4727LIBER PRIMVS.
baſim B C, ſiue infra in Ellipſi, vt ex tribus propoſitionibus proximè dictis conſtat.
Sumantur
in diametro E D, quotcunque partes ſiue æquales, ſiue inæquales E k, k L, & per puncta k, L, agan-
tur baſi B C, parallelæ F H, G I; eruntq́ue tam partes C H, H I, quàm E k, k L, (ſumendo in Elli-
112. ſexti. pſi punctum E, in B C, baſi trianguli) partibus B F, F G, proportionales: Immo in parabola æqua-
les ſunt partes C H, H I, partibus E k, k L, propter parallelogramma C k, k I.
2234. primi.in diametro E D, quotcunque partes ſiue æquales, ſiue inæquales E k, k L, & per puncta k, L, agan-
tur baſi B C, parallelæ F H, G I; eruntq́ue tam partes C H, H I, quàm E k, k L, (ſumendo in Elli-
112. ſexti. pſi punctum E, in B C, baſi trianguli) partibus B F, F G, proportionales: Immo in parabola æqua-
les ſunt partes C H, H I, partibus E k, k L, propter parallelogramma C k, k I.
QVOD ſi conus rectus fuerit, vt ſunt omnes illi, quibus in deſcriptionibus horologiorum
vtimur, (omnes enim hi recti ſunt, cum eorum axes ſint partes axis mundi, qui ad parallelos pri-
mi motus, nempead baſes conorum, per propoſ. 10. lib. 1. Theod. rectus eſt) commodiſſime ita
agemus. Sumantur in recta B D, quotcunque partes ſiue æquales, ſiue inæquales B F, F G, & his
æquales in alio latere C H, H I, ſingulæ ſingulis, iunganturq́; rectæ F H, G I, ſecantes diametrum
3310 D E, in K, L. Nam hę lineę, cum ſecent latera A B, A C, proportionaliter, parallelæ erunt, propor
442. ſexti. tionalesq́; propterea erunt partes E K, K L, partibus B F, F G. Exponatur deinde ſeorſum baſis
B E C, trianguli A B C, & ex puncto E, quod inſtar ſit omnium punctorum E, K, L, perpendicula-
ris educatur E M, atque in rectam B C, ex puncto E, in vtramque partem transferantur partes
K F, K H, & L G, L I; ita vt EF, E G, partibus K F, L G, & E H, E I, partibus K H, L I, ſint equales:
quæ quidem ex parte C, in parabola omnes in punctum C, cadent, propterea quòd E C, K H, L I,
5534. primi. ęquales ſint. In Hyperbola autem ſemper minores fient, quàm E C, & in Ellipſi maiores, vt patet.
In omnibus tamen erunt partes B F, FG, in primis figuris, (voco primas figuras, ipſos conos, ſecun-
das autem, eas, in quibus ſeorſum expoſuimus baſim B E C.) partibus B F, F G, in ſecundis, nec
non & C H, H I, in primis, partibus C H, H I, in ſecundis proportionales. Ducta enim G N, in
6620 primis figuris, parallela ipſi D E, erit vt G B, ad B N, ita G F, ad F O; (cum triangula G B N, GFO,
774. ſexti. ſimilia ſint, ex corolla. propoſ. 4 lib. 6. Euclidis) & permutando, vt G B, ad G F, ita B N, ad F O.
Cum ergo B N, in primis figuris, equalis ſit ipſi B G, in ſecundis; & F O, in primis, ipſi F G, in ſe-
cundis; (propterea quòd N E, ipſi G L, in primis, hoc eſt, ipſi G E, in ſecundis, ſit æqualis; & B N,
idcirco ipſi B G, & F O, ipſi F G. Poſitæ enim ſunt E B, E F, E G, in ſecundis figuris ipſis E B, K F,
L G, in primis, æquales.) erit quoque vt G B, ad G F, in primis, ita B G, ad F G, in ſecundis; & di-
uidendo, vt F B, ad G F, in primis, ita B F, ad F G, in ſecundis. Idemq́; oſtendemus de C H, H I,
ſi ex I, ducatur in primis figuris ipſi D E, parallela. Vnde ſi B F, F G, ęquales fuerint in primis fi-
guris, erunt & E K, K L, in primis, nec non & B F, F G, & C H, H I, in ſecundis, æquales, vt ex fi-
guris apparet. Sumpſimus enim facilitatis gratia partes B F, F G, in primis figuris æquales.
