. 332. correĺ. ¶ Sequitur
ſecundo / nulla ꝓportio ſuperparticularis ſe ha
bet in aliqua ꝓportione multiplici ad aliquam ꝓ
portionem rationalem. Patet / quia inter cuiuſli
bet ſuperparticularis primos terminos nullꝰ re-
peritur numerus: igitur. 443. correl. ¶ Sequitur tertio / pro
poſita quauis proportione rationali inueſtigare
poſſumus an habeat aliquam ꝓportionem ratio
nalem que ſe habeat ad ipſam in ꝓportione ſexq̇-
altera: ſexquitertia: ſexquiquarta etc. / vt ꝓpoſita
ꝓportione dupla: videre an ſit aliqua ꝓportio ra
tionalis que ſe habeat ad ipſam duplam in pro-
portione ſexquialtera, ſexquitertia, aut in aliqua
alia ſuperparticulari. Ad quod inueſtiganduꝫ et
ſciendum videndum eſt an inter primos numeros
ꝓportiouis duple aut cuiuſuis alterius rationa-
lis ſint tres numeri continuo ꝓportionabiles cõ-
putatis extremis: et ſi ſic: talis ꝓportio habet me
dietatem rationalem: et per conſequens ſexquial
teram rationalem ad ipſam. Addendo enī et me-
dietatem ſui conſtituetur ſexquialtera rationalis
ad ipſaꝫ. Et ſi inter primos numeros eius compu
tatis extremis inueniantur quatuor numeri conti
nuo ꝓportionabiles: ipſa habebit tertiam ratio
nalem et per conſequens ſexquitertiam rationa-
lem ad ſeipſam: et ſi reperiuntur .5. numeri conti-
nuo ꝓportionabiles computatis extremis ip̄a ha
bebit quartam rationalem: et per conſequens ſex
quiquartam rationalem / et ſic conſequenter. Et
ſic patet correlarium. 554. correl. ¶ Sequitur quarto / ꝓpo
ſita quauis ꝓportione rationali: inquirere et ſci-
re poterimus an habeat aliquam ſuprapartien-
tem, multiplicem ſuperparticulareꝫ, vel multipli
cem ſuprapartientem, rationales. vt ꝓpoſita pro
portione octupla īueſtigare poterimus et ſcire ex
dictis an habeat ſuprabipartientem tertias ſu-
prapartientem quartas rationales etc. Ad quod
ſciendum et inueſtigandum: conſiderandum ē an
data proportio rationalis habeat illam partem
aliquotam rationalem: hoc eſt an aliqua propor
tio rationalis ſit tota pars aliquota eius quota
eſt illa a qua denominatur dicta proportio ſupra
partiens, ant multiplex ſuperparticularis, aut
multiplex ſuprapartiens: quod inueſtigari et ſciri
debet ex vndecima concluſione: et ſi repperias /
habet proportionem aliquam rationalem que ſit
talis pars aliquota eius: tunc manifeſtum ē / ha
bet proportionem rationalem que denominatur
a tali parte aliquota vel talibus partibus aliquo
tis (quod dico ꝓpter ſuprapartientes) ſi vero nõ:
tunc manifeſtum eſt illam proportionem rationa
lem propoſitam non habere proportionem ratio
nalem denominatam a tali parte aliquota vel ta
libus partibus. Probatur hoc demonſtratione
particulari que equiualebit vniuerſali. Data em̄
ꝓportione ſexdecupla volo inueſtigare et ſcire an
habeat proportionem ſupratripartientem quar-
tas ad quod inueſtigandum conſiderabo ex doc-
trina vndecime concluſionis an talis ꝓportio ſex
decupla habeat ſubquadruplam rationaleꝫ que
ſit vna quarta eius: et inuento ſic eo / inter ter
minos eius computatis extremis inueniuntur
quin numeri continuo ꝓportionabiles ꝓportio
ne dupla: aſſeuerabo conſtanter illam proportio
nem habere proportionem rationalem ſupertri-
partientem quartas: et multiplicem ſexquiquar-
tam et multiplicem ſupratripartientem quartas
rationales. Quod ſic monſtratur Nam ſi ſupra il
lam proportionem ſexdecuplam que eſt .16. ad .1.
addantur tres proportiones duple: tunc aggre-
gatum ex ſexdecupla et illis tribus duplis ſuꝑ ad
ditis qualis eſt proportio .128. ad .1. ſe habebit ad
proportionem ſexdecuplam in proportiõe ſupra-
tripartiente quartas. Continet enim ſexdecu-
plam et tres quartas eius. Item triplando illam
proportionem ſexdecuplam / et addendo vnam ſui
quartam habebis ꝓportionem triplam ſexquiq̈r
tam ad ſexdecuplam: et addendo ei duas quartas
habebis triplam ſexquialteram: et addendo ſuꝑ
illam triplatam .3. quartas habebis triplam ſu-
pratripartientem quartas rationalem ad ſexde-
cuplam. Omnia iſta patet ex diffinitionibus ſu-
prapartiētis, multiplicis ſuperparticularis. aut
multiplicis ſuprapartientis. hoc addito / cuili-
bet proportioni rationali addi poteſt queuis alia
rationalis: aggregato ex ipſis manente rationa
li proportione. Ex quibuſcnn enim rationalibꝰ
et quotcun: rationalis componitur: q2 alias in
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib