475455LIBER VI.
THEOREMA XVI. PROPOS. XVI.
SI in ſpirali ex quacunq;
reuolutione genita ſumatur
punctum, quod non ſit initium, nec terminus eiuſdem
ſpiralis, & iungantur cum puncto, quod eſt initium reuo-
lutionis, quo tanquam centro ad diſtantiam ſumpti puncti
circulus ſit deſcriptus, huius ſector, vel ſectoris reſiduum,
cuius baſis ſit circumferentia inter hoc punctum, & princi-
pium circulationis ad partes conſequentes incluſa, ad ſpa-
tium helicum ab eodem ſectore, vel ſectoris reſiduo, ap-
prehenſum, erit vt quadratum ſemidiametri deſcripti cir-
culi, ad rectangulum ſub eodem, & ſub radio circuli eiuf-
dem numeri cum ſpirali vnitate prædicta minoris, vna cũ
tertia parte quadrati exceſſus vtriuſq; radij.
punctum, quod non ſit initium, nec terminus eiuſdem
ſpiralis, & iungantur cum puncto, quod eſt initium reuo-
lutionis, quo tanquam centro ad diſtantiam ſumpti puncti
circulus ſit deſcriptus, huius ſector, vel ſectoris reſiduum,
cuius baſis ſit circumferentia inter hoc punctum, & princi-
pium circulationis ad partes conſequentes incluſa, ad ſpa-
tium helicum ab eodem ſectore, vel ſectoris reſiduo, ap-
prehenſum, erit vt quadratum ſemidiametri deſcripti cir-
culi, ad rectangulum ſub eodem, & ſub radio circuli eiuf-
dem numeri cum ſpirali vnitate prædicta minoris, vna cũ
tertia parte quadrati exceſſus vtriuſq; radij.
Conſpiciatur antecedentis figura, in qua ſumpto vtcunq;
pun-
cto in ſpirali, GMSIB, quod ſit, I, intelligatur deſcriptus circulus,
IRεK. Dico igitur ſectorem, vel eius reſiduum, cuius baſis eſt
circumferentia, IRεk, ad rectas, IA, Ak, terminata, ad ſpatium
ſub ſpiralis portiones, ISMG, & rectis, IA, AG, eſſe vt quadratũ,
IA, ad rectangulum ſub, IA, AG, vna cum {1/3}. quadrati, Gk; in ip-
ſa enim, QΣ, iam habebus, & Σ, æqualem circumferentiæ, CDFB,
terminanti ad, C, B, producatur, Φ+, quouſque ſecet ambas, LΠ, L
Σ, vt in, {12/ }, {13/ }, & quia, & Σ, ad, Z, {13/ }, eſt vt, ΣL, ad, L, {13/ }, vel vt, PL, ad,
11Iuxta 4.
Sexti Ele. L4, ſiue, BA, ad, AK, ſiue circumferentia, CDFB, ad circumferẽtiam,
IRεK, ideò circumferentia, IRεk, erit æqualis ipſi, Z {13/ }, ſi ergo diui-
damus, Z, {13/ }, bifariam, & factas portiones adhuc bifariam, & ſic sẽ-
per fiat, iungẽtes diuiſionum pũcta cum, L, & per puncta, in quibus
iſtę iungẽtes ſecant curuã parabolę, ΖΩ, ductis ipſi, Z {13/ }, parallelis,
vt in antecedenti circumſcripſerimus trilineo, LΖΩ, figuram, & aliã
inſcripſerimus, ex triangulis compoſitam, & ſimiliter ſpatio, AIS
MGA, figuram ex ſectoribus, vel eorum reſiduis compoſitam cir-
cumſcripſerimus, velut in antecedenti (quam quia antecedentis
propoſitionis methodo ſimilis eſt, hic explanare mitto) & aliam
inſcripſerimus, tandem oſtendemus trilineum, LΖΩ, neq; maius,
neq; minus eſſe ſpatio, AISMGA, & ideò illi eſſe æquale; ſimili-
ter oſten demus triangulum, LZ {13/ }, ſectori, IPεK, vel ſectoris reſi-
22Defin. 12.
l. 1. duo, æqualem eſſe, nam triangulus, LQΣ, ad triangulum, LZ {13/
cto in ſpirali, GMSIB, quod ſit, I, intelligatur deſcriptus circulus,
IRεK. Dico igitur ſectorem, vel eius reſiduum, cuius baſis eſt
circumferentia, IRεk, ad rectas, IA, Ak, terminata, ad ſpatium
ſub ſpiralis portiones, ISMG, & rectis, IA, AG, eſſe vt quadratũ,
IA, ad rectangulum ſub, IA, AG, vna cum {1/3}. quadrati, Gk; in ip-
ſa enim, QΣ, iam habebus, & Σ, æqualem circumferentiæ, CDFB,
terminanti ad, C, B, producatur, Φ+, quouſque ſecet ambas, LΠ, L
Σ, vt in, {12/ }, {13/ }, & quia, & Σ, ad, Z, {13/ }, eſt vt, ΣL, ad, L, {13/ }, vel vt, PL, ad,
11Iuxta 4.
Sexti Ele. L4, ſiue, BA, ad, AK, ſiue circumferentia, CDFB, ad circumferẽtiam,
IRεK, ideò circumferentia, IRεk, erit æqualis ipſi, Z {13/ }, ſi ergo diui-
damus, Z, {13/ }, bifariam, & factas portiones adhuc bifariam, & ſic sẽ-
per fiat, iungẽtes diuiſionum pũcta cum, L, & per puncta, in quibus
iſtę iungẽtes ſecant curuã parabolę, ΖΩ, ductis ipſi, Z {13/ }, parallelis,
vt in antecedenti circumſcripſerimus trilineo, LΖΩ, figuram, & aliã
inſcripſerimus, ex triangulis compoſitam, & ſimiliter ſpatio, AIS
MGA, figuram ex ſectoribus, vel eorum reſiduis compoſitam cir-
cumſcripſerimus, velut in antecedenti (quam quia antecedentis
propoſitionis methodo ſimilis eſt, hic explanare mitto) & aliam
inſcripſerimus, tandem oſtendemus trilineum, LΖΩ, neq; maius,
neq; minus eſſe ſpatio, AISMGA, & ideò illi eſſe æquale; ſimili-
ter oſten demus triangulum, LZ {13/ }, ſectori, IPεK, vel ſectoris reſi-
22Defin. 12.
l. 1. duo, æqualem eſſe, nam triangulus, LQΣ, ad triangulum, LZ {13/