8830vtimur, (omnes enim hi recti ſunt, cum eorum axes ſint partes axis mundi, qui ad parallelos pri-
mi motus, nempead baſes conorum, per propoſ. 10. lib. 1. Theod. rectus eſt) commodiſſime ita
agemus. Sumantur in recta B D, quotcunque partes ſiue æquales, ſiue inæquales B F, F G, & his
æquales in alio latere C H, H I, ſingulæ ſingulis, iunganturq́; rectæ F H, G I, ſecantes diametrum
3310 D E, in K, L. Nam hę lineę, cum ſecent latera A B, A C, proportionaliter, parallelæ erunt, propor
442. ſexti. tionalesq́; propterea erunt partes E K, K L, partibus B F, F G. Exponatur deinde ſeorſum baſis
B E C, trianguli A B C, & ex puncto E, quod inſtar ſit omnium punctorum E, K, L, perpendicula-
ris educatur E M, atque in rectam B C, ex puncto E, in vtramque partem transferantur partes
K F, K H, & L G, L I; ita vt EF, E G, partibus K F, L G, & E H, E I, partibus K H, L I, ſint equales:
quæ quidem ex parte C, in parabola omnes in punctum C, cadent, propterea quòd E C, K H, L I,
5534. primi. ęquales ſint. In Hyperbola autem ſemper minores fient, quàm E C, & in Ellipſi maiores, vt patet.
In omnibus tamen erunt partes B F, FG, in primis figuris, (voco primas figuras, ipſos conos, ſecun-
das autem, eas, in quibus ſeorſum expoſuimus baſim B E C.) partibus B F, F G, in ſecundis, nec
non & C H, H I, in primis, partibus C H, H I, in ſecundis proportionales. Ducta enim G N, in
6620 primis figuris, parallela ipſi D E, erit vt G B, ad B N, ita G F, ad F O; (cum triangula G B N, GFO,
774. ſexti. ſimilia ſint, ex corolla. propoſ. 4 lib. 6. Euclidis) & permutando, vt G B, ad G F, ita B N, ad F O.
Cum ergo B N, in primis figuris, equalis ſit ipſi B G, in ſecundis; & F O, in primis, ipſi F G, in ſe-
cundis; (propterea quòd N E, ipſi G L, in primis, hoc eſt, ipſi G E, in ſecundis, ſit æqualis; & B N,
idcirco ipſi B G, & F O, ipſi F G. Poſitæ enim ſunt E B, E F, E G, in ſecundis figuris ipſis E B, K F,
L G, in primis, æquales.) erit quoque vt G B, ad G F, in primis, ita B G, ad F G, in ſecundis; & di-
uidendo, vt F B, ad G F, in primis, ita B F, ad F G, in ſecundis. Idemq́; oſtendemus de C H, H I,
ſi ex I, ducatur in primis figuris ipſi D E, parallela. Vnde ſi B F, F G, ęquales fuerint in primis fi-
guris, erunt & E K, K L, in primis, nec non & B F, F G, & C H, H I, in ſecundis, æquales, vt ex fi-
guris apparet. Sumpſimus enim facilitatis gratia partes B F, F G, in primis figuris æquales.
POST Hæc circa diametros B C, F H, G I, ſemicirculi deſcribantur ſecantes rectam E M, in
punctis M, P, Q. Habebuntur autem ſemidiametri, ſi axis coni in primis figuris ducatur ſecans ba-
ſim trianguli bifariam. Hic enim diuidet etiam omnes diametros F H, G I, & reliquas, bifariam,
vt in ſcholio propoſ. 4. lib. 6. Eucl. oſtẽdimus. Quare ſi in primis figuris accipiamus diſtantias in-
ter axem coni, & puncta E, K, L, easq́; transferamus in ſecundas figuras à puncto E, in lineã B E C,
vel ad partes B, vel ad partes C, prout primæ figuræ indicant, habebimus centra, & c.
punctis M, P, Q. Habebuntur autem ſemidiametri, ſi axis coni in primis figuris ducatur ſecans ba-
ſim trianguli bifariam. Hic enim diuidet etiam omnes diametros F H, G I, & reliquas, bifariam,
vt in ſcholio propoſ. 4. lib. 6. Eucl. oſtẽdimus. Quare ſi in primis figuris accipiamus diſtantias in-
ter axem coni, & puncta E, K, L, easq́; transferamus in ſecundas figuras à puncto E, in lineã B E C,
vel ad partes B, vel ad partes C, prout primæ figuræ indicant, habebimus centra, & c.
POSTREMO diameter ſectionis conicæ D E, ſeorſum diuidatur, vt in cono, hoc eſt, E K,
K L, ęquales ſint partibus E K, KL, in cono, ſingulę ſingulis: Et per E, K, L, ad D E, perpendicula-
res educantur; quod quidem facile fiet, & breuiſſimè, (præſertim quando plurima puncta fuerint
ſumpta in diametro D E,) ſi per E, perpendicularem eduxeris, à cuius duobus punctis ipſi D E, pa-
9940 rallelæ erigantur, diuidanturq́ue, vt D E. Nam rectæ puncta diuiſionum coniungẽtes erunt ad DE,
perpendiculares in punctis K, L, propterea quòd hac ratione ad rectas E K, E L, parallelogramma
101029. primi. ſint conſtituta, quæ rectangula ſunt, obangulum rectum ad E, conſtitutum, vt manifeſtum eſt.
Quod ſi ordinatim applicatæ ad D E, diametrum ſectionis non ſint ad ipſam perpendiculares, (vt
fit in conis ſcalenis, cum triangulum per axem non eſt rectum ad baſim coni, vt conſtat ex propoſ.
