477457LIBER VI.
THEOREMA XVII. PROPOS. XVII.
COmpræhenſ@m ſpatium ſub ſpirali, quæ eſt minor ea,
quæ ſub vna reuolutione fit, nec habet terminum
initium ſpiralis, & rectis, quæ à terminis ipſius in reuolu-
tionis initium ducuntur ad ſectorem habentem radium æ-
qualem maiori earum, quę à termino ad initium reuolutio-
nis ducitur, arcum verò, qui intercipitur inter duas rectas
ſecundum eaſdem partem ſpiralis; habet eandem rationẽ,
quam rectangulum compræhenſum ſub rectis à terminis
ad initium reuolutionis ductis, vna cum tertia parte qua-
drati exceſſus, quo maior dictarum linearum ſuperat mi-
norem, ad quadratum maioris earundem.
quæ ſub vna reuolutione fit, nec habet terminum
initium ſpiralis, & rectis, quæ à terminis ipſius in reuolu-
tionis initium ducuntur ad ſectorem habentem radium æ-
qualem maiori earum, quę à termino ad initium reuolutio-
nis ducitur, arcum verò, qui intercipitur inter duas rectas
ſecundum eaſdem partem ſpiralis; habet eandem rationẽ,
quam rectangulum compræhenſum ſub rectis à terminis
ad initium reuolutionis ductis, vna cum tertia parte qua-
drati exceſſus, quo maior dictarum linearum ſuperat mi-
norem, ad quadratum maioris earundem.
In eadem antecedentis figura ſupponamus arſumptam, IS, por-
tionem ſpiralis in vna reuolutione genitæ, quæ non habcat termi-
num initium talis ſpiralis, a cuius extremis punctis, I, S, ſint du-
ctæ ad, A, initium reuolutionis ipſæ, SA, IA, & ſit ſector, IAR,
cuius ſemidiameter ſit æqual s maiori ductarum, IA, AS, nempè
ipſi, IA. Dico ſectorem, IAR, ad trilineum, IAS, eſſe vt quadra-
tum, RA, ad rectangulum, RAS, vna cum {1/3}. quadrati, RS, (vta-
mur conſtructis in eadem figura) Sector igitur, AIRεKA, eſt æqua-
lis triangulo, LZ {12/ }, vt in antecedenti oſtenſum eſt, eodem modo
probabimus triangulum, L+{13/ }, eſſe æqualem ſectori, ARεKA,
ergo reliquus triangulus, LZ+, erit æqualis reliquo ſectori, IAR;
ſimiliter iuxta antecedentem oſtendemus ſpatium, AISMGA, eſſe
æqualem trilineo, LΖΩ, & ſpatium, ASMGA, eſſe æqualem tri-
1114. huius. lineo, LVΩ ergo reliquum ſpatium, IAS, erit æquale trilineo, LZ
V, ergo ſector, IAR, ad trilineum, LZV, erit vt triangulus LZ+,
ad trilineum, LZV, ideſt vt quadratum, L4, ad rectangulum ſub,
4L3, cum {1/3}, quadrati, 34, ideſt vt quadratum, IA, vel, RA, ad re-
ctangulum ſub, RA, Ac, vna cum {1/3}. quadrati, RS, quod oſtende-
re opus erat.
tionem ſpiralis in vna reuolutione genitæ, quæ non habcat termi-
num initium talis ſpiralis, a cuius extremis punctis, I, S, ſint du-
ctæ ad, A, initium reuolutionis ipſæ, SA, IA, & ſit ſector, IAR,
cuius ſemidiameter ſit æqual s maiori ductarum, IA, AS, nempè
ipſi, IA. Dico ſectorem, IAR, ad trilineum, IAS, eſſe vt quadra-
tum, RA, ad rectangulum, RAS, vna cum {1/3}. quadrati, RS, (vta-
mur conſtructis in eadem figura) Sector igitur, AIRεKA, eſt æqua-
lis triangulo, LZ {12/ }, vt in antecedenti oſtenſum eſt, eodem modo
probabimus triangulum, L+{13/ }, eſſe æqualem ſectori, ARεKA,
ergo reliquus triangulus, LZ+, erit æqualis reliquo ſectori, IAR;
ſimiliter iuxta antecedentem oſtendemus ſpatium, AISMGA, eſſe
æqualem trilineo, LΖΩ, & ſpatium, ASMGA, eſſe æqualem tri-
1114. huius. lineo, LVΩ ergo reliquum ſpatium, IAS, erit æquale trilineo, LZ
V, ergo ſector, IAR, ad trilineum, LZV, erit vt triangulus LZ+,
ad trilineum, LZV, ideſt vt quadratum, L4, ad rectangulum ſub,
4L3, cum {1/3}, quadrati, 34, ideſt vt quadratum, IA, vel, RA, ad re-
ctangulum ſub, RA, Ac, vna cum {1/3}. quadrati, RS, quod oſtende-
re opus erat.
THEOREMA XVIII. PROPOS. XVIII.
TRilineum, IRS, ad trilineum, ISX, erit vt, SA, cum
{2/3}. SR, ad, SA, cum {1/3}. SR.
{2/3}. SR, ad, SA, cum {1/3}. SR.