7. lib. 1. Apollonii) ducendę erunt per puncta E, K, L, in tertiis figuris, lineę parallelę facientes an-
gulos ad diametrum D E, ęquales illis, quos ordinatim applicatę in primis figuris faciunt.
K L, ęquales ſint partibus E K, KL, in cono, ſingulę ſingulis: Et per E, K, L, ad D E, perpendicula-
res educantur; quod quidem facile fiet, & breuiſſimè, (præſertim quando plurima puncta fuerint
ſumpta in diametro D E,) ſi per E, perpendicularem eduxeris, à cuius duobus punctis ipſi D E, pa-
9940 rallelæ erigantur, diuidanturq́ue, vt D E. Nam rectæ puncta diuiſionum coniungẽtes erunt ad DE,
perpendiculares in punctis K, L, propterea quòd hac ratione ad rectas E K, E L, parallelogramma
101029. primi. ſint conſtituta, quæ rectangula ſunt, obangulum rectum ad E, conſtitutum, vt manifeſtum eſt.
Quod ſi ordinatim applicatæ ad D E, diametrum ſectionis non ſint ad ipſam perpendiculares, (vt
fit in conis ſcalenis, cum triangulum per axem non eſt rectum ad baſim coni, vt conſtat ex propoſ.
7. lib. 1. Apollonii) ducendę erunt per puncta E, K, L, in tertiis figuris, lineę parallelę facientes an-
gulos ad diametrum D E, ęquales illis, quos ordinatim applicatę in primis figuris faciunt.
POST hęc ex perpendicularibus, parallelisve per puncta E, K, L, ductis, in tertiis figuris, ad
vtramque partem punctorum E, K, L, abſcindantur rectę E M, k P, L Q, rectis E M, E P, E Q, in
ſecundis figuris, ęquales, nimirum k P, ęqualis illi, quę inter diametrum F H, & eius ſemicirculũ
111150 intercipitur, qualis eſt E P, in ſecundis figuris; & L Q, equalis ipſi E Q, inter diametrum G I,
eiusq́ ſemicirculum poſitam, & ſic de cęteris, obſeruando diligenter, quę puncta diametri D E,
quibus diametris ſemicirculorum reſpondeant. Iam ſi puncta D, Q, P, & c. appoſitè linea qua-
dam flexa coniunxeris, deſcripta erit ſectio conica propoſita, nempe Parabole, Hyperbole, vel El-
lipſis, vt mox demonſtrabimus. Ex his manifeſtum eſt, quò crebriora fuerint puncta in diame-
tro D E, eò aptius ſectionem conicam deſcribi, vt vides factum eſſe in Hyperbola, & Ellipſi vtra-
que; ſumptum enim eſt in his ſectionibus aliud punctum præter K, L. Quod ſi augere inſtituas
Parabolẽ, & Hyperbolem, augendi erunt coni, & puncta infra baſim B C, ſumenda ad ęqualitatẽ
punctorum F, G, & c. vt figurę indicant. Quod idem dicendum eſt de Ellipſi, cuius diameter ſecet
alterum latus trianguli per axem infra baſim, vt in ſecunda Ellipſi; alias enim pars tantum Ellipſis
deſcriberetur M P Q D Q P M. In priori porrò Ellipſi, cuius diameter baſim trianguli non
vtramque partem punctorum E, K, L, abſcindantur rectę E M, k P, L Q, rectis E M, E P, E Q, in
ſecundis figuris, ęquales, nimirum k P, ęqualis illi, quę inter diametrum F H, & eius ſemicirculũ
111150 intercipitur, qualis eſt E P, in ſecundis figuris; & L Q, equalis ipſi E Q, inter diametrum G I,
eiusq́ ſemicirculum poſitam, & ſic de cęteris, obſeruando diligenter, quę puncta diametri D E,
quibus diametris ſemicirculorum reſpondeant. Iam ſi puncta D, Q, P, & c. appoſitè linea qua-
dam flexa coniunxeris, deſcripta erit ſectio conica propoſita, nempe Parabole, Hyperbole, vel El-
lipſis, vt mox demonſtrabimus. Ex his manifeſtum eſt, quò crebriora fuerint puncta in diame-
tro D E, eò aptius ſectionem conicam deſcribi, vt vides factum eſſe in Hyperbola, & Ellipſi vtra-
que; ſumptum enim eſt in his ſectionibus aliud punctum præter K, L. Quod ſi augere inſtituas
Parabolẽ, & Hyperbolem, augendi erunt coni, & puncta infra baſim B C, ſumenda ad ęqualitatẽ
punctorum F, G, & c. vt figurę indicant. Quod idem dicendum eſt de Ellipſi, cuius diameter ſecet
alterum latus trianguli per axem infra baſim, vt in ſecunda Ellipſi; alias enim pars tantum Ellipſis
deſcriberetur M P Q D Q P M. In priori porrò Ellipſi, cuius diameter baſim trianguli non